Oscillatore armonico (meccanica quantistica)

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lezione Oscillatore armonico (meccanica quantistica)
	Tipo: lezione
	Materia: Meccanica quantistica

Introduzione

In meccanica classica, si definisce oscillatore armonico (nel seguito abbreviato in O.A.) un sistema meccanico soggetto ad una forza di richiamo proporzionale allo spostamento dalla posizione di equilibrio; si tratta di un problema ampiamente studiato, di cui è nota la soluzione. Inizieremo col considerare il caso più semplice di un sistema unidimensionale, per poi generalizzare la trattazione in seguito.

In un O.A. unidimensionale, la particella è vincolata a muoversi su di un asse. Sia $q$ la coordinata della sua posizione sull'asse, con il centro della forza come origine, $p$ il suo momento, $m$ la sua massa e $F = - m ω^{2} q$ la forza di richiamo cui è soggetta. Il problema corrispondente in meccanica quantistica è quello di una particella di massa $m$ , con Hamiltoniana

ℋ = \frac{1}{2 m} (p^{2} + m^{2} ω^{2} q^{2}),

con la coordinata $q$ e il momento $p$ legate dalla relazione

[q, p] = i ℏ .

Autovalori e autovettori dell'Hamiltoniana

Per semplificare la trattazione ed evitare di riscrivere le costanti in ogni calcolo, poniamo:

H = \frac{ℋ}{ℏ ω}, Q = \sqrt{\frac{m ω}{ℏ}} q, P = \sqrt{\frac{1}{m ℏ ω}} p .

Trasformiamo il nostro problema in quello equivalente di trovare gli autovalori e di costruire gli autovettori dell'operatore

H = \frac{1}{2} (P^{2} + Q^{2}), [Q, P] = i .

Il problema può essere risolto considerando ad esempio la rappresentazione ${Q}$ , e risolvendo l'equazione di Schrödinger (indipendente dal tempo) associata, ovvero, essendo $P = - i \frac{d}{d Q} :$

\frac{1}{2} [- \frac{d^{2}}{d Q^{2}} + Q^{2}] φ (Q) = ε φ (Q) .

Tuttavia seguiremo un metodo diverso, dovuto a Dirac, che consiste nella costruzione degli autovettori di $H$ applicando un particolare operatore ad uno di essi.

Poniamo:

a = \frac{\sqrt{2}}{2} (Q + i P), a^{†} = \frac{\sqrt{2}}{2} (Q - i P) .

Ognuno di tali operatori è l'hermitiano coniugato dell'altro, e si verifica facilmente che:

[a, a^{†}] = 1, H = \frac{1}{2} (a a^{†} + a^{†} a), Q = \frac{\sqrt{2}}{2} (a + a^{†}), P = \frac{\sqrt{2}}{2 i} (a - a^{†}) .

Ponendo $N = a^{†} a$ , si ricava^[1]:

H = N + \frac{1}{2}, N a = a (N - 1), N a^{†} = a^{†} (N + 1) .

Abbiamo così cambiato il nostro problema in quello equivalente di costruire gli autovettori di $N$ (si vede subito che si tratta di un operatore hermitiano).

Teorema: Caratterizzazione degli autoavalori di $N$

Se $| ν ⟩$ è un autovettore di $N$ , appartenente all'autovalore $ν$ , allora:

$ν \geq 0;$
$ν = 0 \Rightarrow a | ν ⟩ = 0;$
Se $ν \neq 0, | ν ⟩$ è un vettore non nullo di norma $ν ⟨ ν | ν ⟩,$ ed è un autovettore di $N$ appartenente all'autovalore $ν - 1;$
$a^{†} | ν ⟩$ è sempre un vettore non nullo di norma $(ν + 1) ⟨ ν | ν ⟩,$ ed è un autovettore di $N$ appartenente all'autovalore $ν + 1.$

Dimostrazione

Dalla definizione di norma sul nostro spazio di Hilbert ricaviamo:

$‖ a | ν ⟩ ‖^{2} = ⟨ ν | a^{†} a | ν ⟩ = ⟨ ν | N | ν ⟩ = ν ⟨ ν | ν ⟩;$

$‖ a^{†} | ν ⟩ ‖^{2} = ⟨ ν | a a^{†} | ν ⟩ = ⟨ ν | N + 1 | ν ⟩ = (ν + 1) ⟨ ν | ν ⟩ .$

In uno spazio di Hilbert, la norma di un vettore è non negativa, ed è uguale a 0 se e solo se si tratta del vettore nullo; questa proprietà è garantita se e solo $ν \geq 0.$

È ovvio che nel caso in cui $ν = 0$ , il vettore $a | ν ⟩$ coincide col vettore nullo. Inoltre troviamo:

$N a | ν ⟩ = a (N - 1) | ν ⟩ = (ν - 1) a | ν ⟩;$

$N a^{†} | ν ⟩ = a^{†} (N + 1) | ν ⟩ = (ν + 1) a^{†} | ν ⟩ .$

◻

Sia ora $ν > 0$ ; possiamo applicare il teorema al vettore $a | ν ⟩$ , appartenente all'autovalore $ν - 1$ : questo implica $ν \geq 1$ . Se $ν > 1$ , possiamo applicare il teorema al vettore $a^{2} | ν ⟩$ . Iterando questo ragionamento, costruiamo un insieme di autovettori

a | ν ⟩, a^{2} | ν ⟩, \dots, a^{p} | ν ⟩, \dots,

appartenenti rispettivamente agli autovalori

ν - 1, ν - 2, \dots, ν - p, \dots .

Note

↑ $[a, a^{†}] = 1 ⟺ a a^{†} - N = 1 ⟺ N = a a^{†} - 1.$

Bibliografia

Albert Messiah, Quantum Mechanics, Dover Publications, 1999. ISBN 0-486-40924-4

[1] $[a, a^{†}] = 1 ⟺ a a^{†} - N = 1 ⟺ N = a a^{†} - 1.$

[1]