Riprendiamo la definizione già vista in “Algebra 1” di valore assoluto. Il valore assoluto o modulo di un numero
a
{\displaystyle a}
|
a
|
{\displaystyle |a|}
a
{\displaystyle a}
−
a
{\displaystyle -a}
|
a
|
=
{
a
se
a
≥
0
−
a
se
a
<
0
{\displaystyle \left|a\right|={\begin{cases}a&{\text{ se }}a\geq 0\\-a&{\text{ se }}a<0\end{cases}}}
Per esempio
|
+
7
|
=
7
{\displaystyle \left|+7\right|=7}
|
−
3
|
=
−
(
−
3
)
=
3
{\displaystyle \left|-3\right|=-(-3)=3}
|
0
|
=
0
{\displaystyle \left|0\right|=0}
|
−
1
|
=
1
{\displaystyle \left|-1\right|=1}
|
1
|
=
1
{\displaystyle \left|1\right|=1}
In maniera analoga definiamo il valore assoluto di un’espressione algebrica. Il valore assoluto o modulo dell’espressione algebrica
E
=
x
2
−
3
x
{\displaystyle E=x^{2}-3x}
|
x
2
−
3
x
|
{\displaystyle \left|x^{2}-3x\right|}
f
(
x
)
=
|
x
2
−
3
x
|
=
{
x
2
−
3
x
se
x
2
−
3
x
≥
0
−
(
x
2
−
3
x
)
se
x
2
−
3
x
<
0
.
{\displaystyle f(x)=\left|x^{2}-3x\right|={\begin{cases}x^{2}-3x&{\text{ se }}x^{2}-3x\geq 0\\-\left(x^{2}-3x\right)&{\text{ se }}x^{2}-3x<0\end{cases}}.}
Risolvendo la disequazione
x
2
−
3
x
≥
0
{\displaystyle x^{2}-3x\geq 0}
f
(
x
)
=
|
x
2
−
3
x
|
=
{
x
2
−
3
x
se
x
≤
0
∨
x
≥
3
−
x
2
+
3
x
se
0
<
x
<
3
.
{\displaystyle f(x)=\left|x^{2}-3x\right|={\begin{cases}x^{2}-3x&{\text{ se }}x\leq 0\vee x\geq 3\\-x^{2}+3x&{\text{ se }}0<x<3\end{cases}}.}
In generale, la funzione valore assoluto o modulo di un’espressione algebrica viene definita come:
|
f
(
x
)
|
=
{
f
(
x
)
se
f
(
x
)
≥
0
−
f
(
x
)
se
f
(
x
)
<
0
.
{\displaystyle \left|f(x)\right|={\begin{cases}f(x)&{\text{ se }}f(x)\geq 0\\-f(x)&{\text{ se }}f(x)<0\end{cases}}.}
La funzione
f
(
x
)
{\displaystyle f(x)}
argomento del valore assoluto .
ESEMPIO 1. Per la funzione
f
(
x
)
=
|
3
+
3
x
|
{\displaystyle f(x)=\left|{\sqrt {3}}+3x\right|}
Per definizione si ha:
f
(
x
)
=
|
3
+
3
x
|
=
{
3
+
3
x
se
3
+
3
x
≥
0
⇒
x
≥
−
3
3
−
3
−
3
x
se
3
+
3
x
<
0
⇒
x
<
−
3
3
.
{\displaystyle f(x)=\left|{\sqrt {3}}+3x\right|={\begin{cases}{\sqrt {3}}+3x&{\text{ se }}{\sqrt {3}}+3x\geq 0\Rightarrow x\geq -{\tfrac {\sqrt {3}}{3}}\\-{\sqrt {3}}-3x&{\text{ se }}{\sqrt {3}}+3x<0\Rightarrow x<-{\tfrac {\sqrt {3}}{3}}\end{cases}}.}
ESEMPIO 2. Data la funzione
f
(
x
)
=
|
x
2
−
4
|
+
|
x
+
1
|
−
2
x
{\displaystyle f(x)=\left|x^{2}-4\right|+\left|x+1\right|-2x}
Dobbiamo studiare i segni dei due binomi in valore assoluto
x
2
−
4
≥
0
⇒
x
≤
−
2
∨
x
≥
2
e
x
+
1
≥
0
⇒
x
>
−
1.
{\displaystyle {\begin{array}{l}x^{2}-4\geq 0\quad \Rightarrow \quad x\leq -2\vee x\geq 2{\text{ e}}\\x+1\geq 0\quad \Rightarrow \quad x>-1.\end{array}}}
La situazione è rappresentata con maggiore chiarezza nel grafico seguente.
Schema grafico per equazioni in valore assoluto Nell’intervallo
x
<
−
2
{\displaystyle x<-2}
nell’intervallo
−
2
≤
x
<
−
1
{\displaystyle -2\leq x<-1}
nell’intervallo
−
1
≤
x
<
2
{\displaystyle -1\leq x<2}
nell’intervallo
x
≥
2
{\displaystyle x\geq 2}
In sintesi
f
(
x
)
=
{
(
x
2
−
4
)
−
(
x
+
1
)
−
2
x
se
x
<
−
2
−
(
x
2
−
4
)
−
(
x
+
1
)
−
2
x
se
−
2
≤
x
<
−
1
−
(
x
2
−
4
)
+
(
x
+
1
)
−
2
x
se
−
1
≤
x
<
2
(
x
2
−
4
)
+
(
x
+
1
)
−
2
x
se
x
>
2
.
{\displaystyle f(x)={\begin{cases}(x^{2}-4)-(x+1)-2x&{\text{ se }}x<-2\\-(x^{2}-4)-(x+1)-2x&{\text{ se }}-2\leq x<-1\\-(x^{2}-4)+(x+1)-2x&{\text{ se }}-1\leq x<2\\(x^{2}-4)+(x+1)-2x&{\text{ se }}x>2\end{cases}}.}
Equazioni in una incognita in valore assoluto [ modifica ] [ modifica ] Equazioni con valore assoluto del tipo
|
f
(
x
)
|
=
k
con
k
≥
0
{\displaystyle \left|f(x)\right|=k{\text{ con }}k\geq 0}
ESEMPIO 3. Risolvere la seguente equazione
|
x
2
−
7
|
=
3
{\displaystyle \left|x^{2}-7\right|=3}
Per la definizione di valore assoluto si ha che
|
x
2
−
7
|
=
{
x
2
−
7
se
x
2
−
7
≥
0
−
x
2
+
7
se
x
2
−
7
<
0
{\displaystyle \left|x^{2}-7\right|={\begin{cases}x^{2}-7&{\text{ se }}x^{2}-7\geq 0\\-x^{2}+7&{\text{ se }}x^{2}-7<0\\\end{cases}}\;}
|
x
2
−
7
|
=
3
⇒
{
x
2
−
7
=
3
se
x
2
−
7
≥
0
−
x
2
+
7
=
3
se
x
2
−
7
<
0
{\displaystyle \left|x^{2}-7\right|=3\Rightarrow {\begin{cases}x^{2}-7=3&{\text{ se }}x^{2}-7\geq 0\\-x^{2}+7=3&{\text{ se }}x^{2}-7<0\\\end{cases}}}
ovvero il tutto equivale all’unione dei due sistemi
{
x
2
−
7
≥
0
x
2
−
7
=
3
∪
{
x
2
−
7
<
0
−
x
2
+
7
=
3
.
{\displaystyle \left\{{\begin{array}{l}{x^{2}-7\geq 0}\\{x^{2}-7=3}\end{array}}\right.\cup \left\{{\begin{array}{l}{x^{2}-7<0}\\{-x^{2}+7=3}\end{array}}\right..}
Moltiplicando per
−
1
{\displaystyle -1}
{
x
2
−
7
≥
0
x
2
−
7
=
3
∪
{
x
2
−
7
<
0
x
2
−
7
=
−
3
.
{\displaystyle \left\{{\begin{array}{l}{x^{2}-7\geq 0}\\{x^{2}-7=3}\end{array}}\right.\cup \left\{{\begin{array}{l}{x^{2}-7<0}\\{x^{2}-7=-3}\end{array}}\right..}
Si vede abbastanza facilmente che sia nel primo che nel secondo sistema le due disequazioni sono sempre verificate. Infatti, nel primo sistema l’equazione
x
2
−
7
=
3
{\displaystyle x^{2}-7=3}
x
2
−
7
≥
0
{\displaystyle x^{2}-7\geq 0}
x
2
−
7
{\displaystyle x^{2}-7}
3
{\displaystyle 3}
x
2
−
7
=
3
{\displaystyle x^{2}-7=3}
x
2
−
7
=
−
3
{\displaystyle x^{2}-7=-3}
x
2
−
7
=
3
⇒
x
2
=
10
⇒
x
1
=
−
10
∨
x
2
=
10
e
x
2
−
7
=
−
3
⇒
x
2
=
4
⇒
x
3
=
−
2
∨
x
4
=
2.
{\displaystyle {\begin{array}{l}x^{2}-7=3\Rightarrow x^{2}=10\Rightarrow x_{1}=-{\sqrt {10}}\;\vee \;x_{2}={\sqrt {10}}{\text{ e}}\\x^{2}-7=-3\Rightarrow x^{2}=4\Rightarrow x_{3}=-2\;\vee \;x_{4}=2.\end{array}}}
L’insieme delle soluzioni è quindi:
{
−
10
,
10
,
−
2
,
+
2
}
{\displaystyle \left\{-{\sqrt {10}}{\text{, }}{\sqrt {10}}{\text{, }}-2{\text{, }}+2\right\}}
Procedura risolutiva
Per risolvere un’equazione del tipo
|
f
(
x
)
|
=
k
con
k
≥
0
{\displaystyle \left|f(x)\right|=k\,{\text{ con }}k\geq 0}
f
(
x
)
=
±
k
{\displaystyle f(x)=\pm k}
ESEMPIO 4. Risolvere la seguente equazione
|
x
2
−
x
|
=
1.
{\displaystyle \left|x^{2}-x\right|=1.}
L’equazione
|
x
2
−
x
|
=
1
{\displaystyle \left|x^{2}-x\right|=1}
x
2
−
x
=
1
{\displaystyle x^{2}-x=1}
x
2
−
x
=
−
1
{\displaystyle x^{2}-x=-1}
x
2
−
x
=
1
⇒
x
2
−
x
−
1
=
0
⇒
x
1
=
1
−
5
2
∨
x
2
=
1
+
5
2
e
x
2
−
x
=
−
1
⇒
x
2
−
x
+
1
=
0
⇒
Δ
<
0
⇒
I.S.
=
∅
.
{\displaystyle {\begin{array}{l}x^{2}-x=1\quad \Rightarrow \quad x^{2}-x-1=0\quad \Rightarrow \quad x_{1}={\tfrac {1-{\sqrt {5}}}{2}}\;\vee \;x_{2}={\tfrac {1+{\sqrt {5}}}{2}}{\text{ e}}\\x^{2}-x=-1\quad \Rightarrow \quad x^{2}-x+1=0\quad \Rightarrow \quad \Delta <0\quad \Rightarrow \quad {\text{I.S.}}=\emptyset .\end{array}}}
L’insieme soluzione dell’equazione data è quindi
I.S.
=
{
1
−
5
2
,
1
+
5
2
}
.
{\displaystyle {\text{I.S.}}=\left\{{\tfrac {1-{\sqrt {5}}}{2}}{\text{, }}{\tfrac {1+{\sqrt {5}}}{2}}\right\}.}
Equazioni con valore assoluto del tipo
|
f
(
x
)
|
=
k
con
k
<
0
{\displaystyle {\left|f(x)\right|=k{\text{ con }}k<0}}
Se
k
<
0
{\displaystyle k<0}
|
f
(
x
)
|
=
k
{\displaystyle \left|f(x)\right|=k}
ESEMPIO 5. Risolvere la seguente equazione
|
x
−
7
|
=
−
1
{\displaystyle \left|x-7\right|=-1}
{
x
−
7
≥
0
x
−
7
=
−
1
∪
{
x
−
7
<
0
x
−
7
=
1
.
{\displaystyle \left\{{\begin{array}{l}{x-7\geq 0}\\{x-7=-1}\end{array}}\right.\cup \left\{{\begin{array}{l}{x-7<0}\\{x-7=1}\end{array}}\right..}
Entrambi i sistemi non hanno soluzioni reali. L’equazione è impossibile.
[ modifica ] ESEMPIO 6. Risolvere la seguente equazione
|
−
1
+
3
x
|
=
7
x
+
4.
{\displaystyle \left|-1+3x\right|=7x+4.}
L’equazione presenta un valore assoluto al primo membro.
Tenendo conto che
|
−
1
+
3
x
|
=
{
−
1
+
3
x
se
−
1
+
3
x
≥
0
⇒
x
≥
1
3
1
−
3
x
se
−
1
+
3
x
<
0
⇒
x
<
1
3
,
{\displaystyle \left|-1+3x\right|={{\begin{cases}-1+3x&{\text{ se }}-1+3x\geq 0\Rightarrow x\geq {\tfrac {1}{3}}\\1-3x&{\text{ se }}-1+3x<0\Rightarrow x<{\tfrac {1}{3}}\end{cases}}{\text{,}}}}
l’equazione si trasforma nell’unione dei due sistemi
{
x
≥
1
3
−
1
+
3
x
=
7
x
+
4
∪
{
x
<
1
3
1
−
3
x
=
7
x
+
4
.
{\displaystyle \left\{{\begin{array}{l}{x\geq {\tfrac {1}{3}}}\\{-1+3x=7x+4}\end{array}}\right.\cup \left\{{\begin{array}{l}{x<{\tfrac {1}{3}}}\\{1-3x=7x+4}\end{array}}\right..}
Risolvendo si ha
{
x
≥
1
3
4
x
=
−
5
⇒
x
=
−
5
4
∪
{
x
<
1
3
10
x
=
−
3
⇒
x
=
−
3
10
.
{\displaystyle \left\{{\begin{array}{l}{x\geq {\tfrac {1}{3}}}\\{4x=-5\Rightarrow x=-{\tfrac {5}{4}}}\end{array}}\right.\cup \left\{{\begin{array}{l}{x<{\tfrac {1}{3}}}\\{10x=-3\Rightarrow x=-{\tfrac {3}{10}}}\end{array}}\right..}
La soluzione
−
5
4
{\displaystyle -{\tfrac {5}{4}}}
1
3
{\displaystyle {\tfrac {1}{3}}}
x
=
−
3
10
{\displaystyle x=-{\tfrac {3}{10}}}
1
3
.
{\displaystyle {\tfrac {1}{3}}.}
ESEMPIO 7. Risolvere la seguente equazione
|
−
2
x
+
5
|
=
x
−
3
{\displaystyle \left|-2x+5\right|=x-3}
Esplicitiamo i due casi dell’argomento
|
−
2
x
+
5
|
=
{
−
2
x
+
5
se
−
2
x
+
5
≥
0
⇒
x
≤
5
2
2
x
−
5
se
−
2
x
+
5
<
0
⇒
x
>
5
2
.
{\displaystyle \left|-2x+5\right|={\begin{cases}-2x+5&{\text{ se }}-2x+5\geq 0\Rightarrow x\leq {\tfrac {5}{2}}\\2x-5&{\text{ se }}-2x+5<0\Rightarrow x>{\tfrac {5}{2}}\end{cases}}.}
L’equazione si trasforma quindi nell’unione dei due sistemi:
{
x
≤
5
2
−
2
x
+
5
=
x
−
3
∪
{
x
>
5
2
2
x
−
5
=
x
−
3
.
{\displaystyle \left\{{\begin{array}{l}{x\leq {\tfrac {5}{2}}}\\{-2x+5=x-3}\end{array}}\right.\cup \left\{{\begin{array}{l}{x>{\tfrac {5}{2}}}\\{2x-5=x-3}\end{array}}\right..}
Risolviamo ciascun sistema
{
x
≤
5
2
−
3
x
=
−
8
⇒
x
=
8
3
∪
{
x
>
5
2
x
=
2
{\displaystyle \left\{{\begin{array}{l}{x\leq {\tfrac {5}{2}}}\\{-3x=-8\Rightarrow x={\tfrac {8}{3}}}\end{array}}\right.\cup \left\{{\begin{array}{l}{x>{\tfrac {5}{2}}}\\{x=2}\end{array}}\right.}
ognuno dei quali risulta impossibile, cioè
I.S.
1
=
∅
{\displaystyle {\text{I.S.}}_{1}=\emptyset }
I.S.
2
=
∅
{\displaystyle {\text{I.S.}}_{2}=\emptyset }
Quindi l’insieme soluzione dell’equazione data è
I.S.
=
I.S.
1
∪
I.S.
2
=
∅
∪
∅
=
∅
{\displaystyle {\text{I.S.}}={\text{I.S.}}_{1}\cup {\text{I.S.}}_{2}=\emptyset \cup \emptyset =\emptyset }
ESEMPIO 8. Risolvere la seguente equazione
|
2
x
−
1
|
=
x
+
2
{\displaystyle \left|2x-1\right|=x+2}
L’equazione si trasforma nell’unione dei due sistemi
{
2
x
−
1
≥
0
2
x
−
1
=
x
+
2
∪
{
2
x
−
1
<
0
−
2
x
+
1
=
x
+
2
⇒
{
x
≥
1
2
x
=
3
∪
{
x
<
1
2
x
=
−
1
2
.
{\displaystyle \left\{{\begin{array}{l}{2x-1\geq 0}\\{2x-1=x+2}\end{array}}\right.\cup \left\{{\begin{array}{l}{2x-1<0}\\{-2x+1=x+2}\end{array}}\right.\Rightarrow \left\{{\begin{array}{l}{x\geq {\tfrac {1}{2}}}\\{x=3}\end{array}}\right.\cup \left\{{\begin{array}{l}{x<{\tfrac {1}{2}}}\\{x=-{\tfrac {1}{2}}}\end{array}}\right..}
Quindi le soluzioni sono
x
=
3
{\displaystyle x=3}
x
=
−
1
2
.
{\displaystyle x=-{\tfrac {1}{2}}.}
[ modifica ] ESEMPIO 9. Risolvere la seguente equazione
|
2
x
−
3
|
−
|
1
−
2
x
|
+
x
=
4
{\displaystyle \left|2x-3\right|-\left|1-2x\right|+x=4}
L’equazione presenta due espressioni in valore assoluto; ciascuna espressione sarà sviluppata in due modi diversi dipendenti dal segno assunto dai rispettivi argomenti. Si presenteranno allora quattro casi e l’insieme soluzione dell’equazione sarà ottenuto dall’unione delle soluzioni dei singoli casi. Per semplificare il procedimento studiamo il segno di ciascun argomento e poi confrontiamo i segni con uno schema grafico:
Schema grafico per equazioni in valore assoluto Si presentano tre casi:
Caso I:
{
x
<
1
2
−
(
2
x
−
3
)
−
(
1
−
2
x
)
+
x
=
4
{\displaystyle \left\{{\begin{array}{l}{x<{\tfrac {1}{2}}}\\{-(2x-3)-(1-2x)+x=4}\end{array}}\right.}
Caso II:
{
1
2
≤
x
<
3
2
−
(
2
x
−
3
)
+
(
1
−
2
x
)
+
x
=
4
{\displaystyle \left\{{\begin{array}{l}{{\tfrac {1}{2}}\leq x<{\tfrac {3}{2}}}\\{-(2x-3)+(1-2x)+x=4}\end{array}}\right.}
Caso III:
{
x
≥
3
2
(
2
x
−
3
)
+
(
1
−
2
x
)
+
x
=
4
{\displaystyle \left\{{\begin{array}{l}{x\geq {\tfrac {3}{2}}}\\{(2x-3)+(1-2x)+x=4}\end{array}}\right.}
In ogni sistema la prima condizione è la disequazione che vincola il segno degli argomenti e la seconda è l’equazione che risulta in base al segno definito. Risolviamo.
Caso I:
{
x
<
1
2
−
(
2
x
−
3
)
−
(
1
−
2
x
)
+
x
=
4
⇒
{
x
<
1
2
x
=
2
⇒
I.S.
1
=
∅
.
{\displaystyle \left\{{\begin{array}{l}x<{\tfrac {1}{2}}\\-(2x-3)-(1-2x)+x=4\end{array}}\right.\Rightarrow \left\{{\begin{array}{l}x<{\tfrac {1}{2}}\\x=2\end{array}}\right.\Rightarrow {\text{I.S.}}_{1}=\emptyset .}
Il sistema è impossibile in quanto
2
{\displaystyle 2}
1
2
{\displaystyle {\tfrac {1}{2}}}
Caso II:
{
1
2
≤
x
<
3
2
−
(
2
x
−
3
)
+
(
1
−
2
x
)
+
x
=
4
⇒
{
1
2
≤
x
<
3
2
x
=
0
⇒
I.S.
2
=
∅
.
{\displaystyle \left\{{\begin{array}{l}{\tfrac {1}{2}}\leq x<{\tfrac {3}{2}}\\-(2x-3)+(1-2x)+x=4\end{array}}\right.\Rightarrow \left\{{\begin{array}{l}{\tfrac {1}{2}}\leq x<{\tfrac {3}{2}}\\x=0\end{array}}\right.\Rightarrow {\text{I.S.}}_{2}=\emptyset .}
Il sistema è impossibile in quanto 0 non appartiene all’intervallo
[
1
2
,
3
2
)
.
{\displaystyle \left[{\tfrac {1}{2}}{\text{, }}{\tfrac {3}{2}}\right).}
Caso III:
{
x
≥
3
2
(
2
x
−
3
)
+
(
1
−
2
x
)
+
x
=
4
⇒
{
x
≥
3
2
x
=
6
⇒
I.S.
3
=
{
6
}
.
{\displaystyle \left\{{\begin{array}{l}x\geq {\tfrac {3}{2}}\\(2x-3)+(1-2x)+x=4\end{array}}\right.\Rightarrow \left\{{\begin{array}{l}x\geq {\tfrac {3}{2}}\\x=6\end{array}}\right.\Rightarrow {\text{I.S.}}_{3}=\{6\}.}
La soluzione in questo caso è accettabile.
Conclusione:
I.S.
=
I.S.
1
∪
I.S.
2
∪
I.S.
3
=
{
6
}
.
{\displaystyle {\text{I.S.}}={\text{I.S.}}_{1}\cup {\text{I.S.}}_{2}\cup {\text{I.S.}}_{3}=\{6\}.}
ESEMPIO 10. Risolvere la seguente equazione
|
x
2
−
4
|
−
3
x
=
|
x
−
1
|
{\displaystyle \left|x^{2}-4\right|-3x=\left|x-1\right|}
Confrontiamo il segno di ciascun argomento servendoci dello schema:
Schema grafico per equazioni in valore assoluto In questo esempio dobbiamo esaminare 4 casi che si esplicitano nei sistemi:
{
x
<
−
2
x
2
−
4
−
3
x
=
−
x
+
1
⇒
x
1
=
1
−
6
∨
x
2
=
1
+
6
⇒
I.S.
1
=
∅
.
{\displaystyle \left\{{\begin{array}{l}{x<-2}\\{x^{2}-4-3x=-x+1}\Rightarrow x_{1}=1-{\sqrt {6}}\;\vee \;x_{2}=1+{\sqrt {6}}\end{array}}\right.\Rightarrow {\text{I.S.}}_{1}=\emptyset .}
{
−
2
≤
x
<
1
−
x
2
+
4
−
3
x
=
−
x
+
1
⇒
x
1
=
−
3
∨
x
2
=
1
⇒
I.S.
2
=
∅
.
{\displaystyle \left\{{\begin{array}{l}{-2\leq x<1}\\{-x^{2}+4-3x=-x+1}\Rightarrow x_{1}=-3\;\vee \;x_{2}=1\end{array}}\right.\Rightarrow {\text{I.S.}}_{2}=\emptyset .}
{
1
≤
x
<
2
−
x
2
+
4
−
3
x
=
x
−
1
⇒
x
1
=
−
5
∨
x
2
=
1
⇒
I.S.
3
=
{
1
}
.
{\displaystyle \left\{{\begin{array}{l}{1\leq x<2}\\{-x^{2}+4-3x=x-1}\Rightarrow x_{1}=-5\;\vee \;x_{2}=1\end{array}}\right.\Rightarrow {\text{I.S.}}_{3}=\{1\}.}
{
x
≥
2
x
2
−
4
−
3
x
=
x
−
1
⇒
x
1
=
2
−
7
∨
x
2
=
2
+
7
⇒
I.S.
4
=
{
2
+
7
}
.
{\displaystyle \left\{{\begin{array}{l}{x\geq 2}\\{x^{2}-4-3x=x-1}\Rightarrow x_{1}=2-{\sqrt {7}}\;\vee \;x_{2}=2+{\sqrt {7}}\end{array}}\right.\Rightarrow {\text{I.S.}}_{4}=\left\{2+{\sqrt {7}}\right\}.}
Conclusione:
I.S.
=
I.S.
1
∪
I.S.
2
∪
I.S.
3
∪
I.S.
4
=
{
1
,
2
+
7
}
{\displaystyle {\text{I.S.}}={\text{I.S.}}_{1}\cup {\text{I.S.}}_{2}\cup {\text{I.S.}}_{3}\cup {\text{I.S.}}_{4}=\left\{1{\text{, }}2+{\sqrt {7}}\right\}}
PROCEDURA 1. Risoluzione di un’equazione con valori assoluti:
l’incognita è presente solo nell’argomento del modulo. L’equazione è del tipo
|
f
(
x
)
|
=
k
{\displaystyle \left|f(x)\right|=k}
f
(
x
)
=
±
k
{\displaystyle f(x)=\pm k}
k
<
0
{\displaystyle k<0}
l’incognita si trova anche al di fuori del modulo. Si analizza il segno dell’argomento del modulo e si risolvono i due sistemi dove la prima condizione è la disequazione che vincola il segno dell’argomento e la seconda è l’equazione che risulta in base al segno definito. L’insieme soluzione dell’equazione è dato dall’unione degli insiemi soluzione dei due sistemi;è presente più di un modulo che ha l’incognita nel proprio argomento. Si studia il segno di ogni argomento e dallo schema che ne segue si costruiscono e quindi si risolvono i sistemi in cui la prima condizione è la disequazione che vincola il segno degli argomenti e la seconda è l’equazione in base al segno definito. Anche in questo caso l’insieme soluzione dell’equazione è dato dall’unione degli insiemi soluzione dei vari sistemi.Disequazioni con valore assoluto [ modifica ] Primo caso :
disequazioni nella forma
|
f
(
x
)
|
<
k
{\displaystyle \left|f(x)\right|<k}
k
>
0
{\displaystyle k>0}
La disequazione si risolve studiando l’unione dei due sistemi
{
f
(
x
)
≥
0
f
(
x
)
<
k
∪
{
f
(
x
)
<
0
f
(
x
)
>
−
k
{\displaystyle \left\{{\begin{array}{l}{f(x)\geq 0}\\{f(x)<k}\end{array}}\right.\cup \left\{{\begin{array}{l}{f(x)<0}\\{f(x)>-k}\end{array}}\right.}
che hanno soluzioni
0
≤
f
(
x
)
<
k
∨
−
k
<
f
(
x
)
<
0
{\displaystyle 0\leq f(x)<k\;\vee \;-k<f(x)<0}
−
k
<
f
(
x
)
<
k
o anche
{
f
(
x
)
<
k
f
(
x
)
>
−
k
.
{\displaystyle -k<f(x)<k\quad {\text{ o anche }}\quad \left\{{\begin{array}{l}{f(x)<k}\\{f(x)>-k}\end{array}}\right..}
ESEMPIO 11. Risolvere la seguente disequazione
|
x
2
−
1
|
<
3
{\displaystyle \left|x^{2}-1\right|<3}
La disequazione diventa
−
3
<
x
2
−
1
<
3
{\displaystyle -3<x^{2}-1<3}
{
x
2
−
1
<
3
x
2
−
1
>
−
3
⇒
{
x
2
<
4
x
2
>
−
2
.
{\displaystyle \left\{{\begin{array}{l}{x^{2}-1<3}\\{x^{2}-1>-3}\end{array}}\right.\Rightarrow \left\{{\begin{array}{l}{x^{2}<4}\\{x^{2}>-2}\end{array}}\right..}
La prima disequazione
x
2
<
4
{\displaystyle x^{2}<4}
−
2
<
x
<
2
{\displaystyle -2<x<2}
La seconda è sempre verificata perché il quadrato
x
2
{\displaystyle x^{2}}
−
2
<
x
<
2.
{\displaystyle -2<x<2.}
Secondo caso :
disequazioni nella forma
|
f
(
x
)
|
>
k
{\displaystyle \left|f(x)\right|>k}
k
>
0
{\displaystyle k>0}
Per il procedimento svolto nel caso precedente queste disequazioni si trasformano sempre nelle disequazioni
f
(
x
)
<
−
k
∨
f
(
x
)
>
k
.
{\displaystyle f(x)<-k\;\vee \;f(x)>k.}
ESEMPIO 12. Risolvere la seguente equazione
|
x
2
−
4
|
>
4.
{\displaystyle \left|x^{2}-4\right|>4.}
L’equazione diventa
x
2
−
4
<
−
4
∨
x
2
−
4
>
4
{\displaystyle x^{2}-4<-4\;\vee \;x^{2}-4>4}
−
4
{\displaystyle -4}
x
2
<
0
∨
x
2
>
8.
{\displaystyle x^{2}<0\;\vee \;x^{2}>8.}
La prima disequazione
x
2
<
0
{\displaystyle x^{2}<0}
x
2
{\displaystyle x^{2}}
x
<
−
2
2
∨
x
>
2
2
.
{\displaystyle x<-2{\sqrt {2}}\;\vee \;x>2{\sqrt {2}}.}
[ modifica ] ESEMPIO 13. Risolvere la seguente disequazione
|
x
2
−
x
|
<
2
x
2
+
3
x
−
1.
{\displaystyle \left|x^{2}-x\right|<2x^{2}+3x-1.}
Studiamo il segno dell’argomento del modulo
x
2
−
x
≥
0
⇒
x
(
x
−
1
)
≥
0
⇒
x
≤
0
∨
x
≥
1.
{\displaystyle x^{2}-x\geq 0\quad \Rightarrow \quad x(x-1)\geq 0\quad \Rightarrow \quad x\leq 0\vee x\geq 1.}
La disequazione assegnata si sdoppia nell’unione di due sistemi:
{
x
≤
0
∨
x
≥
1
x
2
−
x
<
2
x
2
+
3
x
−
1
∪
{
0
<
x
<
1
−
x
2
+
x
<
2
x
2
+
3
x
−
1
.
{\displaystyle \left\{{\begin{array}{l}{x\leq 0\;\vee \;x\geq 1}\\{x^{2}-x<2x^{2}+3x-1}\end{array}}\right.\cup \left\{{\begin{array}{l}{0<x<1}\\{-x^{2}+x<2x^{2}+3x-1}\end{array}}\right..}
Semplificando le disequazioni si ha:
{
x
≤
0
∨
x
≥
1
x
2
+
4
x
−
1
>
0
∪
{
0
<
x
<
1
3
x
2
+
2
x
−
1
>
0
.
{\displaystyle \left\{{\begin{array}{l}{x\leq 0\;\vee \;x\geq 1}\\{x^{2}+4x-1>0}\end{array}}\right.\cup \left\{{\begin{array}{l}{0<x<1}\\{3x^{2}+2x-1>0}\end{array}}\right..}
Quindi rappresentiamo gli insiemi soluzione dei due sistemi in uno schema, così possiamo trovare agevolmente l’insieme soluzione della disequazione data.
Schema grafico per disequazioni in valore assoluto L’insieme soluzione della disequazione data è
x
<
−
2
−
5
∨
x
>
1
3
.
{\displaystyle x<-2-{\sqrt {5}}\;\vee \;x>{\tfrac {1}{3}}.}
[ modifica ] ESEMPIO 14. Risolvere la seguente disequazione
|
x
+
1
|
≥
|
x
2
−
1
|
.
{\displaystyle \left|x+1\right|\geq \left|x^{2}-1\right|.}
Studiamo il segno di ciascun argomento e poi confrontiamo i segni con uno schema grafico:
Schema grafico per disequazioni in valore assoluto Si presentano tre casi, quindi tre sistemi:
{
x
<
−
1
−
(
x
−
1
)
≥
x
2
−
1
∪
{
−
1
≤
x
<
1
x
+
1
≥
−
(
x
2
−
1
)
∪
{
x
≥
1
x
+
1
≥
x
2
−
1
.
{\displaystyle \left\{{\begin{array}{l}{x<-1}\\{-(x-1)\geq x^{2}-1}\end{array}}\right.\cup \left\{{\begin{array}{l}{-1\leq x<1}\\{x+1\geq -\left(x^{2}-1\right)}\end{array}}\right.\cup \left\{{\begin{array}{l}{x\geq 1}\\{x+1\geq x^{2}-1}\end{array}}\right..}
Risolviamo il primo sistema:
{
x
<
−
1
x
2
+
x
≤
0
⇒
{
x
<
−
1
−
1
≤
x
≤
0
.
{\displaystyle \left\{{\begin{array}{l}x<-1\\x^{2}+x\leq 0\end{array}}\right.\Rightarrow \left\{{\begin{array}{l}x<-1\\-1\leq x\leq 0\end{array}}\right..}
In questo caso non si hanno soluzioni:
I.S.
1
=
∅
.
{\displaystyle {\text{I.S.}}_{1}=\emptyset .}
Risolviamo il secondo sistema:
{
−
1
≤
x
<
1
x
2
+
x
≥
0
⇒
{
−
1
≤
x
<
1
x
≤
−
1
∨
x
≥
0
.
{\displaystyle \left\{{\begin{array}{l}-1\leq x<1\\x^{2}+x\geq 0\end{array}}\right.\Rightarrow \left\{{\begin{array}{l}-1\leq x<1\\x\leq -1\vee x\geq 0\end{array}}\right..}
In questo caso le soluzioni sono:
0
≤
x
<
1
∨
x
≥
0.
{\displaystyle 0\leq x<1\vee x\geq 0.}
Risolviamo il terzo sistema:
{
x
≥
1
x
2
−
x
−
2
≤
0
⇒
{
x
≥
1
−
1
≤
x
≤
2
.
{\displaystyle \left\{{\begin{array}{l}x\geq 1\\x^{2}-x-2\leq 0\end{array}}\right.\Rightarrow \left\{{\begin{array}{l}x\geq 1\\-1\leq x\leq 2\end{array}}\right..}
In questo caso le soluzioni sono:
1
≤
x
≤
2.
{\displaystyle 1\leq x\leq 2.}
Adesso rappresentiamo gli insiemi soluzione dei tre sistemi in uno schema, così possiamo trovare l’insieme soluzione della disequazione data.
Schema grafico per disequazioni in valore assoluto Unendo tutte le soluzioni si ha:
x
=
−
1
∨
0
≤
x
≤
2
{\displaystyle x=-1\;\vee \;0\leq x\leq 2}
