Prerequisiti matematica e fisica (superiori)

In queste pagine sono contenute tutte le nozioni che non possono essere sconosciute allo studente del terzo anno della scuola secondaria superiore.

Purtroppo—non è mistero per nessuno—non sempre è così. Sic stantibus rebus, si è inserito questo capitolo che sarà utile a chi ha perso per strada alcune nozioni di matematica e fisica che—fidatevi—vi saranno sempre utili.

Proprietà delle potenze in base 10

Potenze in base 10 con esponente intero positivo

Si consideri un generico numero indicato con la lettera $a$ e un numero intero positivo indicato con la lettera $n$. Per definizione, il numero $a^{n}$ (si legge a elevato alla enne) è quel numero che si ottiene moltiplicando $a$ per se stesso, $n$ volte, ovvero:

$a^{n}=\underbrace {a\cdot a\cdot a\cdot a\cdot a\dots a} _{\text{n volte}}.$

Il numero $a$ viene chiamato base, mentre il numero $n$ viene chiamato esponente. Si conviene—inoltre—che qualsiasi numero $a$ elevato alla 0 sia pari a 1.

Ecco alcuni esempi:

Esempio 1

$\left\{{\begin{array}{l}-4^{3}=(-4)\cdot (-4)\cdot (-4)\cdot =-64\\2^{6}=2\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2=64\\12^{0}=1\end{array}}\right.$

Esempio 2

Un caso di notevole interesse è il seguente:

$\left\{{\begin{array}{l}10^{0}=1\\10^{1}=10\\10^{2}=100\\\cdots \end{array}}\right.$

Proseguendo, si ottiene un 1, seguito da un numero di zeri pari all’esponente, ovvero:

$10^{n}=1\underbrace {000000\cdots 00000} _{\text{n zeri dopo l'uno}}$

Esercizio 1

Dati i seguenti numeri, quando sono scritti in forma di potenza scriverli in forma decimale; quando sono scritti in forma decimale scriverli in forma di potenza:

${\begin{aligned}&10^{5}&={\underline {\qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad }}\\&10^{8}&={\underline {\qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad }}\\&10~000&={\underline {\qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad }}\\&10~000~000~000&={\underline {\qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad }}\\&10^{7}&={\underline {\qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad }}\\&1~000&={\underline {\qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad }}\\&10^{5}&={\underline {\qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad }}\\&1~000~000&={\underline {\qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad }}\end{aligned}}$

Potenze in base 10 con esponente intero negativo

Si consideri un qualsiasi numero che viene indicato con la lettera $a$ e un numero intero positivo il quale viene indicato con la lettera $n$. Il numero $(-n)$ sarà—pertanto—un numero intero negativo.

La definizione della potenza: $a^{(-n)}$ (si legge $a$ elevato alla meno $n$) è pari a:

$a^{-n}={\frac {1}{a^{n}}}$

Ecco alcuni esempi:

Esempio 3

$\left\{{\begin{array}{l}5^{-2}={\frac {1}{5^{2}}}={\frac {1}{25}}\\-3^{-3}={\frac {1}{-3^{3}}}=-{\frac {1}{27}}\end{array}}\right.$

Esempio 4

Un caso di notevole interesse è quando la base della potenza è pari a 10, dove si ottiene:

$\left\{{\begin{array}{l}10^{0}=1\\10^{-1}=0,1\\10^{-2}=0,01\\\cdots \end{array}}\right.$

Proseguendo, si ottiene un 1, preceduto da un numero di zeri pari all’esponente, dove la virgola viene posta dopo il primo 0, se presente,

$10^{-n}=\underbrace {0{\text{,}}000000\cdots 0000} _{\text{n zeri prima dell'uno}}1.$

Esercizio 2

Dati i seguenti numeri, quando sono scritti in forma di potenza scriverli in forma decimale; quando sono scritti in forma decimale scriverli in forma di potenza:

${\begin{aligned}&0,000001&={\underline {\qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad }}\\&0,1&={\underline {\qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad }}\\&10^{8}&={\underline {\qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad }}\\&10^{-4}&={\underline {\qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad }}\\&{\frac {1}{10^{-3}}}&={\underline {\qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad }}\\&2^{-5}&={\underline {\qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad }}\\&4^{3}&={\underline {\qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad }}\\&-3^{-4}&={\underline {\qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad }}\\&0,00001&={\underline {\qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad }}\\&{\frac {4}{10^{2}}}&={\underline {\qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad }}\\&{\frac {3}{10^{2}}}&={\underline {\qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad }}\\&-{\frac {2}{10^{-5}}}&={\underline {\qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad }}\\&-10^{-3}&={\underline {\qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad }}\end{aligned}}$

Notazione esponenziale

La notazione esponenziale è molto usata in tutte le discipline scientifiche poiché la maggior parte delle quantità che si incontrano talvolta sono o molto grandi, o molto piccole. Per esempio, la distanza media tra Terra e Sole è circa $149~597~870~691{\text{ m}}$, mentre la massa di un elettrone è pari a circa $0,0000000000000000000000000000091093826{\text{ g}}$. Numeri molto grandi o piccoli possono essere scritti in maniera più agevole usando la notazione esponenziale.

Definizione 1

Un numero $a$ si dice scritto in notazione esponenziale quando si presenta nella forma:

$a\cdot 10^{n},$

dove $a$, detta parte significativa, è un numero decimale; $10$ è la base della potenza; $n$—detto esponente—può essere sia positivo, sia negativo.

Ecco alcuni esempi:

Esempio 5

$\left\{{\begin{array}{l}5\cdot 10^{5}=500~000\\6\cdot 10^{-4}=0,0006\\-12\cdot 10^{7}=-120~000~000\\-31\cdot 10^{-4}=-0,0031\end{array}}\right.$

Esercizio 3

Di seguito vengono riportati due esercizi svolti:

${\begin{aligned}&123~00=123\cdot 10^{3}=1,23\cdot 10^{5}\\&0,0000456=456\cdot 10^{-7}=4,56\cdot 10^{-5}\end{aligned}}$

Esercizio 4

Ripetere l'Esercizio 3 scrivendo i seguenti numeri in notazione esponenziale, lasciando una sola cifra prima della virgola.

${\begin{aligned}&1~234~000&={\underline {\qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad }}\\&-0,12&={\underline {\qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad }}\\&32,678&={\underline {\qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad }}\\&0,000005532&={\underline {\qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad }}\\&1~674~637&={\underline {\qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad }}\\&0,0004327&={\underline {\qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad }}\\&4^{3}&={\underline {\qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad }}\\&-6~754,34&={\underline {\qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad }}\\&0,0000329&={\underline {\qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad }}\\&-0,0235&={\underline {\qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad }}\end{aligned}}$

Notazione scientifica

La notazione scientifica è un particolare tipo di notazione esponenziale, quindi sempre della forma: $a\cdot 10^{n}$ (con $n$ che può essere sia positivo, sia negativo). La particolarità è che la parte significativa è costituita da una sola cifra diversa da $0$, come $6,022140857\cdot 10^{23}$; non è ammesso—a titolo di esempio—$602~2140857\cdot 10^{21}$.

Esempio 6

$\left\{{\begin{array}{ll}-1,23\cdot 10^{51}&{\text{è scritto in notazione scientifica}}\\6,78\cdot 10^{-42}&{\text{è scritto in notazione scientifica}}\\45,8\cdot 10^{-7}&{\text{non è scritto in notazione scientifica}}\\-0,99\cdot 10^{2}&{\text{non è scritto in notazione scientifica}}\end{array}}\right.$

Notazione ingegneristica

La notazione ingegneristica è una particolare versione della notazione esponenziale. In questo caso, l'esponente deve essere un multiplo intero di $3$ (ovvero potenze di migliaia, ma scritte—per esempio—come $10^{6}$ in luogo di $1~000^{2}$). Oppure, le potenze di $10$, possono essere sostituite con i prefissi del Sistema Internazionale, i quali restituiscono coefficienti moltiplicativi di un multiplo o sottomultiplo intero di mille.

Il pregio di questa notazione è quello di fornire—durante i calcoli—risultati immediatamente utilizzabili per il computo delle unità di misura.

La notazione ingegneristica, quindi, utilizza soltanto le potenze di dieci riportate in Tabella.

Prefisso	Simbolo	$10^{n}$	Decimali
yotta	Y	$10^{24}$	1000000000000000000000000
zetta	Z	$10^{21}$	1000000000000000000000
exa	E	$10^{18}$	1000000000000000000
peta	P	$10^{15}$	1000000000000000
tera	T	$10^{12}$	1000000000000
giga	G	$10^{9}$	1000000000
mega	M	$10^{6}$	1000000
kilo	k	$10^{3}$	1000
		$10^{0}$	1
milli	m	$10^{-3}$	0,001
micro	$\mu$	$10^{-6}$	0,000001
nano	n	$10^{-9}$	0,000000001
pico	p	$10^{-12}$	0,000000000001
femto	f	$10^{-15}$	0,000000000000001
atto	a	$10^{-18}$	0,000000000000000001
zepto	z	$10^{-21}$	0,000000000000000000001
yocto	y	$10^{-24}$	0,000000000000000000000001

Ordine di grandezza di un numero

Intuitivamente, l'ordine di grandezza di un numero è il numero di potenze di $10$ contenuto nel numero stesso. La stima dell'ordine di grandezza di una grandezza fisica il cui valore preciso è sconosciuto, è una stima arrotondata alla potenza di dieci più vicina.

Esempio 7

${\begin{array}{ll}423,54&{\text{ordine di grandezza pari a }}10^{2}\\0,00034&{\text{ordine di grandezza pari a }}10^{-4}\\978&{\text{ordine di grandezza pari a }}10^{3}\\0,018&{\text{ordine di grandezza pari a }}10^{-2}\end{array}}$

Esempio 8

Altri due esempi per chiarire meglio eventuali dubbi:

${\begin{array}{llll}423,54&=4,2354\cdot 10^{2}&{\text{ordine di grandezza }}10^{2}&({\text{poiché }}4,2<5)\\0,00064&=6,4\cdot 10^{-4}&{\text{ordine di grandezza }}10^{-3}&({\text{poiché }}6,4>5)\end{array}}$

Prima di procedere a un calcolo accurato, una valutazione dei soli ordini di grandezza consente di valutare se una data ipotesi è in grado di spiegare i fenomeni osservati. Per esempio un pallone da calcio non può avere un raggio di dimensioni astronomiche, viceversa la distanza tra Terra e Luna non può essere dell'ordine di grandezza del metro.

Prodotto tra numeri in notazione esponenziale

Definizione 2

Dati due (o più) numeri notazione esponenziale, il loro prodotto è dato da:

${\begin{aligned}&a\cdot 10^{n}\cdot b\cdot 10^{m}=a\cdot b\cdot 10^{n}\cdot 10^{m}=a\cdot b\cdot 10^{n+m}.\end{aligned}}$

Esempio 9

Due esempi sono i seguenti:

${\begin{aligned}&3\cdot 10^{8}\cdot 5\cdot 10^{-2}=3\cdot 5\cdot 10^{8+(-2)}=15\cdot 10^{6}=1,5\cdot 10^{7}\\&6,5\cdot 10^{-4}\cdot 2\cdot 10^{-3}=6,5\cdot 2\cdot 10^{(-4)+(-3)}=13\cdot 10^{-7}=1,3\cdot 10^{-6}\end{aligned}}$

Esercizio 5

Eseguire i seguenti prodotti tra numeri in formato esponenziale, restituendo il risultato sempre in formato esponenziale.

${\begin{aligned}&6,5\cdot 10^{3}\cdot 3\cdot 10^{6}&={\underline {\qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad }}\\&4\cdot 10^{4}\cdot (-3,1)\cdot 10^{-6}&={\underline {\qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad }}\\&8\cdot 10^{-7}\cdot 5,5\cdot 10^{5}&={\underline {\qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad }}\\&-6\cdot 10^{-3}\cdot (-2,5)\cdot 10^{-1}&={\underline {\qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad }}\end{aligned}}$

Quozienti tra numeri in notazione esponenziale

Definizione 3

Dati due (o più) numeri notazione esponenziale, il loro quoziente è dato da:

${\begin{aligned}&{\frac {a\cdot 10^{n}}{b\cdot 10^{m}}}={\frac {a}{b}}\cdot {\frac {10^{n}}{10^{m}}}={\frac {a}{b}}\cdot 10^{n-m}.\end{aligned}}$

Esempio 10

Due esempi sono i seguenti:

${\begin{aligned}&{\frac {2,4\cdot 10^{-2}}{2\cdot 10^{6}}}={\frac {2,4}{2}}\cdot 10^{-2-6}=1,2\cdot 10^{-8}\\&{\frac {1,5\cdot 10^{-4}}{5\cdot 10^{-4}}}={\frac {1,5}{5}}\cdot 10^{-4-(-8)}=0,3\cdot 10^{-4}=3\cdot 10^{-3}\end{aligned}}$

Esercizio 6

Eseguire i seguenti quozienti tra numeri in formato esponenziale, restituendo il risultato sempre in formato esponenziale.

${\begin{aligned}&{\frac {7,2\cdot 10^{4}}{3\cdot 10^{0}}}&={\underline {\qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad }}\\&{\frac {6,4\cdot 10^{6}}{(-1,6)\cdot 10^{-2}}}&={\underline {\qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad }}\\&{\frac {8,8\cdot 10^{-5}}{2,2\cdot 10^{9}}}&={\underline {\qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad }}\\&{\frac {(-3,5)\cdot 10^{-3}}{(-5)\cdot 10^{-8}}}&={\underline {\qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad }}\end{aligned}}$

Elevamento a potenza di numeri in notazione esponenziale

Definizione 4

Dovendo calcolare l'elevamento a potenza di un numero scritto in formato esponenziale, si procede come segue:

${\begin{aligned}&(a\cdot 10^{n})^{m}=a\cdot 10^{n\cdot m}.\end{aligned}}$

Esempio 11

Due esempi sono i seguenti:

${\begin{aligned}&(4\cdot 10^{5})^{3}=4^{3}\cdot 10^{5\cdot 3}=64\cdot 10^{15}=6,4\cdot 10^{16}\\&(-2\cdot 10^{-6})^{-5}=(-2)^{-5}\cdot 10^{-6\cdot (-5)}=-0,03125\cdot 10^{30}=-3,125\cdot 10^{32}\end{aligned}}$

Esercizio 7

Eseguire i seguenti quozienti tra numeri in formato esponenziale, restituendo il risultato sempre in formato esponenziale.

${\begin{aligned}&(-3\cdot 10^{16})^{3}&={\underline {\qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad }}\\&(4\cdot 10^{7})^{-2}&={\underline {\qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad }}\\&(8\cdot 10^{-5})^{2}&={\underline {\qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad }}\\&(-5\cdot 10^{-4})^{-3}&={\underline {\qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad }}\end{aligned}}$

Conversione dal formato esponenziale al formato decimale

Il formato decimale altro non è che un caso particolare del formato esponenziale in cui l'esponente ha valore nullo. Premesso questo, i casi che possono presentarsi sono due: quello in cui l'esponente è positivo e quello in cui l'esponente è negativo.

Esempio 12 (esponente positivo)

Se l'esponente della potenza in base $10$ che moltiplica la parte significativa è positivo, si sposta la virgola a destra nella parte significativa, eventualmente aggiungendo zeri (ovvero rendendo la parte numerica più grande) fino ad annullare l'esponente.

${\begin{array}{ll}4,35462\cdot 10^{4}=43~546,2&{\text{ovvero }}43~546,2\cdot 10^{0}\\2,72\cdot 10^{6}=2~720~000&{\text{ovvero }}2~720~000\cdot 10^{0}\end{array}}$

Esempio 13 (esponente negativo)

Se l'esponente della potenza in base $10$ che moltiplica la parte significativa è negativo si sposta la virgola a sinistra nella parte significativa, eventualmente aggiungendo zeri (ovvero rendendo la parte numerica più piccola) fino ad annullare l'esponente.

${\begin{array}{ll}1,23\cdot 10^{-3}=0,00123&{\text{ovvero }}0,00123\cdot 10^{0}\\2,72\cdot 10^{-5}=0,0000272&{\text{ovvero }}0,0000272\cdot 10^{0}\end{array}}$

Esercizio 8

Convertire i seguenti numeri dal formato esponenziale al formato decimale.

${\begin{aligned}&-3,537\cdot 10^{6}&={\underline {\qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad }}\\&4,233\cdot 10^{2}&={\underline {\qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad }}\\&8,7\cdot 10^{-4}&={\underline {\qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad }}\\&-5,635\cdot 10^{-7}&={\underline {\qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad }}\end{aligned}}$

Conversione dal formato decimale alla notazione scientifica

Per convertire un numero dal formato decimale alla notazione scientifica si deve spostare la virgola fino alla prima cifra diversa da zero, modificando l'esponente in base al numero degli spostamenti effettuati ricordando che se la parte significativa diminuisce il suo valore, allora l'esponente dovrà aumentare; viceversa, se la parte significativa aumenta, sarà l'esponente a dover diminuire.

Esempio 14

${\begin{aligned}&1~543,56=1,54356\cdot 10^{3}\\&0,000324=3,24\cdot 10^{-4}\end{aligned}}$

In questo esempio i numeri a destra e sinistra dell'uguaglianza devono essere gli stessi. Nel primo caso la parte significativa diminuisce di $1~000$ volte e — di conseguenza — l'esponente aumenta di un identico fattore pari a $10^{3}$. Nel secondo caso la parte significativa aumenta di $10~000$ volte, pertanto l'esponente deve diminuire di un fattore pari a $10^{-4}$.

Esercizio 9

Convertire i seguenti numeri dal formato decimale alla notazione scientifica.

${\begin{aligned}&46~572,45&={\underline {\qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad }}\\&-31,875&={\underline {\qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad }}\\&0,06157&={\underline {\qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad }}\\&-0,0000579&={\underline {\qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad }}\\&67~854~934&={\underline {\qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad }}\\&0,0034&={\underline {\qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad }}\\&9~875,43&={\underline {\qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad }}\\&0,00018&={\underline {\qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad }}\end{aligned}}$

Conversione dal formato esponenziale alla notazione scientifica

In questo caso si tratta solo di far sì che il numero presenti una sola cifra significativa diversa da $0$ prima del punto decimale.

Esempio 15

${\begin{aligned}&536,54\cdot 10^{4}=5,3654\cdot 10^{6}\end{aligned}}$

Esercizio 10

Convertire i seguenti numeri in notazione scientifica.

${\begin{aligned}&-433,557\cdot 10^{6}&={\underline {\qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad }}\\&1~544,233\cdot 10^{2}&={\underline {\qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad }}\\&854,72\cdot 10^{-4}&={\underline {\qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad }}\\&-5~574,635\cdot 10^{-5}&={\underline {\qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad }}\end{aligned}}$

Somma algebrica tra numeri scritti in forma esponenziale

Per poter effettuare la somma algebrica tre due o più numeri espressi in notazione esponenziale occorre che questi siano con lo stesso ordine di grandezza, ovvero che gli esponenti siano gli stessi. In caso contrario, occorre modificare l'esponente di uno degli addendi e procedere, come nell'esempio che segue.

Esempio 16

$23,4\cdot 10^{3}-0,00253\cdot 10^{7}=23,4\cdot 10^{3}-25,3\cdot 10^{3}=(23,4-25,3)\cdot 10^{3}=-1,9\cdot 10^{3}$

Quando i due numeri hanno lo stesso ordine di grandezza, la somma algebrica viene eseguita considerando solo le parti significative. L'esponente finale, pertanto, rimane inalterato.

Esercizio 11

Eseguire le seguenti somme algebriche tra numeri in formato esponenziale, esprimendo il risultato sempre in formato esponenziale.

${\begin{aligned}&354,74\cdot 10^{23}+73,050\cdot 10^{21}&={\underline {\qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad }}\\&-784,34\cdot 10^{-15}-0,004563\cdot 10^{-10}&={\underline {\qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad }}\end{aligned}}$

Esercizio 12 (esercizi di riepilogo)

Determinare il risultato delle seguenti espressioni.

${\begin{aligned}&{\frac {5\cdot 10^{3}\cdot 6\cdot 10^{-2}}{(3\cdot 10^{4})^{-5}}}&={\underline {\qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad }}\\&{\frac {(30\cdot 10^{-2})^{3}}{(5\cdot 10^{2}\cdot 3\cdot 10^{-5})^{4}}}&={\underline {\qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad }}\\&{\frac {0,00007^{2}\cdot 50~000^{-6}}{0,0000035^{7}\cdot 100~000}}&={\underline {\qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad }}\\&{\frac {0,00005^{3}\cdot 120~000^{3}}{0,000004^{-2}\cdot 40~000^{5}}}&={\underline {\qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad }}\\&{\frac {\frac {0,000002}{0,00000005}}{0,032\cdot 10^{8}-({\frac {1~600~000}{400~000}})^{2}}}&={\underline {\qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad }}\end{aligned}}$

Grandezze fisiche e unità di misura

Questa sezione introduce le definizioni fondamentali per la comprensione degli argomenti generali della scienza e della tecnologia.

Definizione 1 (fisica)

La fisica è la scienza che studia—attraverso l'osservazione e la sperimentazione—in modo quantitativo i fenomeni che lasciano inalterate le sostanze dei corpi che vi partecipano (fenomeni fisici).

Per comprendere questa definizione è necessario soffermarsi su alcuni passaggi. Studiare in modo quantitativo significa considerare le quantità di un fenomeno, non le qualità.

Quindi—studiando la caduta dei gravi—lo scienziato non si limiterà a dire «la velocità del grave aumenta sempre di più» ma (dopo studi e misurazioni sul fenomeno) concluderà dicendo che «la velocità dei gravi ha un moto uniformemente accelerato con accelerazione pari a $9,8066~{\text{m/s}}^{2}$ e l'equazione oraria del moto è pari a:

$h={\frac {1}{2}}9,8066t^{2},$

dove $h$ è lo spazio percorso dal grave durante la caduta e $t$ il tempo impiegato a percorrerlo».

Definizione 2 (grandezza fisica)

Si definisce grandezza fisica ogni concetto che consente una descrizione quantitativa dei fenomeni fisici.

Anche questa definizione merita un approfondimento. A titolo di esempio spazio e tempo sono grandezze fisiche. Per grandezza fisica si intende un'infinità di elementi che possiedono una caratteristica che li individua e li distingue da tutti gli altri.

Volendo studiare scientificamente la realtà, non è possibile limitarsi alle informazioni fornite dai cinque sensi. È necessario usare strumenti che permettano di acquisire dati controllabili, i quali consentano di eseguire una valutazione non soggettiva, ma oggettiva, indipendente dall'osservatore: questi sono i cosiddetti strumenti di misurazione.

Tuttavia, non tutto è misurabile, poiché non si può avere una valutazione oggettiva di ogni cosa (come la bellezza, la simpatia, le quali saranno sempre soggettive).

Si definisce, pertanto, grandezza fisica una qualsiasi caratteristica di un corpo, o di un fenomeno, che può essere misurata, espressa con un numero. Per ogni grandezza fisica viene redatto un protocollo di misurazione, una descrizione sia degli strumenti utilizzati, sia della procedura, la quale descrive in modo accurato come deve avvenire la misurazione.

Le grandezze fisiche vengono definite operativamente, in quanto la grandezza stessa è definita attraverso le operazioni che si compiono per misurarla. Esistono altre proprietà dei corpi molto concrete ma che non possono essere considerate grandezze fisiche, come—per esempio—il sapore, perché per esse non è ancora stato possibile elaborare un procedimento univoco di misurazione.

Un'altra precisazione importante: nel linguaggio comune è normale affermare misuro il tavolo o altri oggetti. È possibile perciò affermare che il tavolo sia una grandezza? No: mai confondere la grandezza fisica di un corpo con il corpo stesso. Di un tavolo, infatti, si possono misurare diverse grandezze fisiche come massa, lunghezza, area, eccetera.

Definizione 3 (unità di misura)

Le unità di misura sono uno standard per la misurazione delle grandezze fisiche.

In fisica, è necessaria una definizione chiara e univoca di tali quantità, per garantire l'utilità e la riproducibilità dei risultati sperimentali; questo concetto è alla base del metodo scientifico. Si supponga, a titolo di esempio, di voler misurare il bordo di un tavolo confrontandolo con uno spago, e determinando—con questa procedura—che il tavolo è lungo cinque volte lo spago in questione. Questo risultato è di difficile utilizzo, poiché non sarà noto—a chi leggerà la documentazione—quanto è lungo il tavolo, a meno che questi abbia (o riesca a procurarsi) un pezzo di spago identico al campione utilizzato.

Volendo comunicare la lunghezza del tavolo a chiunque, è necessario confrontarla con un'altra lunghezza che tutti possiedono o possano procurarsi. Più concretamente: ordinando un armadio lungo $3,60{\text{ m}}$, se le unità di misura non fossero perfettamente confrontabili, si potrebbe ricevere un armadio lungo $4{\text{ m}}$ e quindi inutilizzabile.

È—pertanto—fondamentale una standardizzazione delle unità di misura, dei sistemi di riferimento preposti a misurare le grandezze fisiche. Si è così creato un organismo internazionale il Bureau International des Poids et Mesures (BIPM) con sede a Sèvres, vicino a Parigi, il quale si occupa di definire le unità di misura delle varie grandezze fisiche a livello mondiale.

In Italia, esiste un organismo che si occupa delle questioni legate alle unità di misura: l'Istituto Nazionale di Ricerca Metrologica (INRIM), con sede a Torino.

L'insieme delle unità di misura delle grandezze fisiche fondamentali e dei relativi campioni mediante i quali può essere espressa ogni altra grandezza fisica, costituisce un sistema di unità di misura.

Un buon sistema di unità di misura, per essere tale, deve rispondere alle seguenti caratteristiche:

• i suoi campioni devono essere il più possibile invarianti, devono conservare inalterate le loro caratteristiche nello spazio e nel tempo: non devono essere sensibili alla variazione di temperatura o umidità, ad esempio;
• deve essere di facile riproducibilità. Deve essere relativamente facile eseguire copie standard del campione, così da creare i campioni secondari usati nell'industria, dai quali poi derivano gli strumenti usati nel quotidiano. Un esempio: la massa; il campione riconosciuto a livello internazionale è un cilindro di platino--iridio conservato presso l'Ufficio Internazionale di Pesi e Misure. Campioni secondari ottenuti mediante il confronto con una bilancia a bracci uguali, sono stati inviati a laboratori specializzati in altri paesi e le masse di altri oggetti possono essere determinate pesandole su bilance a bracci uguali insieme ai campioni secondari;
• le unità di misura fondamentali devono essere convenienti, pratiche e—possibilmente—comode da usare, sia nella vita di tutti i giorni, sia nella pratica scientifica. Per esempio: il metro è un'unità a misura d'uomo. L'altezza e molti oggetti di uso quotidiano sono dell'ordine di grandezza del metro. Se fossimo piccoli come le formiche o grandi come montagne, avremmo scelto una diversa unità di misura per le lunghezze;
• le sue grandezze fondamentali devono essere indipendenti fra loro, il loro numero deve essere il più piccolo possibile, ma sufficiente a descrivere tutti i fenomeni fisici conosciuti;
• deve essere coerente, le grandezze derivate devono ottenersi da quelle fondamentali tramite prodotti, quozienti e potenze senza alcun coefficiente numerico;
• deve avere i multipli e i sottomultipli decimali.

Principali sistemi di unità di misura

Il Sistema Internazionale di unità di misura

Il Sistema Internazionale (SI) è il sistema di unità di misura più diffuso a livello internazionale ed è usato da tutta la comunità scientifica a partire dal 1960. Tuttavia, ancora oggi esistono alcuni Paesi—come l'Inghilterra e gli Stati Uniti—che non si sono ancora uniformati totalmente al sistema decimale e utilizzano unità di misura proprie, non universali, come quelle di lunghezza: pollice, piede, miglio; o quelle per il peso: libbra, oncia, eccetera.

Gli unici tre stati in cui il Sistema internazionale non è stato adottato come principale o unico sistema di misurazione sono gli Stati Uniti d'America, la Liberia e la Birmania.

L'uso del SI in Italia è stato adottato per legge col DPR 802/1982 ai sensi della Direttiva del Consiglio CEE del 18 ottobre 1971 (71/1354/CEE), modificata il 27 luglio 1976 (76/770/CEE). Il suo utilizzo è obbligatorio nella stesura di atti e documenti con valore legale; pertanto il mancato rispetto delle norme di scrittura sopracitate potrebbe comportare l'invalidazione di tali atti.

Il Sistema Imperiale Britannico

Il Sistema Imperiale Britannico è stato utilizzato nei paesi di lingua anglosassone (e in alcuni settori tecnologici come l'idraulica) fino al 1995, e viene ancora utilizzato non ufficialmente. Sono espresse nel sistema inglese diametri di tubature (pollici, inch), filettature, eccetera.

Occorre sottolineare che il sistema inglese è di natura non decimale.

Il Sistema CGS

Il Sistema CGS (centimetro/grammo/secondo) è un sistema tuttora molto utilizzato nelle discipline in cui vengono effettuate misurazioni di piccoli quantitativi di sostanze; sostituisce il centimetro al metro come unità di misura della lunghezza e il grammo al chilogrammo per la massa.

In alcuni settori, inoltre, continuano ad essere usate ancora delle unità di misura anomale, come il carato ($0,2{\text{ g}}$) per le pietre preziose o il barile ($42{\text{ galloni}}$, ovvero $158,987{\text{ litri}}$) per il petrolio.

Il Sistema Internazionale di unità di misura

Il Sistema internazionale (SI)—come ogni sistema di unità di misura—si divide in due parti: grandezze fondamentali e grandezze derivate.

Grandezze fondamentali

Le grandezze fondamentali sono quelle grandezze fisiche per le quali viene definito operativamente un campione, cioè esiste un corpo o un fenomeno per il quale la grandezza assume un valore unitario.

Ogni altra grandezza fisica (e la relativa unità di misura) è una combinazione di due o più grandezze fisiche (unità) di base, o il reciproco di una di esse. Con l'eccezione del chilogrammo, tutte le altre unità sono definibili misurando fenomeni naturali. Inoltre, è da notare che il chilogrammo è l'unica unità di misura di base contenente un prefisso: questo perché il grammo è un valore troppo piccolo per la maggior parte delle applicazioni pratiche.

Nelle due tabelle che seguono sono riportate le grandezze fondamentali e le unità di misura nel SI.

Grandezze fisiche fondamentali del sistema internazionale

Grandezza fisica	Simbolo	Nome dell’unità	Simbolo dell’unità
Intensità di corrente	I, i	ampere	A
Intensità luminosa	$I_{v}$	candela	cd
Lunghezza	l	metro	m
Massa	m	chilogrammo	kg
Quantità di sostanza	n	mole	mol
Temperatura	T	kelvin	K
Tempo	t	secondo	s

Inizialmente, a queste unità di misura riportate in tabella, ne venivano aggiunte altre due che creavano una categoria a parte nota come Unità supplementari. Questa categoria è stata abrogata nel 1995 dalla XX Conferenza Generale dei Pesi e delle Misure (CGPM), e ora vengono considerate unità derivate.

Unità supplementari del Sistema internazionale

Grandezza fisica	Simbolo	Nome dell’unità	Simbolo dell’unità
Angolo	$\phi$, $\vartheta$	radiante	rad
Angolo solido	$\Omega$	steradiante	sr

Grandezze derivate

Le grandezze fisiche sono legate da opportune relazioni matematiche fra di loro, come moltiplicazioni e divisioni. Per esempio, la velocità media si calcola dividendo una lunghezza percorsa per il tempo impiegato a percorrerla. Pertanto, non è necessario definire operativamente un campione per ciascuna grandezza fisica (anche perché servirebbero moltissimi campioni) ma è sufficiente scegliere un piccolo numero di grandezze fisiche fondamentali e ricavare poi le unità delle altre grandezze.

Pertanto, per la velocità non sarà necessario definire una nuova unità di misura, poiché il rapporto fra lo spazio percorso e il tempo impiegato a percorrerlo, definiscono l'unità di misura della velocità, in questo caso m⁄s. Le unità di misura delle grandezze derivate si chiamano unità derivate.

In tabella sono riportate alcune delle altre grandezze e unità derivate più importanti.

Alcune delle più importanti unità di misura derivate

Grandezza fisica	Simbolo	Nome dell'unità	Simbolo dell'unità	Equivalenza
Area	A		${\text{m}}^{2}$
Volume	V		${\text{m}}^{3}$
Velocità	v		${\text{m}}\cdot {\text{s}}^{-1}$
Accelerazione	a		${\text{m}}\cdot {\text{s}}^{-2}$
Densità	$\delta$		${\text{kg}}\cdot {\text{m}}^{-3}$
Forza	F	newton	N	${\text{kg}}\cdot {\text{m}}\cdot {\text{s}}^{-2}$
Pressione	P	pascal	Pa	${\text{N}}\cdot {\text{m}}^{-2}={\text{kg}}\cdot {\text{m}}^{-1}\cdot {\text{s}}^{-2}$
Lavoro	L	joule	J	${\text{N}}\cdot {\text{m}}={\text{kg}}\cdot {\text{m}}^{2}\cdot {\text{s}}^{-2}$
Potenza	P	watt	W	${\text{J}}\cdot {\text{s}}^{-1}={\text{kg}}\cdot {\text{m}}^{2}\cdot {\text{s}}^{-3}$
Carica elettrica	Q	coulomb	C	${\text{A}}\cdot {\text{s}}$

Vi sono poi unità di misura d'uso corrente, ma non accettate dal Sistema Internazionale, le principali sono riportate nella seguente tabella:

Alcune delle più importanti unità di misura derivate

Grandezza fisica	Simbolo	Nome dell'unità	Simbolo dell'unità	Equivalenza
Area	ha	ettaro	ha	$1~{\text{ha}}=1~{\text{hm}}^{2}=10^{4}~{\text{m}}^{2}$
Tempo	t	minuto / ora / giorno	min / h / d	$1~{\text{min}}=60~{\text{s}}~/~1~{\text{h}}=3~600~{\text{s}}~/~1~{\text{d}}=86~400~{\text{s}}$
Capacità	V	litro	l, L	$1~{\text{l}}=1~{\text{dm}}^{3}=10^{-3}~{\text{m}}^{3}$
Pressione	p	bar / armosfera	bar / atm	$1~{\text{bar}}=10^{5}~{\text{Pa}}~/~1~{\text{atm}}=101~325~{\text{Pa}}$
Massa	m	quintale	q.le	$1~{\text{q.le}}=10^{2}~{\text{kg}}$
Energia	E	caloria	cal	$1~{\text{cal}}=4,186~{\text{J}}$

Equazioni dimensionali

Si supponga di voler misurare una qualsiasi area: è facile notare che—a meno di un fattore moltiplicativo—l'area è funzione del prodotto di due lunghezze. Lo stesso ragionamento è applicabile anche al calcolo dei volumi, dove questi—sempre a meno di un fattore moltiplicativo—sono funzioni di un prodotto di tre lunghezze.

Esempio 17

Si ha infatti:

${\begin{aligned}&S_{quadrato}=l\cdot l\\&S_{rettangolo}=b\cdot h\\&S_{triangolo}={\frac {1}{2}}b\cdot h\end{aligned}}$

Esempio 18

Per i volumi si ottiene:

${\begin{aligned}&V_{cubo}=l\cdot l\cdot l\\&V_{parallelepipedo}=b\cdot h\cdot l\\&S_{piramide}={\frac {1}{2}}S_{base}\cdot h\end{aligned}}$

È quindi possibile generalizzare dicendo che: la superficie ha le dimensioni di una lunghezza al quadrato, scrivendo:

$[S]=[l^{2}].$

Lo stesso dicasi per il volume, il quale ha le dimensioni di una lunghezza elevata al cubo:

$[V]=[l^{3}].$

Nell'ambito fisico o tecnologico il comportamento è il medesimo: si fa riferimento alle grandezze fondamentali (oppure—se la cosa risulta più comoda, come nel caso della piramide—di grandezze derivate) e si considera quante volte una grandezza fisica fondamentale è coinvolta nella grandezza in esame.

Per quanto riguarda la velocità, questa è ottenuta facendo il rapporto tra spazio percorso e tempo impiegato a percorrerlo ($v=s/t$); pertanto le sue dimensioni saranno $[v]=[l]/[t]$ che, più propriamente, verranno indicate così:

$[v]=[l\cdot t^{-1}].$

Analogamente—per l'accelerazione—si ricorre alla sua definizione ($a={\frac {v-v_{0}}{t}}$) di variazione di velocità rispetto al tempo, ottenendo:

$[a]=[l\cdot t^{-1}]\cdot [t^{-1}]=[l\cdot t^{-2}],$

dove si è utilizzato il calcolo letterale.

A questo punto si è pronti per fornire una definizione:

Definizione 4 (equazioni dimensionali)

Le equazioni dimensionali sono uguaglianze dove il primo membro è costituito dalla grandezza fisica in esame (racchiusa tra parentesi quadre), mentre al secondo membro si trova un monomio costituito dalle grandezze fondamentali, con l'appropriato esponente, il quale esprime quante volte la grandezza fondamentale rientra nella definizione della grandezza fisica in esame.

Per trovare le dimensioni di una grandezza fisica si sceglie o una definizione, o una legge fisica dove compaia la grandezza da analizzare; si isola quindi la grandezza in esame e si analizzano le rimanenti parti fino ad arrivare alle grandezze fondamentali.

Esercizi svolti

Trovare le dimensioni della forza (legge fisica $F=m\cdot a$), e della differenza di potenziale (legge fisica $P=V\cdot I$).

${\begin{aligned}&[F]=[m]\cdot [a]=[m\cdot l\cdot t^{-2}]\\&[V]={\frac {[P]}{[I]}}={\frac {[L\cdot t^{-1}]}{[I]}}={\frac {[F\cdot l]\cdot [t^{-1}]}{[I]}}={\frac {[m\cdot l\cdot t^{-2}]\cdot [l]\cdot [t^{-1}]}{[I]}}=[m\cdot l^{2}\cdot t^{-3}\cdot I^{-1}]\end{aligned}}$

Importanza delle equazioni dimensionali

Lo studio delle equazioni dimensionali è importante per i seguenti motivi:

1. le equazioni dimensionali sono utili per verificare la giustezza di una formula;
2. le equazioni dimensionali sono utili per avere indicazioni su leggi fisiche;
3. le equazioni dimensionali sono utili per trovare le unità di misura delle grandezze derivate;
4. le equazioni dimensionali sono utili per trovare i fattori di ragguaglio;
5. le equazioni dimensionali sono utili nei problemi relativi alle similitudini.

Come verificare la giustezza di una formula

Dati due membri di un'uguaglianza—oppure i termini di una somma—questi dovranno essere omogenei tra loro; esaminando una formula, se ci si accorge che i termini non sono omogenei, allora le dimensioni di questi sono diverse e la formula—di conseguenza—è errata.

Supponiamo, a titolo di esempio, di non ricordare la formula per il calcolo del periodo del pendolo e di essere incerti tra le seguenti:

${\begin{aligned}T=2\pi {\sqrt {\frac {l}{g}}}\\T=2\pi {\sqrt {\frac {g}{l}}}\end{aligned}}$

Le equazioni dimensionali ci fanno notare che la prima è la formula fisica corretta perché in entrambi i membri è presente un tempo. Infatti, si ha:

$[t]=[l]^{\frac {1}{2}}\cdot [g]^{-{\frac {1}{2}}}=[l]^{\frac {1}{2}}\cdot [l\cdot t^{-2}]^{-{\frac {1}{2}}}=[l^{\frac {1}{2}}\cdot l^{-{\frac {1}{2}}}\cdot t^{1}]=[t].$

Questo esempio—allo stesso tempo—evidenzia anche il fatto che le equazioni dimensionali non forniscono nessuna informazione relativa a eventuali costanti moltiplicative, in quanto prive di dimensioni.

Un secondo limite è determinato dal fatto che le equazioni dimensionali non consentono di distinguere se una grandezza è vettoriale o scalare; quindi se le grandezze hanno le medesime dimensioni non è detto che siano omogenee: una potrebbe essere vettoriale, mentre l'altra scalare. È sempre vero il viceversa: se le grandezze sono eterogenee l'uguaglianza—o la somma algebrica—è da ritenersi errata.

Per esempio lavoro e momento di una forza sono entrambe il prodotto di una forza per uno spostamento, quindi hanno le medesime dimensioni. Tuttavia il lavoro è una grandezza scalare (forza per lo spostamento parallelo alla forza), mentre il momento di una forza è una grandezza vettoriale (forza per il braccio proiettato perpendicolarmente alla forza stessa).

Come ottenere indicazioni su leggi fisiche

Sempre a meno di costanti moltiplicative, è possibile ricavare informazioni di base su leggi fisiche procedendo per ipotesi.

Si consideri un recipiente contenente un liquido con un foro alla profondità $h$ rispetto alla superficie libera del liquido. La velocità $v$ cui fuoriesce il liquido dal foro dipenderà da $h$, dall'accelerazione di gravità $g$ e—forse—dalla densità $\delta$ del liquido stesso. La formula che lega la velocità di efflusso alle altre grandezze sarà del tipo: $v=k\cdot h^{x}\cdot g^{y}\cdot \delta ^{z},$ dove $k$ è un'eventuale costante moltiplicativa che non è possibile determinare con l'aiuto delle equazioni dimensionali, mentre $x$, $y$ e $z$ sono gli esponenti incogniti da determinare.

La determinazione di tali esponenti può essere ottenuta sperimentalmente, oppure attraverso le equazioni dimensionali, ricordando che—al primo e al secondo membro—devono essere presenti grandezze omogenee.

Premesso questo, e ricordando che:

${\begin{cases}\left[v\right]=\left[l\cdot t^{-1}\right]\\\left[h\right]=\left[l\right]\\\left[g\right]=\left[l\cdot t^{-2}\right]\\\left[\delta \right]=\left[m\cdot l^{-3}\right]\end{cases}},$

si dovrà—pertanto—avere:

$=[l]^{x}\cdot [l\cdot t^{-2}]^{y}\cdot [m\cdot l^{-3}]^{z}.$

Pertanto, elevando ciascuna grandezza al proprio esponente, si ottiene la seguente espressione:

$[l\cdot t^{-1}]=[l^{x}]\cdot [l^{y}\cdot t^{-2y}]\cdot [m^{z}\cdot l^{-3z}]=[l^{x+y-3z}\cdot m^{-z}\cdot t^{-2y}].$

Affinché i due membri dell'equazione dimensionale siano omogenei, è necessario che gli esponenti di quest'espressione siano tali da restituire una velocità (come al primo membro). Pertanto, si costruirà un sistema di equazioni dove le incognite sono gli esponenti:

${\begin{cases}x+y-3z=1\\z=0\\-2y=-1\end{cases}},$

da cui si ottiene:

${\begin{cases}x={\frac {1}{2}}\\y={\frac {1}{2}}\\z=0\end{cases}}.$

In definitiva, si ricava la seguente legge fisica:

$v=k\cdot h^{x}\cdot g^{y}\cdot \delta ^{z}=k\cdot h^{\frac {1}{2}}\cdot g^{\frac {1}{2}}\cdot \delta ^{0}=k{\sqrt {h~g}}.$

La legge esatta, ottenuta attraverso il metodo sperimentale, consente di definire anche l'eventuale coefficiente moltiplicativo $k$, ed è pari a:

$v={\sqrt {2~h~g}}.$

Come trovare le unità di misura delle grandezze derivate

Se le grandezze fondamentali contribuiscono un dato numero di volte in una data grandezze fisica, allo stesso modo tali grandezze contribuiranno a far parte delle unità di misura delle grandezze fisiche derivate. A titolo di esempio, le dimensioni della velocità sono:

$[v]=[l\cdot t^{-1}],$

pertanto, l’unità di misura della velocità sarà espressa in ${\text{m}}\cdot {\text{s}}^{-1}$, o—più semplicemente— ${\text{m/s}}$.

Sovente, capita che le unità di misura di grandezze fisiche d'uso comune (come la forza, il lavoro, la potenza, la pressione e molte altre) abbiano unità di misura difficili da ricordare. Inoltre tali grandezze sono spesso legate al lavoro e allo studio di un certo scienziato. Pertanto, per semplificare la loro scrittura, si attribuisce a tali grandezze fisiche, il nome di tale scienziato in luogo dell'unità di misura stessa. A titolo di esempio, le dimensioni della forza sono pari a:

$[F]=[m\cdot l\cdot t^{-2}];$

tuttavia, in onore al fondatore della Fisica moderna e dello scopritore delle leggi della dinamica, l'unità di misura della forza si chiama Newton (simbolo N).

Analogamente, sempre per motivi di semplicità, grandezze fisiche che presentano unità di misura complesse, vedono le loro unità di misura semplificate poiché si fa ricorso a unità di misura intermedie. Per esempio, l'unità di misura della permeabilità magnetica (simbolo $\mu$) non è di facile determinazione. Volendo riferirsi alle sole grandezze fondamentali si ha:

$[\mu ]=[m\cdot l\cdot t^{-2}\cdot I^{-2}],$

in questo caso le unità di misura sarebbero ${\text{kg}}\cdot {\text{m/s}}^{2}\cdot {\text{A}}^{2}$.

In questi casi, è più agevole ricorrere a unità di misura di grandezze utilizzate in ambito tecnologico. Un solenoide con $N$ spire, di lunghezza $l$, dove circola una corrente di intensità $I$, crea un campo di induzione magnetica $B$ pari a:

$B=\mu {\frac {N~I}{l}}.$

Il flusso $\Phi$, che si concatena con sé stesso, è dato dalla relazione:

$\Phi =B\cdot N\cdot S,$

pertanto si ottiene:

$\Phi =\mu {\frac {N~I}{l}}N\cdot S.$

Se si fa variare la corrente nel circuito si induce una forza elettromotrice (f.e.m.), detta f.e.m. autoindotta, pari a:

$V=-{\frac {\delta \Phi }{\delta t}}=-\mu {\frac {N^{2}}{l}}S{\frac {\delta I}{\delta t}}=-L{\frac {\delta I}{\delta t}}.$

Il coefficiente $L$, prende il nome di coefficiente di autoinduzione e la sua unità di misura è l'Henry (simbolo H).

Come trovare i fattori di ragguaglio

Le equazioni dimensionali si rivelano utili anche per trovare i fattori di ragguaglio, quei coefficienti che consentono di passare da un sistema di unità di misura a un altro.

Esempio 19

Il fattore di ragguaglio che esiste fra il Newton (unità di misura della forza nel Sistema Internazionale) e la dyna (unità di misura della forza nel Sistema cgs) si ricava scomponendo la grandezza fisica in esame nei due diversi sistemi di unità di misura.

Si indichino con $L$, $M$ e $T$ le grandezze relative al Sistema Internazionale, e con $l$, $m$ e $t$ le grandezze relative al Sistema cgs. Dalla definizione delle unità di misura nei due diversi sistemi è noto che:

${\begin{array}{l}{\frac {L}{l}}=100\\{\frac {M}{m}}=1~000\\{\frac {T}{t}}=1\end{array}}.$

Pertanto, è possibile scrivere:

${\frac {F}{f}}={\frac {[L\cdot M\cdot T^{-2}]}{[l\cdot m\cdot t^{-2}]}}={\frac {[L]~[M]~[T]^{-2}}{[l]~[m]~[t]^{-2}}}=100\times 1~000\times 1=10^{5}.$

Da cui si evince che $1{\text{ N}}=10^{5}{\text{ dy}}$.

Come risolvere problemi relativi alle similitudini

Sovente capita di avere la padronanza di un dispositivo o di una macchina, conoscerne a fondo i valori delle grandezze fisiche che questo esprime. Il problema che si vuole affrontare, quando si parla di similitudini, è il seguente: quali valori assumeranno le medesime grandezze fisiche di dispositivi simili ma con dimensioni differenti?

Esempio 20

Un cubo di legno ha una massa di $0,5{\text{ kg}}$. Quale massa avrà un cubo—del medesimo legno—le cui dimensioni lineari siano dieci volte maggiori?

Essendo $L=10~l$, dove $l$ è il lato di partenza e $L$ quello di arrivo, si ha che il volume (e—pertanto—la massa) aumentano di $(L/l)^{3}=(10)^{3}$ volte.

Quindi, il nuovo oggetto avrà una massa pari a $0,5{\text{ kg}}\cdot 10^{3}=500{\text{ kg}}$.

Supponendo di dover studiare il modello di un aereo, le cui dimensioni sono state ridotte di un fattore 1/100, e di investirlo con un vento il quale proceda a $1/10$ della velocità reale.

Naturalmente, per il modellino, si utilizzeranno i medesimi materiali di costruzione del prototipo. Pertanto, si può scrivere:

${\begin{array}{l}{\frac {L}{l}}=100\\{\frac {W}{w}}=10\\{\frac {D}{d}}=1\end{array}}.$

Il volume del prototipo—rispetto al modellino—sarà $(L/l)^{3}$ volte più grande, ovvero:

$\left[{\frac {V}{v}}\right]=\left[{\frac {L}{l}}\right]^{3}=100^{3}=10^{6},$

pertanto il prototipo avrà un volume un milione di volte maggiore. Lo stesso vale per la massa, poiché—avendo utilizzato i medesimi materiali—la densità è la stessa, pertanto $[M/m]=10^{6}$.

Poiché il rapporto tra le velocità è noto, si ha che:

${\frac {W}{w}}={\frac {[L\cdot T^{-1}]}{[l\cdot t^{-1}]}}={\frac {[L\cdot T^{-1}]}{[l\cdot t]}}=10,$

da cui si ottiene:

$100{\frac {T^{-1}}{t}}=10\qquad \Rightarrow \qquad {\frac {T^{-1}}{t}}={\frac {1}{10}}\qquad \Rightarrow \qquad {\frac {T}{t}}=10.$

Questi ultimi passaggio può risultare di difficile comprensione. Come mai il tempo, nel caso del modellino, scorre dieci volte più velocemente rispetto al caso del prototipo?

No, non occorre scomodare Einstein e la sua Teoria della Relatività. Basta osservare che i rapporti tra lunghezze sono pari a 100, mentre quelli tra velocità sono pari a 10. Ora, essendo $w=s/t$ si ha $t=s/w$ ovvero $100/10=10$. Pertanto, ciò che accade al modellino in un secondo, al prototipo accade in dieci secondi.

Con queste premesse è finalmente possibile scrivere i rapporti tra le grandezze fondamentali di unità di misura per questa similitudine:

${\begin{array}{l}{\frac {L}{l}}=100\\{\frac {M}{m}}=10^{6}\\{\frac {T}{t}}=10\end{array}}.$

Ora è possibile ricavare i rapporti fra tutte le altre grandezze derivate. Per quanto riguarda l'accelerazione, si ha:

${\frac {A}{a}}={\frac {L\cdot T^{-2}}{L\cdot t}}={\frac {L}{l}}{\frac {T^{-2}}{t}}=100\cdot 10^{-2}=1.$

Il rapporto tra le forze, invece, sarà pari a:

${\frac {F}{f}}={\frac {L\cdot M\cdot T^{-2}}{l\cdot m\cdot t}}={\frac {L}{l}}{\frac {M}{m}}{\frac {T^{-2}}{t}}=100\cdot 10^{6}\cdot 10^{-2}=10^{6},$

ovvero: per ottenere le medesime accelerazioni del modellino, il prototipo deve applicare una forza un milione di volte superiore.

In modo analogo è possibile dimostrare che i momenti delle forze, che si presentano sul prototipo—rispetto a quelli del modellino—sono cento milioni di volte maggiori (la dimostrazione viene lasciata allo studente come esercizio).

Grandezze dimensionate, adimensionate e numeri puri

In conclusione è bene notare che le grandezze fisiche si distinguono in due categorie: dimensionate e adimensionate (con e senza dimensioni). A esse si aggiungono i numeri puri.

Le grandezze dimensionate sono tutte quelle le quali presentano dimensioni non nulle: non tutti gli esponenti delle grandezze fondamentali della relativa equazione dimensionale sono nulli; vengono—pertanto—indicate con una grandezza, una misura e un'unità di misura.

Grandezze dimensionate

• L'accelerazione di gravità è pari a $g=9,8066{\text{ m/s}}^{2}$.
• La potenza dissipata da un aspirapolvere è $P=1~800{\text{ W}}$.

Le grandezze adimensionate, invece, hanno tutti gli esponenti delle loro equazioni dimensionali nulli. Nella maggior parte dei casi, ciò avviene con il rapporto di grandezze omogenee.

Vengono, quindi, indicate dal nome della grandezza fisica e dalla loro misura (priva dell'unità di misura).

Grandezze adimensionate

• La densità relativa del mercurio è $d=13,56$.
• Il numero di Reynolds è $R=4~500$.

Infine, i numeri puri—da non confondere con le grandezze adimensionali—sono numeri che indicano coefficienti numerici o la numerosità di certi insiemi.

Numeri puri

• L'area del triangolo è data da $S={\frac {1}{2}}b\cdot h$. In questo caso ${\frac {1}{2}}$ è un numero puro.
• Il numero di Avogadro.
• Il numero di spire di un solenoide.

Curiosità

I binari ferroviari

Viadotto a spirale vicino a Brusio in Svizzera

Lo scartamento standard degli Stati Uniti (distanza tra le due rotaie) è di 4 piedi e 8,5 pollici.

A prima vista questa misura sembra alquanto strana. Perché è stata scelta? Perché questa era la misura utilizzata in Inghilterra, e perché le ferrovie americane sono state costruite da progettisti inglesi. Ma perché gli inglesi le costruivano in questo modo? Perché le prime ferrovie furono costruite dalle stesse persone che, prima dell’avvento delle strade ferrate, costruivano le linee tranviarie usando lo stesso scartamento. Ma perché i costruttori inglesi usavano questo scartamento? Perché quelli che costruivano le carrozze dei tram utilizzavano gli stessi componenti e gli stessi strumenti che venivano usati dai costruttori di carrozze stradali, e quindi gli assi avevano la stessa larghezza e lo stesso scartamento.

Bene! Ma allora perché le carrozze utilizzavano questa curiosa unità di misura per la larghezza dell’asse? Perché, se avessero usato un’altra distanza, le ruote delle carrozze si sarebbero spezzate percorrendo alcune vecchie e consunte strade inglesi, in quanto questa era la misura dei solchi scavati dalle ruote sul fondo stradale.

Ma chi aveva provocato questi solchi sulle vecchie strade dell’Inghilterra? Le prime strade di collegamento costruite in Europa (e in Inghilterra) furono quelle costruite dall’Impero Romano per le proprie legioni. Prima di allora non vi erano strade che percorrevano lunghe distanze. E i solchi sulle strade? I carri da guerra romani produssero i primi solchi sulle strade, solchi a cui poi tutti gli altri veicoli dovettero adeguarsi per evitare di rompere le ruote. Essendo i carri da guerra costruiti tutti per conto dell’esercito dell’Impero Romano, essi avevano tutti la stessa distanza tra le ruote.

In conclusione: lo scartamento standard di 4 piedi e 8,5 pollici deriva dalle specifiche originarie dei carri da guerra dell’Impero Romano. Quindi, la prossima volta che leggerete delle specifiche tecniche e vi stupirete per il fatto che le misure sembrano stabilite per il deretano di un cavallo, magari poi vi accorgerete di aver fatto la giusta congettura. Visto che i carri da guerra furono costruiti proprio con le misure necessarie a contenere i sederi di due cavalli da guerra, con questo si è risposto anche alla domanda originale.

E ora un’utile estensione a questi discorsi. Quando si vede uno Space Shuttle nelle sua rampa di lancio, si notano i due booster attaccati al serbatoio principale. Questi due propulsori sono due razzi a combustibile solido o SRB. Gli SRB sono stati costruiti dalla Thiokol nei propri stabilimenti situati in Utah.

Gli ingegneri che li hanno progettati avrebbero voluto farli un po’ più grossi, ma gli SRB dovevano essere trasportati in treno dalla fabbrica alla rampa di lancio; visto che la linea ferroviaria che collega lo Utah alla base di lancio attraversa nel suo percorso alcune gallerie, i razzi dovevano essere costruiti in modo da passarci dentro. I tunnel ferroviari sono poco più larghi di una carrozza ferroviaria, e—come si è detto—le carrozze ferroviarie sono poco più larghe di una coppia di cavalli.

Ne consegue che la misura standard, utilizzata nel più avanzato mezzo di trasporto progettato in questo secolo, è stata determinata oltre due millenni or sono, prendendo a modello due deretani di cavallo!

Il mistero dell'angolo giro

Copia dell'incisione di Shield Alexander, estratta da "Pankoeke", 1775 circa

Per definizione di grado, un angolo giro è un angolo di 360°: un altro numero bizzarro. Non 100° o 1 000° (numeri di facile giustificazione), nemmeno 400, come accade per i gradi militari, facendo sì che l’angolo retto valga 100. Di nuovo un numero apparentemente dettato dal caso.

I sistemi di misurazione degli angoli, maggiormente utilizzati in ambito matematico, prevedono l’uso del radiante—o del grado sessagesimale—come unità di misura della loro ampiezza.

Quando si esprime la misura di un angolo usando il simbolo '°', significa che si sta utilizzando l’unità di misura in gradi sessagesimali. La parola sessagesimale—a sua volta—deriva dal latino sexaginta, la quale significa sessanta, ed è parte della tradizione culturale babilonese, i quali utilizzavano un sistema di numerazione posizionale con base 60.

Questo sistema è ancora utilizzato nella misurazione sia del tempo, sia degli angoli, dove la base non è decimale, ma sessagesimale: basti pensare—per esempio—alle unità di misura del tempo, un minuto equivale a 60 secondi, un’ora—a sua volta—è costituita da 60 minuti. In maniera simile funziona il grado sessagesimale degli angoli.

Ora la domanda sorge spontanea: perché i babilonesi hanno scelto proprio 60? Perché—se un primo equivale a 60 secondi e un grado equivale a 60 primi—un grado è la 360° parte di un angolo giro? Purtroppo non esistono testimonianze scritte, di conseguenza si può procedere solo con congetture.

I babilonesi erano acuti osservatori delle fasi lunari: contavano i giorni in base al ciclo lunare. Avevano stabilito che un ciclo lunare aveva una durata approssimativa di trenta giorni, pertanto un anno solare—utilizzando un cerchio zodiacale, composto da dodici segni, doveva durare—con un’eccellente approssimazione, considerata la tecnologia a loro disposizione—360 giorni. È probabile che, da tale cerchio, sia derivata la suddivisione di un angolo giro in 360°. Rimane il mistero del passaggio dalla base 30 alla base 60, giustificabile—forse—col calcolo $6\times 6=36$, ma anche questa è solo un’altra congettura.

Quindi, il goniometro, strumento che si è imparato a conoscere sin dai primi anni della scuola primaria, ha quella strana suddivisione in trecentosessanta gradi—molto probabilmente—per motivi astronomici: ogni giorno la Terra, nel suo moto di rivoluzione intorno al Sole, spazza un angolo pari a un grado.

E, se ve lo state chiedendo, la risposta è no: i Babilonesi non erano terrapiattisti.

Le ore del giorno (e della notte)

Immagine raffigurante il Sole e la Luna.Illustrazione tratta da “Nuremberg Chronicle”, di Hartmann Schedel (1440-1514).

Anche lo scorrere dei giorni viene misurato in maniera anomala: ventiquattr’ore. Un altro numero che nulla ha a che vedere con il Sistema Internazionale delle Unità di Misura.

Numero che ne genera—di conseguenza—un altro, che tutti gli informatici che hanno a che fare con i calendari perpetui (sia per passione, sia per lavoro) devono ricordare: $60\times 60\times 24=86~400$. Questi sono i secondi contenuti in un giorno, e la conoscenza di questo numero è necessaria perché il calendario interno dei calcolatori, nei sistemi operativi Unix, Unix–like, nel linguaggio di programmazione C e derivati (C++, C#, Java, ecc.) il tempo viene rappresentato come il numero di secondi trascorsi dalla mezzanotte del primo gennaio 1970.

A titolo di esempio, venerdì, 26 febbraio 2021, alle ore 19 15’ 00” (ora legale dell’Europa Centrale) lo Unix Timestamp era arrivato a 1 614 363 324 secondi.

Ritornando al quesito di partenza, la soluzione—apparentemente complessa—è invece piuttosto semplice: la giornata di ventiquattr’ore, proviene dalla cultura degli antichi egizi, i quali dividevano la giornata in dieci ore, le quali venivano misurate con le meridiane. Dopodiché, si aggiungeva un’ora per l’alba e un’altra per il tramonto.

I Decani di Marzo,l Salone dei Mesi di palazzo Schifanoia, Ferrara (1470).Particolare, Francesco Del Cossa, (1440–1514).

Similmente è stato fatto per la notte, ma per ragioni differenti. Il tempo notturno è stato diviso in dodici ore, basandosi su osservazioni astronomiche. Gli egiziani avevano un sistema di trentasei gruppi di stelle chiamati decani, scelti in modo che ogni notte un decano si alzasse quaranta minuti dopo quello precedente.

Per aiutare le persone nel determinare il tempo notturno osservando i decani, sono state scritte una serie di tavole. Sorprendentemente, queste tavole, sono state trovate anche all’interno delle urne funerarie, presumibilmente affinché anche i defunti potessero essere consapevoli dello scorrere del tempo.

Inoltre, nel sistema egiziano, la durata del giorno e della notte non erano sempre uguali, ma variavano al procedere delle stagioni. In estate, le ore diurne erano maggiori di quelle notturne. Viceversa, nella stagione invernale, si verificava la situazione opposta.

Per tutte queste ragioni, da allora—ancora oggi—ogni volta che la Terra compie una rotazione su sé stessa, convenzionalmente, si contano ventiquattr’ore.