Oscillatore armonico (meccanica quantistica)

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lezione
Oscillatore armonico (meccanica quantistica)
Tipo di risorsa Tipo: lezione
Materia di appartenenza Materia: Meccanica quantistica

Introduzione[modifica]

In meccanica classica, si definisce oscillatore armonico (nel seguito abbreviato in O.A.) un sistema meccanico soggetto ad una forza di richiamo proporzionale allo spostamento dalla posizione di equilibrio; si tratta di un problema ampiamente studiato, di cui è nota la soluzione. Inizieremo col considerare il caso più semplice di un sistema unidimensionale, per poi generalizzare la trattazione in seguito.

In un O.A. unidimensionale, la particella è vincolata a muoversi su di un asse. Sia la coordinata della sua posizione sull'asse, con il centro della forza come origine, il suo momento, la sua massa e la forza di richiamo cui è soggetta. Il problema corrispondente in meccanica quantistica è quello di una particella di massa , con Hamiltoniana

con la coordinata e il momento legate dalla relazione

Autovalori e autovettori dell'Hamiltoniana[modifica]

Per semplificare la trattazione ed evitare di riscrivere le costanti in ogni calcolo, poniamo:

Trasformiamo il nostro problema in quello equivalente di trovare gli autovalori e di costruire gli autovettori dell'operatore

Il problema può essere risolto considerando ad esempio la rappresentazione , e risolvendo l'equazione di Schrödinger (indipendente dal tempo) associata, ovvero, essendo

Tuttavia seguiremo un metodo diverso, dovuto a Dirac, che consiste nella costruzione degli autovettori di applicando un particolare operatore ad uno di essi.

Poniamo:

Ognuno di tali operatori è l'hermitiano coniugato dell'altro, e si verifica facilmente che:

Ponendo , si ricava[1]:

Abbiamo così cambiato il nostro problema in quello equivalente di costruire gli autovettori di (si vede subito che si tratta di un operatore hermitiano).


Teorema: Caratterizzazione degli autoavalori di

Se è un autovettore di , appartenente all'autovalore , allora:

  1. Se è un vettore non nullo di norma ed è un autovettore di appartenente all'autovalore
  2. è sempre un vettore non nullo di norma ed è un autovettore di appartenente all'autovalore


Sia ora ; possiamo applicare il teorema al vettore , appartenente all'autovalore : questo implica . Se , possiamo applicare il teorema al vettore . Iterando questo ragionamento, costruiamo un insieme di autovettori

appartenenti rispettivamente agli autovalori

Note[modifica]

Bibliografia[modifica]