Proporzionalità matematica (scuola media)
La proporzionalità, cioè la relazione tra grandezze o cose tra di loro proporzionali, si divide in diretta e inversa.
Proporzionalità diretta
[modifica]Due grandezze variabili (che possono variare) Y e X che dipendono l’ una dall'altra si dice che sono direttamente in proporzione fra loro se: quando la X diventa doppia, tripla, quadrupla,… anche la Y diventa doppia, tripla, quadrupla,….
Es.
| Peso delle mele in kg | Costo delle mele in euro |
|---|---|
| 1 | 3,00 |
| 2 | 6,00 |
| 3 | 9.00 |
| 4 | 12,00 |
| 5 | 15,00 |
| ... | ... |
| X | Y |
Sono esempi di grandezze direttamente proporzionali:
- Il peso di una merce ed il suo costo in euro
- Il lato di un poligono regolare e il suo perimetro
Il rapporto tra X e Y è costante 1/3, 2/6, 3/9, 4/12, 5/15 = Y/X=1/3
Rappresentazione grafica della proporzionalità diretta
[modifica]La proporzionalità diretta può essere rappresentata sul piano cartesiano. Il diagramma ottenuto rappresentando la proporzionalità diretta è una semiretta uscente dall'origine degli assi. Per esempio la relazione Y = 2X si rappresenta con il seguente grafico.
| X | Y |
|---|---|
| 1 | 2 |
| 2 | 4 |
| 3 | 6 |
| 4 | 8 |
Problemi del tre semplice diretto
[modifica]Prendiamo come esempio : il peso di alcune mele e il loro costo in euro
Il signor Mario compra 3 kg di mele che costano un 3 euro al kg. Se avesse comprato 10 kg di mele quanto avrebbe speso?
DATI: • 3 kg = peso mele • 3 euro = costo al kg • 10 kg = peso mele • Costo di 10 kg di mele = ?
PROCEDIMENTO:
| peso mele in kg | costo mele in euro |
|---|---|
| 3 | 9 |
| 10 | X |
RISOLUZIONE: 3:10=9:X X =(10X9):3=30 euro
RISPOSTA: Il signor Mario se avesse comprato 10 kg di mele avrebbe speso 30 euro
Si dicono problemi del tre semplice perché si sanno tre dati e si deve calcolare il quarto , utilizzando le proporzioni.
Proporzionalità inversa
[modifica]Due grandezze variabili X e Y si dice che sono inversamente in proporzione se quando la X diventa doppia, tripla, quadrupla,… la Y diventa la meta, la terza parte,la quarta parte,…
Es:
| numero operai | tempo impiegato per compiere un determinato lavoro |
|---|---|
| 1 | 18 |
| 2 | 9 |
| 3 | 6 |
| 6 | 3 |
| 9 | 2 |
| 18 | 1 |
Sono esempi di proporzionalità inversa:
- Il numero di operai e il tempo impiegato per compiere un certo lavoro
- La velocità di un mezzo e il tempo in piegato per percorrere un dato tragitto
Il prodotto tra X e Y è costante 1X18= 18 2X9=18 3X6=18 9X2=18 18X1=18 YxY=18
Rappresentazione grafica della proporzionalità inversa
[modifica]La proporzionalità inversa può essere rappresentata sul piano cartesiano. Il diagramma ottenuto rappresentando la proporzionalità inversa è un'iperbole equilatera. '
K=XxY=6
| X | Y |
|---|---|
| 6 | 1 |
| 3 | 2 |
| 2 | 3 |
| 1 | 6 |
Problemi del tre semplice inverso
[modifica]Prendiamo come esempio il numero di operai e il tempo impiegato per svolgere un determinato lavoro
Per compiere un certo lavoro 10 operai ci impiegano 20 giorni. Quanto ci impiegherebbero 50 operai a compiere lo stesso lavoro
DATI: • 10 = numero operai • 20 = tempo impiegato per compiere il lavoro • 50= numero operai • Tempo impiegato con 50 operai per compiere il lavoro = ?
PROCEDIMENTO: Numero operai Giorni impiegati per compiere il lavoro
| numero operai | tempo impiegato per compiere il lavoro |
|---|---|
| 10 | 20 |
| 50 | X |
RISOLUZIONE:
10:50=X:20 X=10X20=200:50=4 RISPOSTA: 50 operai a compiere lo stesso lavoro ci impiegherebbero 4 giorni
Si dicono problemi del tre semplice perché si sanno tre dati e si deve calcolare il quarto , utilizzando le proporzioni.