Oscillatore armonico (meccanica quantistica)
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Introduzione
[modifica]In meccanica classica, si definisce oscillatore armonico (nel seguito abbreviato in O.A.) un sistema meccanico soggetto ad una forza di richiamo proporzionale allo spostamento dalla posizione di equilibrio; si tratta di un problema ampiamente studiato, di cui è nota la soluzione. Inizieremo col considerare il caso più semplice di un sistema unidimensionale, per poi generalizzare la trattazione in seguito.
In un O.A. unidimensionale, la particella è vincolata a muoversi su di un asse. Sia la coordinata della sua posizione sull'asse, con il centro della forza come origine, il suo momento, la sua massa e la forza di richiamo cui è soggetta. Il problema corrispondente in meccanica quantistica è quello di una particella di massa , con Hamiltoniana
con la coordinata e il momento legate dalla relazione
Autovalori e autovettori dell'Hamiltoniana
[modifica]Per semplificare la trattazione ed evitare di riscrivere le costanti in ogni calcolo, poniamo:
Trasformiamo il nostro problema in quello equivalente di trovare gli autovalori e di costruire gli autovettori dell'operatore
Il problema può essere risolto considerando ad esempio la rappresentazione , e risolvendo l'equazione di Schrödinger (indipendente dal tempo) associata, ovvero, essendo
Tuttavia seguiremo un metodo diverso, dovuto a Dirac, che consiste nella costruzione degli autovettori di applicando un particolare operatore ad uno di essi.
Poniamo:
Ognuno di tali operatori è l'hermitiano coniugato dell'altro, e si verifica facilmente che:
Ponendo , si ricava[1]:
Abbiamo così cambiato il nostro problema in quello equivalente di costruire gli autovettori di (si vede subito che si tratta di un operatore hermitiano).
Se è un autovettore di , appartenente all'autovalore , allora:
- Se è un vettore non nullo di norma ed è un autovettore di appartenente all'autovalore
- è sempre un vettore non nullo di norma ed è un autovettore di appartenente all'autovalore
Dalla definizione di norma sul nostro spazio di Hilbert ricaviamo:
In uno spazio di Hilbert, la norma di un vettore è non negativa, ed è uguale a 0 se e solo se si tratta del vettore nullo; questa proprietà è garantita se e solo
È ovvio che nel caso in cui , il vettore coincide col vettore nullo. Inoltre troviamo:
Sia ora ; possiamo applicare il teorema al vettore , appartenente all'autovalore : questo implica . Se , possiamo applicare il teorema al vettore . Iterando questo ragionamento, costruiamo un insieme di autovettori
appartenenti rispettivamente agli autovalori
Note
[modifica]Bibliografia
[modifica]- Albert Messiah, Quantum Mechanics, Dover Publications, 1999. ISBN 0-486-40924-4