La trave piana

Di particolare importanza nell'ambito della scienza delle costruzioni, nonché in tutta la pratica tecnica, è la cosiddetta trave piana, intendendo con questo termine una trave il cui asse è interamente incluso in un piano $xz$, che è anche piano di simmetria geometrica e di carico. In tali condizioni le caratteristiche della sollecitazione si riducono da sei a quattro:

• $N$ sforzo normale, secondo la direzione $z$;
• $V_{x}$ taglio, secondo la direzione $x$;
• $M_{y}$ momento flettente, intorno alla direzione $y$.

Dal punto di vista degli spostamenti, le uniche componenti diverse da zero sono:

• $v_{x}$;
• $v_{z}$;
• $\gamma _{xz}$.

Dal punto di vista statico le uniche azioni distribuite possibili sono:

• $q_{x}$ carico distribuito in direzione $x$;
• $q_{z}$ carico distribuito in direzione $z$;
• $m_{y}$ momento distribuito intorno a $y$.

Le relazioni differenziali che legano queste azioni distribuite alle caratteristiche della sollecitazione sono facilmente calcolabili effettuando delle semplici considerazioni in relazione all'equilibrio di un generico tratto infinitesimo di trave.

Passaggi intermedi

Si consideri un tratto di trave di lunghezza infinitesima $dz$. Al fine di ricomprendere tutti i casi possibili nella nostra trattazione, si ipotizzi che la trave sia soggetta ad una curvatura $1/r$. Il tratto considerato sarà soggetto a:

• $M_{y};\;V_{x};\;N$ nella sezione trasversale identificata dalla coordinata $z$;
• $M_{y}+dM_{y};V_{x}+dV_{x};N+dN$ nell'altra sezione trasversale;
• $q_{z};\;q_{x};\;m_{y}$ sul contorno laterale.

Considerando il punto $Q$ posizionato sull'asse della trave in posizione intermedia tra le due sezioni di estremità del tratto considerato, è possibile immaginare applicate in questo punto le azioni distribuite sulla superficie laterale. Se si considera che per ovvie ragioni geometriche l'angolo formato dai prolungamenti delle tracce delle sezioni è pari a $\phi =dz/r$, è possibile determinare le relazioni di equilibrio che devono sussistere tra le azioni considerate.

Nella direzione di $q_{z}$ si ottiene:

$-N\cos {\frac {d\phi }{2}}-V\sin {\frac {d\phi }{2}}+q_{z}dz+(N+dN)\cos {\frac {d\phi }{2}}-(V+dV)\sin {\frac {d\phi }{2}}=0$

In maniera analoga nella direzione di $q_{x}$:

$-V\cos {\frac {d\phi }{2}}+N\sin {\frac {d\phi }{2}}+q_{x}dz+(V+dV)\cos {\frac {d\phi }{2}}+(N+dN)\sin {\frac {d\phi }{2}}=0$

Per l'equilibrio alla rotazione intorno al punto in cui si incontrano le rette di azione dei due sforzi normali, si ha:

$-M-Vr\tan {\frac {d\phi }{2}}+mdz+q_{z}dz\left({\frac {r}{\cos {\frac {d\phi }{2}}}}-r\right)-(V+dV)r\tan {\frac {d\phi }{2}}+(M+dM)=0$

Trattandosi di un elemento infinitesimo, tuttavia, è possibile considerare le seguenti approssimazioni:

${\begin{cases}\cos {\frac {d\phi }{2}}=1\\\sin {\frac {d\phi }{2}}={\frac {d\phi }{2}}\\\tan {\frac {d\phi }{2}}={\frac {d\phi }{2}}\end{cases}}$

In virtù di queste semplificazioni, è possibile riscrivere le equazioni precedenti:

${\begin{cases}-N-V{\frac {d\phi }{2}}+q_{z}dz+(N+dN)-(V+dV){\frac {d\phi }{2}}=0\\-V+N{\frac {d\phi }{2}}+q_{x}dz+(V+dV)+(N+dN){\frac {d\phi }{2}}=0\\-M-Vr{\frac {d\phi }{2}}+mdz+q_{z}dz(r-r)-(V+dV)r{\frac {d\phi }{2}}+(M+dM)=0\end{cases}}$

Sfruttando la relazione $d\phi =dz/r$ si ottiene:

${\begin{cases}-N-V{\frac {dz}{2r}}+q_{z}dz+(N+dN)-(V+dV){\frac {dz}{2r}}=0\\-V+N{\frac {dz}{2r}}+q_{x}dz+(V+dV)+(N+dN){\frac {dz}{2r}}=0\\-M-Vr{\frac {dz}{2r}}+mdz-(V+dV)r{\frac {dz}{2r}}+(M+dM)=0\end{cases}}$

Riorganizzando, si ottiene:

${\begin{cases}-N-V{\frac {dz}{2r}}+q_{z}dz+N+dN-V{\frac {dz}{2r}}-dV{\frac {dz}{2r}}=0\\-V+N{\frac {dz}{2r}}+q_{x}dz+V+dV+N{\frac {dz}{2r}}+dN{\frac {dz}{2r}}=0\\-M-V{\frac {dz}{2}}+mdz-V{\frac {dz}{2}}-dV{\frac {dz}{2}}+M+dM=0\end{cases}}$

Se si trascurano gli infinitesimi di ordine superiore al primo e si semplificano i termini uguali e di segno opposto:

${\begin{cases}-V{\frac {dz}{2r}}+q_{z}dz+dN-V{\frac {dz}{2r}}=0\\+N{\frac {dz}{2r}}+q_{x}dz+dV+N{\frac {dz}{2r}}=0\\-V{\frac {dz}{2}}+mdz-V{\frac {dz}{2}}+dM=0\end{cases}}$

Dividendo tutte e tre le equazioni per $dz$:

${\begin{cases}-{\frac {V}{2r}}+q_{z}+{\frac {dN}{dz}}-{\frac {V}{2r}}=0\\+{\frac {N}{2r}}+q_{x}+{\frac {dV}{dz}}+{\frac {N}{2r}}=0\\-{\frac {V}{2}}+m-{\frac {V}{2}}+{\frac {dM}{dz}}=0\end{cases}}$

Nel caso più generale della trave ad asse curvilineo si ha:

${\begin{cases}q_{z}+{\frac {dN}{dz}}-{\frac {V}{r}}=0\\q_{x}+{\frac {dV}{dz}}+{\frac {N}{r}}=0\\m-V+{\frac {dM}{dz}}=0\end{cases}}$

Se si considera una trave ad asse rettilineo, in cui cioè $r\to \infty$, e priva di momenti flettenti distribuiti, le espressioni precedenti si semplificano:

${\begin{cases}{\frac {dN}{dz}}=-q_{z}\\{\frac {dV}{dz}}=-q_{x}\\{\frac {dM}{dz}}=V\end{cases}}$

Le ultime due espressioni forniscono il seguente ulteriore legame:

${\frac {d^{2}M_{y}}{dz^{2}}}=-q_{x}$

Questi legami si dimostreranno importanti nella risoluzione delle travi piane.