Definizione di frazione algebrica
[modifica]
Diamo la seguente definizione:
DEFINIZIONE 1. Si definisce frazione algebrica un’espressione del tipo
dove
e
sono polinomi.
Osserviamo che un’espressione di questo tipo si ottiene talvolta quando ci si propone di ottenere il quoziente di due monomi.
ESEMPIO 1. Determinare il quoziente tra
e
.
Questa operazione si esegue applicando, sulla parte letterale, le proprietà delle potenze e sul coefficiente la divisione tra numeri razionali:
. Il quoziente è quindi un monomio.
ESEMPIO 2. Determinare il quoziente tra
e
.
In questo caso l’esponente della
nel dividendo è minore dell’esponente della stessa variabile nel divisore quindi si ottiene
.
Questo non è un monomio per la presenza dell’esponente negativo alla variabile
. Quindi:
. Il quoziente è una frazione algebrica.
Quando vogliamo determinare il quoziente di una divisione tra un monomio e un polinomio o tra due polinomi, si presentano diversi casi.
Caso I
Monomio diviso un polinomio.
- Determinare il quoziente tra:
e
.
Il dividendo è un monomio e il divisore un polinomio. Questa operazione non ha come risultato un polinomio ma una frazione.
.
Caso II
Un polinomio diviso un monomio.
- Determinare il quoziente tra:
e
.
. Il quoziente è un polinomio.
- Determinare il quoziente tra:
e
.
Dividiamo ciascun termine del polinomio per il monomio assegnato: il quoziente sarà
. Il quoziente è una somma di frazioni algebriche.
Caso III
Un polinomio diviso un altro polinomio.
- Determinare il quoziente tra:
e
.
La divisione tra polinomi in una sola variabile è possibile, quando il grado del dividendo è maggiore o uguale al grado del divisore; questa condizione non si verifica nel caso proposto. Il quoziente è la frazione algebrica
.
Conclusione
Una frazione algebrica può essere considerata come il quoziente indicato tra due polinomi. Ogni frazione algebrica è dunque un’espressione letterale fratta o frazionaria.
Condizioni di esistenza per una frazione algebrica
[modifica]
Per discussione di una frazione algebrica intendiamo la ricerca dei valori che attribuiti alle variabili non la rendano priva di significato. Poiché non è possibile dividere per
, una frazione algebrica perde di significato per quei valori che attribuiti alle variabili rendono il denominatore uguale a zero. Quando abbiamo una frazione algebrica tipo
poniamo sempre la condizione di esistenza (abbreviato con
):
.
La determinazione della condizione di esistenza richiede una conoscenza dei metodi per risolvere le equazioni, argomento che verrà sviluppato nei prossimi capitoli.
ESEMPIO 3. Determinare le condizioni di esistenza di
.
Questa frazione perde di significato quando il denominatore si annulla:
.
ESEMPIO 4. Determinare le condizioni di esistenza di
.
Questa frazione perde di significato quando il denominatore si annulla:
.
ESEMPIO 5. Determinare le condizioni di esistenza di
.
. Sappiamo che un prodotto è nullo quando almeno uno dei suoi fattori è nullo, dunque affinché il denominatore non si annulli non si deve annullare né
né
, quindi
e
. Concludendo,
.
ESEMPIO 6. Determinare le condizioni di esistenza di
.
, per risolvere questa disuguaglianza si procede come per le usuali equazioni:
si può concludere
.
ESEMPIO 7. Determinare le condizioni di esistenza di
.
, il binomio è sempre maggiore di
perché somma di due grandezze positive. Pertanto la condizione
è sempre verificata e la frazione esiste sempre. Scriveremo
(si legge “per ogni
appartenente a
” o “qualunque
appartenente a
”).
ESEMPIO 8. Determinare le condizioni di esistenza di
.
; per rendere nullo il denominatore si dovrebbe avere
e questo si verifica se
oppure se
; possiamo anche osservare che il denominatore è una differenza di quadrati e che quindi la condizione di esistenza si può scrivere come
, essendo un prodotto possiamo scrivere
e concludere:
.
PROCEDURA 1. Determinare la condizione di esistenza di una frazione algebrica:
- porre il denominatore della frazione diverso da zero;
- scomporre in fattori il denominatore;
- porre ciascun fattore del denominatore diverso da zero;
- escludere i valori che annullano il denominatore.
Semplificazione di una frazione algebrica
[modifica]
Semplificare una frazione algebrica significa dividere numeratore e denominatore per uno stesso fattore diverso da zero. In questo modo, infatti, la proprietà invariantiva della divisione garantisce che la frazione ottenuta è equivalente a quella data. Quando semplifichiamo una frazione numerica dividiamo il numeratore e il denominatore per il loro
che è sempre un numero diverso da zero, ottenendo così una frazione ridotta ai minimi termini equivalente a quella assegnata. Quando ci poniamo lo stesso problema su una frazione algebrica, dobbiamo porre attenzione a escludere quei valori che, attribuiti alle variabili, rendono nullo il
.
ESEMPIO 9. Semplificare
.
. Puoi semplificare la parte numerica. Per semplificare la parte letterale applica la proprietà delle potenze relativa al quoziente di potenze con la stessa base:
e
. Quindi:
ESEMPIO 10. Ridurre ai minimi termini la frazione:
.
- Scomponiamo in fattori
- il numeratore:
;
- il denominatore:
;
- riscriviamo la frazione
;
da cui
e
, il terzo fattore non si annulla mai perché somma di un numero positivo e un quadrato;
- semplifichiamo:
.
ESEMPIO 11. Ridurre ai minimi termini la frazione in due variabili:
.
- Scomponiamo in fattori
;
;
- la frazione diventa:
;
cioè
;
- semplifichiamo i fattori uguali:
.
Le seguenti semplificazioni sono errate.
questa semplificazione è errata perché
e
sono addendi, non sono fattori;
questa semplificazione è errata perché
è un addendo, non un fattore;
,
,
;
,
.
Moltiplicazione di frazioni algebriche
[modifica]
Il prodotto di due frazioni è una frazione avente per numeratore il prodotto dei numeratori e per denominatore il prodotto dei denominatori.
Si vuole determinare il prodotto
; possiamo scrivere prima il risultato dei prodotti dei numeratori e dei denominatori e poi ridurre ai minimi termini la frazione ottenuta:
, oppure prima semplificare i termini delle frazioni e poi moltiplicare:
.
ESEMPIO 12. Prodotto delle frazioni algebriche
e
.
Poniamo le
per ciascuna frazione assegnata ricordando che tutti i fattori letterali dei denominatori devono essere diversi da zero, quindi
. Il prodotto è la frazione
.
ESEMPIO 13. Prodotto delle frazioni algebriche
e
.
L’espressione è in due variabili, i denominatori sono polinomi di primo grado irriducibili; poniamo le condizioni di esistenza:
dunque
.
Il prodotto è la frazione
in cui non è possibile alcuna semplificazione.
OSSERVAZIONE.
. Questa semplificazione contiene errori in quanto la variabile
è un fattore del numeratore ma è un addendo nel denominatore; analogamente la variabile
.
ESEMPIO 14. Prodotto delle frazioni algebriche in cui numeratori e denominatori sono polinomi
e
.
- Scomponiamo in fattori tutti i denominatori (servirà per la determinazione delle
) e tutti i numeratori (servirà per le eventuali semplificazioni)
,
;
- poniamo le
ricordando che tutti i fattori dei denominatori devono essere diversi da zero:
da cui
;
- determiniamo la frazione prodotto, effettuando le eventuali semplificazioni:
.
Potenza di una frazione algebrica
[modifica]
La potenza di esponente
, naturale diverso da zero, della frazione algebrica
con
(
) è la frazione avente per numeratore la potenza di esponente
del numeratore e per denominatore la potenza di esponente
del denominatore:
.
ESEMPIO 15. Calcoliamo
.
Innanzi tutto determiniamo le
per la frazione assegnata
da cui
. Dunque si ha
Casi particolari dell’esponente
[modifica]
Se
sappiamo che qualsiasi numero diverso da zero elevato a zero è uguale a
; lo stesso si può dire se la base è una frazione algebrica, purché essa non sia nulla.
con
e
.
ESEMPIO 16. Quali condizioni deve rispettare la variabile
per avere
?
- Scomponiamo in fattori numeratore e denominatore della frazione:
;
- determiniamo le
del denominatore:
da cui,
. Poniamo poi la condizione, affinché la frazione non sia nulla, che anche il numeratore sia diverso da zero. Indichiamo con
questa condizione, dunque
:
, da cui
;
- le condizioni di esistenza sono allora
.
Se
è intero negativo la potenza con base diversa da zero è uguale alla potenza che ha per base l’inverso della base e per esponente l’opposto dell’esponente.
con
e
.
ESEMPIO 17. Determinare
.
- Scomponiamo in fattori numeratore e denominatore:
;
del denominatore
e
da cui
essendo l’altro fattore sempre diverso da 0. Per poter determinare la frazione inversa dobbiamo porre le condizioni perché la frazione non sia nulla e cioè che anche il numeratore sia diverso da zero, quindi si deve avere
da cui
e
;
- quindi se
,
e
si ha
.
Divisione di frazioni algebriche
[modifica]
Il quoziente di due frazioni è la frazione che si ottiene moltiplicando la prima con l’inverso della seconda. Lo schema di calcolo può essere illustrato nel modo seguente, come del resto abbiamo visto nell’insieme dei numeri razionali:
Si vuole determinare il quoziente
. L’inverso di
è la frazione
, dunque
ESEMPIO 18. Determinare il quoziente delle frazioni algebriche
e
.
- Scomponiamo in fattori le due frazioni algebriche:
![{\displaystyle f_{1}={\tfrac {3a-3b}{2a^{2}b}}={\tfrac {3\cdot (a-b)}{2a^{2}b}}\quad {\text{e}}\quad f_{2}={\tfrac {a^{2}-ab}{b^{2}}}={\tfrac {a\cdot (a-b)}{b^{2}}}{\text{;}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bc130d5db60996778a0114f5de2ddfd8a5e768d2)
- poniamo le condizioni di esistenza dei denominatori:
da cui
;
- determiniamo la frazione inversa di
. Per poter determinare l’inverso dobbiamo porre le condizioni perché la frazione non sia nulla. Poniamo il numeratore diverso da zero,
da cui
;
- aggiorniamo le condizioni
;
- cambiamo la divisione in moltiplicazione e semplifichiamo:
![{\displaystyle {\tfrac {3\cdot (a-b)}{2a^{2}b}}:{\tfrac {a\cdot (a-b)}{b^{2}}}={\tfrac {3\cdot {\cancel {(a-b)}}}{2a^{2}{\cancel {b}}}}\cdot {\tfrac {b^{\cancel {2}}}{a\cdot {\cancel {(a-b)}}}}={\tfrac {3b}{2a^{3}}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3d5d204882f12e2d40426f4f2a7cbd98761d60b8)
Addizione di frazioni algebriche
[modifica]
Proprietà della addizione tra frazioni algebriche
[modifica]
Nell’insieme delle frazioni algebriche la somma:
- è commutativa:
;
- è associativa:
;
- possiede l’elemento neutro, cioè esiste una frazione
tale che per qualunque frazione
si abbia
cioè
;
- elemento inverso: per ogni frazione algebrica
esiste la frazione opposta
tale che ![{\displaystyle (-f)+f=f+(-f)=F^{0}=0.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d36438190b86a0a4ea164514513fb04ac4a28fd2)
Quest’ultima proprietà ci permette di trattare contemporaneamente l’operazione di addizione e di sottrazione con la somma algebrica, come abbiamo fatto tra numeri relativi;
omettendo il segno di addizione “
” e togliendo le parentesi diventa
;
omettendo il segno di sottrazione “
” e togliendo le parentesi diventa
. Come per i numeri relativi, quando si parlerà di somma di frazioni si intenderà “somma algebrica”.
ESEMPIO 19. Le frazioni
hanno lo stesso denominatore.
Poniamo le
da cui
, quindi
OSSERVAZIONE. A questo caso ci si può sempre ricondurre trasformando le frazioni in maniera che abbiamo lo stesso denominatore. Si potrebbe scegliere un qualunque denominatore comune, ad esempio il prodotto di tutti i denominatori ma per semplificare i calcoli scegliamo il
dei denominatori delle frazioni addendi.
ESEMPIO 20.
.
Dobbiamo trasformare le frazioni in modo che abbiano lo stesso denominatore:
- calcoliamo il
;
- poniamo le
da cui
e
;
- dividiamo il
per ciascun denominatore e moltiplichiamo il quoziente ottenuto per il relativo numeratore: ![{\displaystyle {\tfrac {2y^{2}\cdot (x+y)}{6x^{2}y^{3}}}-{\tfrac {3x\cdot (2y-x)}{6x^{2}y^{3}}};}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5367f6ea07e2995032909e2a24da3722222edff1)
- la frazione somma ha come denominatore lo stesso denominatore e come numeratore la somma dei numeratori:
![{\displaystyle {\tfrac {2y^{2}\cdot (x+y)}{6x^{2}y^{3}}}-{\tfrac {3x\cdot (2y-x)}{6x^{2}y^{3}}}={\tfrac {2xy^{2}+2y^{3}+2x^{2}y-6xy+3x^{2}}{6x^{2}y^{3}}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ee850a4848f1f0998abacfe5fe579990625a4947)
ESEMPIO 21.
.
- Scomponiamo in fattori i denominatori:
![{\displaystyle {\tfrac {x+2}{x(x-2)}}-{\tfrac {x-2}{x(2+x)}}+{\tfrac {-4x}{(x+2)(x-2)}}{\text{,}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/318e04d4422a0040dfe7777ffe08ab30d6afff3d)
il
è
;
- poniamo le
da cui
,
e
;
- dividiamo il
per ciascun denominatore e moltiplichiamo il quoziente ottenuto per il relativo numeratore: ![{\displaystyle {\tfrac {(x+2)^{2}-(x-2)^{2}-4x^{2}}{x\cdot (x+2)\cdot (x-2)}};}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/250ecee5a427c38500923d7fd35132e16d26d911)
- eseguiamo le operazioni al numeratore:
![{\displaystyle {\tfrac {x^{2}+4x+4-x^{2}+4x-4-4x^{2}}{x\cdot (x+2)\cdot (x-2)}}={\tfrac {8x-4x^{2}}{x\cdot (x+2)\cdot (x-2)}};}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ae53bc0820d253ab08770702faa9f692f8f3e7bf)
- semplifichiamo la frazione ottenuta, dopo aver scomposto il numeratore:
![{\displaystyle {\tfrac {-4{\cancel {x}}\cdot {\cancel {(x-2)}}}{{\cancel {x}}\cdot (x+2)\cdot {\cancel {(x-2)}}}}={\tfrac {-4}{x+2}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/57300f4d3b8e2168c88920be0071478cc1d6d772)
ESEMPIO 22.
.
- Scomponiamo in fattori
, essendo gli altri denominatori irriducibili:
che è anche il
dei denominatori;
- poniamo le
da cui
,
e
;
- dividiamo il
per ciascun denominatore e moltiplichiamo il quoziente ottenuto per il relativo numeratore: ![{\displaystyle {\tfrac {x(x+1)(x-1)-2x(x-2)(x-1)+x(x-2)(x+1)-(5x^{2}-7)}{(x-2)(x+1)(x-1)}};}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/50f0463fa946e95aaefaa16eb026fbe7e122d0b9)
- eseguiamo le operazioni al numeratore:
![{\displaystyle {\tfrac {\ldots \ldots \ldots }{(x-2)(x+1)(x-1)}};}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3e4df926caef32e4665a39f390f8452926d1fd3c)
- semplifichiamo la frazione ottenuta, dopo aver scomposto il numeratore. La frazione somma è:
![{\displaystyle -{\tfrac {7}{(x-2)(x+1)}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fcb170d4b736850bb3ac847741b4b2dcbc419565)