Limiti operativi dei correlatori multipli

L'esame dei limiti operativi dei correlatori multipli inizia con l'analisi di un correlatore digitale singolo che sarà poi messo a confronto con i primi.

Esame numerico dei livelli di un correlatore digitale singolo

II diverso comportamento tra correlatori singoli e insiemi di correlatori si può evidenziare iniziando un'analisi sul funzionamento dei primi.

Applicando la 1) sotto riportata è facilmente calcolabile la tensione $C(\tau )x1,2$ all'uscita di un correlatore digitale singolo in dipendenza del rapporto $Si/Ni$ all'ingresso dei limitatori.

$C(\tau )x1,2=(Val./\pi )\cdot \arcsin \left[{\frac {1}{1+(Ni/Si)^{2}}}\right]\ \ \$ 1).

Se l' EXCLUSIVE-NOR del correlatore è alimentato con $Val.=5\ V$ si può costruire la seguente tabella dove $Si/Ni$ è espresso in $dB$ , $Ni/Si$ in termini adimensionali e $C(\tau )x1,2\ in\ mVc.c.$:

Si/Ni	  Ni/Si	   C(t)x1,2
(dB)	           mV c.c.
 --	   0         2500
— 2	   1.3	      631
— 4	   1.6	      462
— 6	   2	      320
— 8	   2.5	      219
—10	   3.2	      145
—14	   5	       61
—16	   6.3	       39
—18	   7.9	       25
—20	   10	       16
—22	   12.6	       10
—24	   15.8	        6
—26	   19.9	        4
—28	   25.1	        2.5
—30	   31.6	        1.6

dalla tabella si osserva che la $C(\tau )x1,2$ varia da $2500\ mVcc,$ per $Si$ in assenza di disturbo, a $1.6\ mV$ per $Si/Ni={-}30\ dB.$.

Per i livelli più piccoli di $C(\tau )x1,2$, al di là della scarsa probabilità $P.riv$ di discriminare la $C(\tau )x1,2$ immersa nella varianza, emerge una significativa problematica tecnica; riuscire ad apprezzare, ad esempio per il livello più basso, un valore di $C(\tau )x1,2=1.6\ mV$ rispetto al livello di zero che, come abbiamo già avuto occasione di vedere in merito alla taratura dei singoli correlatori digitali, può essere spostato di alcuni millivolt in più o in meno rispetto allo zero teorico.

Da questa disamina già si vede che i livelli di $C(\tau )x1,2$ per $Si/Ni$ sotto i -$22\ dB$ non sarebbero già più apprezzabili all'uscita di un correlatore digitale nemmeno se la varianza fosse nulla.

Qualche miglioramento si potrebbe ottenere portando la tensione $Val$, nel caso di circuitazione digitale di tipo CMOS, a $Val.=+15\ V$, in questo modo i livelli di $C(\tau )x1,2$ riportati in tabella assumerebbero valori $3$ volte tanto e il limite precedente $Si/Ni={-}22\ dB$ si sposterebbe a $Si/Ni={-}26\ dB.$

Esame numerico dei livelli in uscita da un sistema di correlazione digitale multiplo

In questo caso ci troviamo di fronte non più ad un singolo correlatore ma ad $N$circuiti di correlazione che, sia per le tolleranze sui singoli chip, sia per differenza sulla circuitazione accessoria non possono garantire che al livello zero di $C(\tau )x1,2$ per $Si/Ni=0$ tutte le $N$ $C(\tau )x1,2$ siano identiche.

Questa situazione porta come conseguenza che anche in assenza di segnale $Si$, da rivelare, in presenza soltanto di $Ni$ la serializzazione delle $N$ uscite dei correlatori non è una tensione a livello uniforme uguale a $0,$ ma una successione di $N$ scalini di ampiezza diversa che dipendono dal fatto che gli $N$ correlatori non sono identici.

Quanto ora detto è mostrato chiaramente in figura 1 dove la sigla $DV$ indica la differenza massima tra le differenze degli $N$ correlatori.

figura 1

E' chiaro a questo punto che i calcoli che si possono fare sul differenziale di riconoscimento sono limitati da queste discontinuità; infatti non sarà certo possibile andare a misurare una $C(\tau )x1,2$ che a seguito del rapporto $Si/Ni$ può portare ad un valore di $C(\tau )x1,2$ inferiore o dello stesso ordine del $DV$ ora evidenziato.

Prove di laboratorio su sistemi di correlazione multipla, equipaggiati con componenti industriali del tipo CMOS alimentati con $Val.=15\ V$ hanno mostrato che, pur dedicando tutta la cura possibile alla messa a punto del sistema, il valore di $DV,$ misurato su $N$ canali di correlazione difficilmente può scendere sotto i $40\ mVpp.$

Questo dato è significativo se comparato ad una nuova tabella, simile alla precedente, ma calcolata per $Val.=+15\ V$ come segue:

Si/Ni	  C(t)x1,2
(dB)	  mVc.c.
          7500
— 2	   1897
— 4	   1379
— 6	    965
— 8	    655
—10	    435
—12	    283
—14	    183
—16	    117
—18	     75
—20	     47
—22	     30
—24	     19
—26	     12
—28	      7.6
—30	      4.8

dalla tabella si osserva che affinché la $C(\tau )x1,2$ possa emergere dalle discontinuità naturali del sistema, indipendentemente dall'effetto della varianza che in questo caso volutamente trascuriamo, deve essere almeno nettamente superiore al $DV=40\ mV$; in questo caso la tabella ci indica, per $C(\tau )x1,2=75\ mV$ un rapporto $Si/Ni={-}18\ dB$.

Ecco quindi che i calcoli del differenziale di riconoscimento non possono prescindere dalle caratteristiche costruttive del sistema che, in ogni caso, non consente di rivelare la presenza di $Si$ in mezzo al rumore se la $C(\tau )x1,2$ ad esso corrispondente non è almeno $C(\tau )x1,2=75\ mVpp$ così come mostra, per il correlatore numero sei, la figura 2:

figura 2

Conclusioni

Nel caso sopra riportato si deve pertanto assumere come differenziale intrinseco del sistema multiplo di correlazione $Si/Ni={-}18\ dB$ ed in base al valore della costante di tempo dell'integratore, della banda dei segnali di ingresso, assunta $P.fa=10\%$ ricavare il corrispondente valore della $P.riv.$

Un semplice esempio può chiudere questo argomento:

Dati:

• $(Si/Ni)dB={-}18$ pari a $Si/Ni=0.126$

• $RC=1\ s.$

• $F2-F1=3000\ Hz$

• $P.fa.=10\%$

essendo :

$d=2\cdot (F2-F1)\cdot RC\cdot (si/ni)^{4}\$

si calcola il valore del $d:$

$d=2\cdot (3000\ Hz)\cdot 1\ s\cdot (0.126)^{4}=1.5\ \ \ \$

che dalle curve ROC per:

$d=1.5\ e\ P.fa.=10\%$ porta ad un valore di $P.riv.=50\%.$

Si conclude quindi che, a causa dell'hardware, il differenziale di riconoscimento non potrà mai essere inferiore a ${-}18\ dB$ anche se si assumeranno diversi valori per tutte le altre variabili in gioco.

Bibliografia

• Cesare Del Turco, La correlazione , Collana scientifica ed. Moderna La Spezia,1993