Le potenze (scuola media)

Una nuova operazione: la potenza

Per chi non ama leggere: Matteo Ruffoni, Potenze, su YouTube, 19 nov 2019.

Così come per semplificare addizioni^VK ripetute abbiamo inventato la moltiplicazione^VK

$3+3+3+3=3\cdot 4$

per semplificare moltiplicazioni ripetute abbiamo inventato l'elevamento a potenza^VK

$2\cdot 2\cdot 2=2^{3}$.

$3\cdot 4$ significa sommare 3 con se stesso per 4 volte $3+3+3+3=3\cdot 4=12$

$2^{3}$ significa moltiplicare 2 per se stesso per 3 volte $2\cdot 2\cdot 2=2^{3}=8$.

$2^{3}$ si legge: «Due alla terza».

Elevare a potenza cosa e perché?

Dadi

1,5; 2,4.... Quante sono le possibili combinazioni risultanti dal lancio di due dadi?
Se il primo dado mi da 1 il secondo può darmi 6 punteggi differenti, se il primo mi da 2 il secondo può, anche in questo caso, darmi 6 punteggi differenti, quindi... Sei facce ed altre sei facce, sei possibilità per ognuno dei due dadi $6^{2}=6\cdot 6=36$ Giusto?

Albero con molti rami

Ogni primavera da ogni ramo ne spuntano 3. Partito quattro anni fa da un tronco quanti rami ha adesso questo albero?
L'albero si divide in tre ripetutamente per quattro volte, mmmmmm????
Su ogni ramo ne spuntano tre partendo dal tronco quindi $3^{4}=3\cdot 3\cdot 3\cdot 3=81$

Elevare a potenza qualche esempio

Base	Esponente	Potenza	Calcolo	Risultato	Note
$2$	$3$	$2^{3}$	$2\cdot 2\cdot 2$	$8$
$2$	$4$	$2^{4}$	$2\cdot 2\cdot 2\cdot 2$	$16$
$5$	$3$	$5^{3}$	$5\cdot 5\cdot 5$	$125$
$10$	$3$	$10^{3}$	$10\cdot 10\cdot 10$	$1000$	Il numero degli zeri che seguono l'uno è pari al valore dell'esponente
$2$	$10$	$2^{10}$	$\underbrace {2\cdot 2\cdot 2...2\cdot 2} _{\text{10 volte}}$	$1024\approx 1000=10^{3}$	$2^{10}$ vale circa 1000, ed infatti in informatica si usa il suffisso kilo (mille) per 1 KiloByte pari a 1024 Byte $1KB=1024Byte\approx 10^{3}Byte$

Le potenze di 2

$2^{3}=2\cdot 2\cdot 2=8$

$2^{4}=2\cdot 2\cdot 2\cdot 2=16$

$2^{5}=32\ e\ 2^{6}=64\ e\ 2^{7}=128\ e\ 2^{8}=256\ e\ 2^{9}=512$

$2^{10}=1024\approx 1000=10^{3}$

Le potenze di 10

${10}^{2}=10\cdot 10=100$

${10}^{3}=10\cdot 10\cdot 10=1000$

${10}^{4}=10\cdot 10\cdot 10\cdot 10=10000$

${10}^{5}=\underbrace {10\cdot 10\cdot 10\cdot 10\cdot 10} _{\text{5 volte}}=1\underbrace {00000} _{\text{5 zeri}}$

... generalizzando la potenza di 10 si ottiene aggiungendo tanti zeri quanti indicati nell'esponente...

${10}^{n}=\underbrace {10\cdot 10\cdot 10\cdot 10...\cdot 10} _{\text{n volte}}=1\underbrace {0000...0} _{\text{n zeri}}$

Corrispondenze tra le potenze di 2 e di 10

Da quando abbiamo a che fare con device elettronici misuriamo la loro capaictà di memoria in Mb (megabyte), Gb (gigabyte) ed anche in Tb (terabyte). I suffissi di questi multipli del byte sono mutuati dalle potenze del 10:

• kilo = mille
• mega = un milione
• giga = un miliardo

e così via.

Tecnicamente sarebbero però potenze del 2:

• 1 kilobyte = $2^{10}byte=1024\ byte$
• 1 megabyte = $2^{10}kilobyte=2^{20}byte=1048576\ byte$
• 1 gigabyte = $2^{10}megabyte=2^{30}byte=1073741824\ byte$

sono evidenti le approssimazioni

• 1 kilobyte = $2^{10}byte=1024\ byte\approx 1000\ byte={10}^{3}byte$
• 1 megabyte = $2^{20}byte=1048576\ byte\approx 1000000\ byte={10}^{6}byte$
• 1 gigabyte = $2^{30}byte=1073741824\ byte\approx 1000000000\ byte={10}^{9}byte$

Esercizi per capire le potenze

Punto aggiunto per ogni risposta corretta:
Punti sottratti per ogni risposta non corretta:
Ignora i coefficienti di domanda:

1 $7\cdot 7\cdot 7=$

	$7\cdot 3$
	$32$
	$7^{3}$
	$73$

2 $3^{2}=$

	$6$
	$9$
	$5$
	$3$

3 $2^{3}=$

	$5$
	$6$
	$23$
	$8$

4 $6^{2}=$

	$62$
	$36$
	$12$
	$8$

5 $1^{10}=$

	$1$
	$10$
	$10000000000$
	$110$

6 $0^{3}=$

	$30$
	$0,03$
	$0$
	$1000$

7 $12^{2}=$

	$24$
	$48$
	$12+12$
	$144$

8 $2^{4}=$

	$4^{2}$
	$4$
	$8^{2}$
	$8$

Tabella potenze di 2

$2^{0}$	$2^{1}$	$2^{2}$	$2^{3}$	$2^{4}$	$2^{5}$	$2^{6}$	$2^{7}$	$2^{8}$	$2^{9}$	$2^{10}$	$2^{20}$	$2^{30}$
$2^{0}=1$	$2^{1}=2$	$2^{2}=4$	$2^{3}=8$	$2^{4}=16$	$2^{5}=32$	$2^{6}=64$	$2^{7}=128$	$2^{8}=256$	$2^{9}=512$	$2^{10}=1024\approx 10^{3}$	$2^{20}\approx 10^{6}$	$2^{30}\approx 10^{9}$

Osservazioni sulle potenze di 2

Calcoliamo $2^{10}=1024$ e $2^{20}=1048576$ e anche $2^{30}=1073741824$ che possiamo approssimare così:

• $2^{10}=1024\approx mille=1000=10^{3}$ commettendo un errore di ${\frac {24}{1024}}\approx 2\%$
  
• $2^{20}=1048576\approx un\ milione=1000000=10^{6}$ errore di ${\frac {48576}{1048576}}\approx 5\%$
  
• $2^{30}=1073741824\approx un\ miliardo=1000000000=10^{9}$ errore di ${\frac {73741824}{1073741824}}\approx 7\%$
  

La RAM e le potenze di 2

4 Giga, 16 Giga oppure 64 Giga, la quantità di RAM a disposizione dei nostri smartphone, tablet o PC, in generale viene misurata in Giga, e stranamente questi Giga crescono come le potenze di 2, guarda la tabella qui sopra. Perchè?
Le informazioni nei nostri strumenti vengono registrate digitalmente in bit^VK, che possiamo pensare come un segnale binario^VK, una lampadina accesa o spenta, un 1 oppure uno 0, insomma un codice a due sole cifre. 8 bit formano un byte^VK , $8=2^{3}$ e 1024 Byte fanno un KiloByte, $1024=2^{10}\approx 10^{3}=mille=1\ K$.

Quiz per capire le potenze di 2

Punto aggiunto per ogni risposta corretta:
Punti sottratti per ogni risposta non corretta:
Ignora i coefficienti di domanda:

1 $2^{10}\approx$

	$10^{3}$
	$10^{2}$
	$10$
	$10000$

2 $1\ KB\approx$

	$10^{2}\ Byte$
	$10^{3}\ Byte$
	$10\ Byte$
	$10000\ Byte$

3 $2^{30}\approx$

	$10^{3}$
	$un\ milione$
	$10^{9}$
	$10000$

4 $1073741824\approx$

	$10^{3}$
	$10^{9}$
	$un\ milione$
	$10000$

5 $1048576\approx$

	$10^{3}$
	$10^{9}$
	$un\ milione$
	$10000$

Tabella potenze di 3

$3^{0}$	$3^{1}$	$3^{2}$	$3^{3}$	$3^{4}$	$3^{5}$
$3^{0}=1$	$3^{1}=3$	$3^{2}=9$	$3^{3}=27$	$3^{4}=81$	$3^{5}=243$

Potenze nei decimali, elevare a potenza per rimpicciolire i numeri

Sembrerebbe che moltiplicando un numero per se stesso più volte si possa ottenere solo numeri più grandi.

Non sempre è così, infatti:

$0,1^{2}=0,01$

$0,2^{2}=0,04$

sorprendente, da provare con la calcolatrice.

Quiz per capire le potenze nei decimali

Punto aggiunto per ogni risposta corretta:
Punti sottratti per ogni risposta non corretta:
Ignora i coefficienti di domanda:

1 $0,1^{2}=$

	$0,01$
	$1$
	$10$
	$non\ si\ puo'\ fare$

2 $0,5^{2}=$

	$0,01$
	$0,25$
	$1$
	$non\ si\ puo'\ fare$

3 $0,7^{3}=$

	$0,01$
	$0,49$
	$0,21$
	$0,343$

4 $0,04^{2}=$

	$0,0016$
	$0,16$
	$1,6$
	$non\ si\ puo'\ fare$

5 $0,9^{2}=$

	$0,81$
	$0,18$
	$1,8$
	$2,9$

6 $0,1^{10}=$

	$0,0000000001$
	$0,001$
	$10$
	$10000000000$

7 $0,3^{1}=$

	$0,3$
	$3$
	$0,03$
	$1,3$

Operazioni con le potenze, solo se hanno la stessa base però!

Per chi non ama leggere: Maurizio Melis, Le potenze, su YouTube. oppure supertancredix, potenze matematica, su YouTube.

Come semplificare i calcoli con le potenze 1: qualche trucco

Quindi prendiamo una divisione tra due numeri particolari entrambi potenze con la stessa base
$7^{5}:7^{3}=16807:343=49$ fatto in fretta ma con la calcolatrice ;-)

Pensandoci un poco si tratta di moltiplicare 7 per se stesso 5 volte e poi di dividere il numero ottenuto per 7 per tre volte, una dietro l'altra. Questo è un lavoro per la proprietà invariantiva ^VK

$7^{5}:7^{3}=\left(7\cdot 7\cdot 7\cdot 7\cdot 7\right):\left(7\cdot 7\cdot 7\right)$

Possiamo dividere dividendo^VK e divisore^VK per uno stesso numero, il massimo numero di sette possibile, furbescamente il massimo comun divisore^VK tra i due, per farlo basta cancellarli dal dividendo e dal divisore nello stesso numero. Quanti ne posso cancellare?

$\left(7\cdot 7\cdot \not {7}{\dot {\not }}{7}\cdot \not {7}\right):\left(\not {7}\cdot \not {7}\cdot \not {7}\right)=7\cdot 7:1=7^{2}=49$

Come semplificare i calcoli con le potenze 2: algebra delle potenze

Tabella	provvisoria
$0$	0
$0$	0
$0$	0
$0$	0

Proprietà delle potenze

Tutte le proprietà vanno imparate per agevolare il calcolo mentale, così come per le quattro operazioni, quindi è consigliabile usarle soprattutto quando si ha a che fare con operazioni con numeri molto grandi.

Prodotto di potenze con la stessa base e diverso esponente

Matteo Ruffoni, Moltiplicare potenze basi uguali, su YouTube.

Quoziente di potenze con la stessa base e diverso esponente

Matteo Ruffoni, Divisione potenze basi uguali, su YouTube.

Esponente zero

Matteo Ruffoni, Esponente 0 seconda versione, su YouTube, 12 dic 2019.

Prodotto di potenze con stesso esponente e diversa base

Matteo Ruffoni, Potenze di moltiplicazioni con potenza, su YouTube, 12 dic 2019.

Quoziente di potenze con lo stesso esponente e diversa base

Matteo Ruffoni, Potenza della divisione, distributiva potenza divisione 2 = 12 dic 2019, su YouTube.

Potenza di potenza

Matteo Ruffoni, Potenza di potenza, su YouTube, 12 dic 2019.

Per un ripasso veloce di quanto detto, puoi guardare il video Damiano Trombini, Potenze e proprietà delle potenze, su YouTube..

Esercizi per capire l'algebra delle potenze

1 $2^{3}\cdot 2^{4}=$

	$2^{12}$
	$2^{8}$
	$2^{7}$
	$2$

2 $3^{5}:3^{2}=$

	$3^{10}$
	$3^{3}$
	$3^{2}$
	$2^{3}$

3 $(3^{2})^{3}=$

	$3^{5}$
	$3^{6}$
	$35$
	$323$

4 $(5\cdot 7)^{3}=$

	$5^{3}\cdot 7^{3}$
	$5\cdot 7^{3}$
	$5^{3}\cdot 7$
	$35^{9}$

5 $\left({\frac {6}{7}}\right)^{2}=$

	${\frac {6^{2}}{7}}$
	${\frac {12}{14}}$
	$\left({\frac {6}{7}}\right)^{4}$
	${\frac {6^{2}}{7^{2}}}$

6 $4^{2}\cdot 2^{3}=$

	$128$
	$\left(4\cdot 2\right)^{3}$
	$3^{7}$
	$4^{5}$

Numeri molto grandi e molto piccoli: le potenze del 10 - Notazione standard

Per chi non ama leggere:

Riproduci file multimediale

Quiz per capire la notazione standard

Punto aggiunto per ogni risposta corretta:
Punti sottratti per ogni risposta non corretta:
Ignora i coefficienti di domanda:

1 $3400000=$

	$3,4\cdot 10^{3}$
	$34\ milioni$
	$3,4\cdot 10^{6}$
	$3,4\cdot 10^{5}$

2 $Gli\ Italiani\ sono\ circa\ 60\ milioni\approx$

	$6\cdot 10^{7}$
	$6000000$
	$6\cdot 10^{6}$
	$6\cdot 10^{5}$

3 $0,5\cdot 10^{6}$

	$5000000$
	$506$
	$mezzo\ miliardo$
	$mezzo\ milione$

4 $7,2\cdot 10^{9}$

	$7200000000$
	$720000000$
	$72000000000$
	$72\ miliardi$

5 $Dalla\ terra\ alla\ luna\ ci\ sono\ 3,8\cdot 10^{5}km,\ viaggiando\ a\ 10000{\frac {km}{h}}e,\ per\ ipotesi,\ in\ linea\ retta,\ in\ quante\ ore\ si\ arriverebbe$

	$38\ ore$
	$3\ ore\ e\ 48\ minuti$
	$mille\ ore$
	$10\ ore$

Potenze con esponente negativo

Per operare con le potenze ad esponente negativo è necessario ricordarsi quanto detto per le proprietà delle potenze e per i numeri relativi. Ecco qui un video per togliervi ogni dubbio Matematicaoggi, Potenze con esponente negativo, su YouTube.

Test finale sulle potenze

Punto aggiunto per ogni risposta corretta:
Punti sottratti per ogni risposta non corretta:
Ignora i coefficienti di domanda:

1 $3^{2}\cdot 3^{4}=?$

	$3^{8}$
	$3^{2}$
	$3^{6}$

2 $2^{5}+2^{2}=2^{7}$

	falso
	vero

3 $4^{5}:4^{2}=?$

	$4^{7}$
	$4^{3}$
	$2^{3}$

4 $7^{5}-7^{2}=7^{3}$

	falso
	vero

5 $\left(2^{2}\right)^{3}=?$

	$2^{6}$
	$2^{5}$
	$8^{3}$

6 $\left(5\cdot 3\right)^{2}=?$

	$10\cdot 6$
	$15\cdot 2$
	$25\cdot 9$

7 $0,1^{2}\cdot 10^{2}=$

	$1$
	$0,001$
	$10^{4}$

8 $10^{2}:100^{2}=$

	$1$
	$0,01$
	$10^{4}$

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