La piastra ellittica

Si consideri una piastra di forma ellittica con semiassi $a,b$ con $a<b$.

Piastra ellittica caricata uniformemente incastrata al contorno

Nota:
Inserire immagine della geometria del problema

Nel caso in cui si consideri che la piastra così definita sia sottoposta ad un carico uniformemente distribuito e sia incastrata al contorno è ancora possibile avere una soluzione analitica del genere trovato per la piastra circolare.

Per semplicità di trattazione, si fanno coincidere gli assi del riferimento $x,y$ con gli assi dell'ellisse $2a,2b$. L'equazione della superficie elastica, in questo caso, deve assumere la forma seguente:

$v_{z}=f\left(1-{\frac {x^{2}}{a^{2}}}-{\frac {y^{2}}{b^{2}}}\right)^{2}$

Questa forma, infatti, rispetta le equazioni al contorno, secondo cui deve essere $v_{z}=0$ e $dv_{z}/dy_{i}=0$.

Infatti il termine tra parentesi nell'equazione della superficie elastica è pari a zero in corrispondenza del contorno. Per comprendere ciò si consideri che ${\frac {x^{2}}{a^{2}}}+{\frac {y^{2}}{b^{2}}}=1$ è l'equazione dell'ellisse, di conseguenza lungo il contorno si ha effettivamente ${\frac {x^{2}}{a^{2}}}+{\frac {y^{2}}{b^{2}}}=1$, per cui $\left(1-{\frac {x^{2}}{a^{2}}}-{\frac {y^{2}}{b^{2}}}\right)=0$.

Derivando una volta l'equazione della superficie elastica rispetto ad esempio a $x$ si ottiene:

${\frac {dv_{z}}{dx}}=-{\frac {2x}{a^{2}}}f\left(1-{\frac {x^{2}}{a^{2}}}-{\frac {y^{2}}{b^{2}}}\right)$

che si annulla ancora in corrispondenza del contorno perché il termine tra parentesi è rimasto invariato.

Nelle equazioni precedenti $f$ rappresenta un fattore moltiplicativo, ma è dotato di un significato fisico ben preciso: considerando $x=0;y=0$, infatti, si ottiene $v_{z}=f$. Esso, cioè, rappresenta il valore dell'abbassamento in corrispondenza del centro della piastra, e cioè la freccia al centro.

È possibile a questo punto sostituire l'espressione di $v_{z}$ indicata all'interno dell'equazione della superficie elastica trovata in precedenza (badando di non confonderla con quella definita per la piastra circolare), e che si riporta per comodità:

${\frac {\delta ^{4}v_{z}}{\delta x^{4}}}+2{\frac {\delta ^{4}v_{z}}{\delta x^{2}\delta y^{2}}}+{\frac {\delta ^{4}v_{z}}{\delta y^{4}}}={\frac {p}{B}}\to {\mathcal {5}}^{4}v_{z}={\frac {p}{B}}$

Nota:
Inserire i passaggi matematici

Sostituendo e derivando opportunamente i termini si ottiene infine:

$f={\frac {p}{8B}}{\frac {a^{2}b^{2}}{3a^{4}+2a^{2}b^{2}+3b^{4}}}$

Dal momento che si è definita completamente l'equazione della superficie elastica, è possibile calcolare tutto della piastra. I momenti cui è sottoposta sono pari a:

$\left\{{\begin{matrix}{\begin{aligned}&M_{x}=4Bf\left[\left({\frac {1}{a^{2}}}-{\frac {3x^{2}}{a^{4}}}-{\frac {y^{2}}{a^{2}b^{2}}}\right)+\nu \left({\frac {1}{b^{2}}}-{\frac {3y^{2}}{b^{4}}}-{\frac {x^{2}}{a^{2}b^{2}}}\right)\right]\\&M_{y}=4Bf\left[\left({\frac {1}{b^{2}}}-{\frac {3y^{2}}{b^{4}}}-{\frac {x^{2}}{a^{2}b^{2}}}\right)+\nu \left({\frac {1}{a^{2}}}-{\frac {3x^{2}}{a^{4}}}-{\frac {y^{2}}{a^{2}b^{2}}}\right)\right]\\&M_{xy}=-(1-\nu ){\frac {8Bf}{a^{2}b^{2}}}xy\end{aligned}}\end{matrix}}\right.$

Si può dimostrare che i momenti flettenti massimi sono quelli agenti in corrispondenza dell'estremità del semiasse minore, e cioè per $x=a,y=0$, dove assume valore:

$M_{x}=-{\frac {8Bf}{a^{2}}}$