Le potenze (scuola media)

Una nuova operazione: la potenza

Così come per semplificare addizioni^VK ripetute abbiamo inventato la moltiplicazione^VK

$3+3+3+3=3\cdot 4$

per semplificare moltiplicazioni ripetute abbiamo inventato l'elevamento a potenza^VK

$2\cdot 2\cdot 2=2^{3}$.

$3\cdot 4$ significa sommare 3 con se stesso per 4 volte $3+3+3+3=3\cdot 4=12$

$2^{3}$ significa moltiplicare 2 per se stesso per 3 volte $2\cdot 2\cdot 2=2^{3}=8$.

$2^{3}$ si legge: «Due alla terza».

Elevare a potenza cosa e perché?

Dadi

1,5; 2,4.... Quante sono le possibili combinazioni risultanti dal lancio di due dadi?
Se il primo dado mi da 1 il secondo può darmi 6 punteggi differenti, se il primo mi da 2 il secondo può, anche in questo caso, darmi 6 punteggi differenti, quindi... Sei facce ed altre sei facce, sei possibilità per ognuno dei due dadi $6^{2}=6\cdot 6=36$ Giusto?

Albero con molti rami

Ogni primavera dal ogni ramo ne spuntano 3. Partito quattro anni fa da un tronco quanti rami ha adesso questo albero?
L'albero si divide in tre ripetutamente per quattro volte, mmmmmm????
Su ogni ramo ne spuntano tre partendo dal tronco quindi $3^{4}=3\cdot 3\cdot 3\cdot 3=81$

Elevare a potenza qualche esempio

$2^{3}=2\cdot 2\cdot 2=8$

$2^{4}=2\cdot 2\cdot 2\cdot 2=16$

$2^{5}=32\ e\ 2^{6}=64\ e\ 2^{7}=128\ e\ 2^{8}=256\ e\ 2^{9}=512$

$2^{10}=1024\approx 1000=10^{3}$

Esercizi per capire le potenze

$3^{2}=$

	6
	9
	5
	3

Potenze nei decimali, elevare a potenza per rimpicciolire i numeri

Sembrerebbe che moltiplicando un numero per se stesso più volte si possa ottenere solo numeri più grandi.

Non sempre è così, infatti:

$0,1^{2}=0,01$

$0,2^{2}=0,04$

sorprendente, da provare con la calcolatrice.

Operazioni con le potenze, solo se hanno la stessa base però!

Per chi non ama leggere: Maurizio Melis, Le potenze, su YouTube. oppure supertancredix, potenze matematica, su YouTube.

Come semplificare i calcoli con le potenze 1: qualche trucco

Quindi prendiamo una divisione tra due numeri particolari entrambi potenze con la stessa base
$7^{5}:7^{3}=16807:343=49$ fatto in fretta ma con la calcolatrice ;-)

Pensandoci un poco si tratta di moltiplicare 7 per se stesso 5 volte e poi di dividere il numero ottenuto per 7 per tre volte, una dietro l'altra. Questo è un lavoro per la proprietà invariantiva ^VK

$7^{5}:7^{3}=\left(7\cdot 7\cdot 7\cdot 7\cdot 7\right):\left(7\cdot 7\cdot 7\right)$

Possiamo dividere dividendo^VK e divisore^VK per uno stesso numero, il massimo numero di sette possibile, furbescamente il massimo comun divisore^VK tra i due, per farlo basta cancellarli dal dividendo e dal divisore nello stesso numero. Quanti ne posso cancellare?

$\left(7\cdot 7\cdot \not {7}{\dot {\not }}{7}\cdot \not {7}\right):\left(\not {7}\cdot \not {7}\cdot \not {7}\right)=7\cdot 7:1=7^{2}=49$

Come semplificare i calcoli con le potenze 2: algebra delle potenze

Tabella	provvisoria
$0$	0
$0$	0
$0$	0
$0$	0

Proprietà delle potenze

Tutte le proprietà vanno imparate per agevolare il calcolo mentale, così come per le quattro operazioni, quindi è consigliabile usarle soprattutto quando si ha a che fare con operazioni con numeri molto grandi.

Prodotto di potenze con la stessa base e diverso esponente

Matteo Ruffoni, Moltiplicare potenze basi uguali, su YouTube.

Quoziente di potenze con la stessa base e diverso esponente

Matteo Ruffoni, Divisione potenze basi uguali, su YouTube.

Esponente zero

Matteo Ruffoni, Esponente 0 seconda versione, su YouTube, 12 dic 2019.

Prodotto di potenze con stesso esponente e diversa base

Matteo Ruffoni, Potenze di moltiplicazioni con potenza, su YouTube, 12 dic 2019.

Quoziente di potenze con lo stesso esponente e diversa base

Matteo Ruffoni, Potenza della divisione, distributiva potenza divisione 2 = 12 dic 2019, su YouTube.

Potenza di potenza

Matteo Ruffoni, Potenza di potenza, su YouTube, 12 dic 2019.

Per un ripasso veloce di quanto detto, puoi guardare il video Damiano Trombini, Potenze e proprietà delle potenze, su YouTube..

Numeri molto grandi e molto piccoli: le potenze del 10 - Notazione standard

Per chi non ama leggere:

Riproduci file multimediale

Le potenze del 10 e del 2

Valori potenze
$1=10^{0}=2^{0}=1$
$10=10^{1}\approx 2^{3}=8$
$1000=10^{3}\approx 2^{10}=1024$

Potenze con esponente negativo

Per operare con le potenze ad esponente negativo è necessario ricordarsi quanto detto per le proprietà delle potenze e per i numeri relativi. Ecco qui un video per togliervi ogni dubbio Matematicaoggi, Potenze con esponente negativo, su YouTube.

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Test

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Punti sottratti per ogni risposta non corretta:
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1

$3^{2}\cdot 3^{4}=?$

	$3^{8}$
	$3^{2}$
	$3^{6}$

2

$2^{5}+2^{2}=2^{7}$

	falso
	vero

3

$4^{5}:4^{2}=?$

	$4^{7}$
	$4^{3}$
	$2^{3}$

4

$7^{5}-7^{2}=7^{3}$

	falso
	vero

5

$\left(2^{2}\right)^{3}=?$

	$2^{6}$
	$2^{5}$
	$8^{3}$

6

$\left(5\cdot 3\right)^{2}=?$

	$10\cdot 6$
	$15\cdot 2$
	$25\cdot 9$