Le potenze (scuola media)

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lezione
Le potenze (scuola media)
Tipo di risorsa Tipo: lezione
Materia di appartenenza Materia: Matematica per la scuola media 1
Avanzamento Avanzamento: lezione completa al 75%.

Una nuova operazione: la potenza[modifica]

Per chi non ama leggere: Filmato audio Matteo Ruffoni, Potenze, su YouTube, 19 nov 2019.

Così come per semplificare addizioniVK ripetute abbiamo inventato la moltiplicazioneVK

per semplificare moltiplicazioni ripetute abbiamo inventato l'elevamento a potenzaVK

.

significa sommare 3 con se stesso per 4 volte

significa moltiplicare 2 per se stesso per 3 volte .


si legge: «Due alla terza».

Elevare a potenza cosa e perché?[modifica]

Dadi

1,5; 2,4.... Quante sono le possibili combinazioni risultanti dal lancio di due dadi?
Se il primo dado mi da 1 il secondo può darmi 6 punteggi differenti, se il primo mi da 2 il secondo può, anche in questo caso, darmi 6 punteggi differenti, quindi... Sei facce ed altre sei facce, sei possibilità per ognuno dei due dadi Giusto?

Albero con molti rami

Ogni primavera da ogni ramo ne spuntano 3. Partito quattro anni fa da un tronco quanti rami ha adesso questo albero?
L'albero si divide in tre ripetutamente per quattro volte, mmmmmm????
Su ogni ramo ne spuntano tre partendo dal tronco quindi

Qualche esempio di potenza[modifica]

Base Esponente Potenza Calcolo Risultato Note
Il numero degli zeri che seguono l'uno è pari al valore dell'esponente
vale circa 1000, ed infatti in informatica si usa il suffisso kilo (mille) per 1 KiloByte pari a 1024 Byte


Le potenze di 2[modifica]






Le potenze di 10[modifica]





... generalizzando la potenza di 10 si ottiene aggiungendo tanti zeri quanti indicati nell'esponente...



Corrispondenze tra le potenze di 2 e di 10[modifica]

Da quando abbiamo a che fare con device elettronici misuriamo la loro capacità di memoria in Mb (megabyte), Gb (gigabyte) ed anche in Tb (terabyte). I suffissi di questi multipli del byte sono mutuati dalle potenze del 10:

  • kilo = mille
  • mega = un milione
  • giga = un miliardo

e così via.

Tecnicamente sarebbero però potenze del 2:

  • 1 kilobyte =
  • 1 megabyte =
  • 1 gigabyte =

sono evidenti le approssimazioni

  • 1 kilobyte =
  • 1 megabyte =
  • 1 gigabyte =



Esercizi per capire le potenze[modifica]

  

1

2

3

4

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7

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Esercizi per imparare le potenze[modifica]

Tabella potenze di 2[modifica]


Osservazioni sulle potenze di 2[modifica]

Calcoliamo e e anche che possiamo approssimare così:

  • commettendo un errore di
  • errore di
  • errore di

La RAM e le potenze di 2[modifica]

4 Giga, 16 Giga oppure 64 Giga, la quantità di RAM a disposizione dei nostri smartphone, tablet o PC, in generale viene misurata in Giga, e stranamente questi Giga crescono come le potenze di 2, guarda la tabella qui sopra. Perchè?
Le informazioni nei nostri strumenti vengono registrate digitalmente in bitVK, che possiamo pensare come un segnale binarioVK, una lampadina accesa o spenta, un 1 oppure uno 0, insomma un codice a due sole cifre. 8 bit formano un byteVK , e 1024 Byte fanno un KiloByte, .

Quiz per capire le potenze di 2[modifica]

  

1

2

3

4

5


Tabella potenze di 3[modifica]



Potenze nei decimali, elevare a potenza per rimpicciolire i numeri[modifica]

Sembrerebbe che moltiplicando un numero per se stesso più volte si possa ottenere solo numeri più grandi.

Non sempre è così, infatti:

sorprendente, da provare con la calcolatrice.

Quiz per capire le potenze nei decimali[modifica]

  

1

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6

7


Operazioni con le potenze, solo se hanno la stessa base però![modifica]

Per chi non ama leggere: Filmato audio Maurizio Melis, Le potenze, su YouTube. oppure Filmato audio supertancredix, potenze matematica, su YouTube.

Come semplificare i calcoli con le potenze 1: qualche trucco[modifica]

Quindi prendiamo una divisione tra due numeri particolari entrambi potenze con la stessa base
fatto in fretta ma con la calcolatrice ;-)

Pensandoci un poco si tratta di moltiplicare 7 per se stesso 5 volte e poi di dividere il numero ottenuto per 7 per tre volte, una dietro l'altra. Questo è un lavoro per la proprietà invariantiva VK



Possiamo dividere dividendoVK e divisoreVK per uno stesso numero, il massimo numero di sette possibile, furbescamente il massimo comun divisoreVK tra i due, per farlo basta cancellarli dal dividendo e dal divisore nello stesso numero. Quanti ne posso cancellare?

Come semplificare i calcoli con le potenze 2: algebra delle potenze[modifica]

I calcoli con le potenze possono essere svolti in modo veloce e semplificato tenendo conto delle proprietà dei calcoli con le potenze, che tutte insieme forma l'algebra delle potenza.

Tutte le proprietà vanno imparate per agevolare il calcolo mentale, così come per le quattro operazioni, quindi è consigliabile usarle soprattutto quando si ha a che fare con operazioni con numeri molto grandi.

Prodotto di potenze con la stessa base e diverso esponente[modifica]

Filmato audio Matteo Ruffoni, Moltiplicare potenze basi uguali, su YouTube.
Se devo moltiplicare tra loro due potenze che hanno la stessa base posso ricorrere alla proprietà associativa, infatti


e, come si deduce facilmente dai passaggi esposti:


Possiamo così esporre la regola generale. Quindi se a, n ed m sono numeri naturali positivi, che in simboli

allora


Quoziente di potenze con la stessa base e diverso esponente[modifica]

Filmato audio Matteo Ruffoni, Divisione potenze basi uguali, su YouTube.

Grazie alla proprietà invariantiva possiamo dedurre anche un metodo per semplificare la divisione tra le potenze aventi la stessa base:

applicando la proprietà invariantiva possiamo dividere sia il dividendo, quello sopra, che il divisore, quello sotto, due volte per 3

e dedurre la proprietà della divisione di potenze aventi la stessa base

E quindi la regola generale, se


Esponente zero[modifica]

Filmato audio Matteo Ruffoni, Esponente 0 seconda versione, su YouTube, 12 dic 2019.

Eccosi ad una prima grande sorpresa delle proprietà delle potenze, con l'uso appropriato dell'uguaglianza e rispettando le regole di calcolo possiamo dare significato a scritture come

infatti è il risultato di una divisione tra potenze aventi la stessa base e lo stesso esponente e quindi ecco la dimostrazione:

tutte le uguaglianze sono matematicamente vere e quindi possiamo affermare che 2 elevato a zero è uguale ad uno.

Anche in questo caso possiamo dedurre la regola generale, visto che non c'è nessuna particolarità nel numero 2 se non quella di essere maggiore di 0.

Sapendo che il simbolo significa per qualsiasi possiamo enunciare la regola generale


  

Prodotto di potenze con stesso esponente (distributiva della potenza rispetto alla moltiplicazione)[modifica]

Filmato audio Matteo Ruffoni, Potenze di moltiplicazioni con potenza, su YouTube, 12 dic 2019.

Applicando le proprietà associativa e commutativa della moltiplicazione è facile mostrare che la potenza di un prodotto è uguale al prodotto delle potenze.

Generalizzando, se


Quoziente di potenze con lo stesso esponente (distributiva della potenza rispetto alla divisione)[modifica]

Filmato audio Matteo Ruffoni, Potenza della divisione, distributiva potenza divisione 2 = 12 dic 2019, su YouTube.

Per la dimostrazione di questa proprietà la strada è un po' più lunga.

Per la definizione di divisione moltiplicando la divisione per il divisore si ottiene il dividendo


... e se due numeri sono uguali saranno uguali anche le loro potenze


poichè abbiamo visto nel paragrafo precedente che la potenza è distributiva rispetto alla moltiplicazione possiamo applicarla al primo membro dell'uguaglianza


e concludiamo applicando al contrario la definizione di divisione


Possiamo così enunciare la proprietà generale, se


Potenza di potenza[modifica]

Filmato audio Matteo Ruffoni, Potenza di potenza, su YouTube, 12 dic 2019.

Per un ripasso veloce di quanto detto, puoi guardare il video Filmato audio Damiano Trombini, Potenze e proprietà delle potenze, su YouTube..

La regola che ci permette di svolgere la potenza di potenza si comprende semplicemente scrivendo esplicitamente la base moltiplicata per se stessa il numero di volte indicato dagli esponenti presi in successione


Generalizzando, se


Esercizi per capire l'algebra delle potenze[modifica]

1

2

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6


Come scrivere numeri molto grandi con poche cifre - Notazione standard[modifica]

La notazione standard è conosciuta anche come notazione esponenziale o notazione scientifica.

Per chi non ama leggere:




Per poter scrivere numeri molto grandi risparmiando sul numero di cifre utilizzate e accettando una ragionevole approssimazione si può ricorrere alla notazione standard il numero viene espresso attraverso un numero compreso tra 0 e 10 con due cifre decimali moltiplicato per una potenza di 10 opportuna.

Ad esempio usando una calcolatrice scientifica per fare un calcolo con un risultato molto grande, più di dieci cifre ad esempio, il risultato potrebbe essere questo:

Display Calcolatrice notazione standard esponenziale


La calcolatrice avendo esaurito i posti per le cifre ci fornisce come risultato approssimato

600 miliardi e 462 milioni.

Calcoli in notazione standard[modifica]

Fare calcoli con i numeri scritti in notazione standard necessita di un po' di cautela, partendo dagli esempi si possono trovare formule generali. Con

Sommare due numeri che hanno la stessa potenza di 10[modifica]

Per fare la somma


si usa la proprietà distributiva, infatti

...e nel caso la somma degli addendi decimali superasse il 10, dividendo la parte decimale e moltiplicando il fattore esponenziale


Quindi

 

tenendo conto che nel caso
la forma corretta del numero si può ottenere facilmente

Sommare due numeri che non hanno la stessa potenza di 10[modifica]

Se le potenze del 10 sono poco differenti si può provare a ricondurre i due numeri alla stessa potenza


Se la differenza è più consistente, il numero con la potenza del 10 maggiore è più grande di almeno 100 volte, e quindi l'addendo più piccolo è trascurabile

nell'esempio si sta sommando con il secondo addendo è piccolissimo rispetto al primo e quindi

In generale se (n molto più grande di m)

 

Moltiplicazione in notazione standard[modifica]

La moltiplicazione è piuttosto semplice in notazione standard, infatti la stessa notazione è già di per sé una moltiplicazione, e quindi applicando commutativa ed associativa si può facilmente calcolare il risultato che infine può essere ricondotto alla forma corretta


Divisione in notazione standard[modifica]

Per procedere ad una divisione cominciamo con la proprietà invariantiva dividendo il dividendo ed il divisore per la potenza del 10 del divisore così



Quiz per capire la notazione standard[modifica]

  

1

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5


Potenze con esponente negativo[modifica]

Per operare con le potenze ad esponente negativo è necessario ricordarsi quanto detto per le proprietà delle potenze e per i numeri relativi. Ecco qui un video per togliervi ogni dubbio Filmato audio Matematicaoggi, Potenze con esponente negativo, su YouTube.

Test finale sulle potenze[modifica]

  

1

2

falso
vero

3

4

falso
vero

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6

7

8


Esercizi sulle potenze[modifica]

Note[modifica]

Bibliografia[modifica]

Voci correlate[modifica]

Altri progetti[modifica]

Collegamenti esterni[modifica]