La piastra ellittica

Da Wikiversità, l'apprendimento libero.
Jump to navigation Jump to search
lezione
La piastra ellittica
Tipo di risorsa Tipo: lezione
Materia di appartenenza Materia: Scienza delle costruzioni

Si consideri una piastra di forma ellittica con semiassi con .

Piastra ellittica caricata uniformemente incastrata al contorno[modifica]

Stock post message.svgNota:
Inserire immagine della geometria del problema

Nel caso in cui si consideri che la piastra così definita sia sottoposta ad un carico uniformemente distribuito e sia incastrata al contorno è ancora possibile avere una soluzione analitica del genere trovato per la piastra circolare.

Per semplicità di trattazione, si fanno coincidere gli assi del riferimento con gli assi dell'ellisse . L'equazione della superficie elastica, in questo caso, deve assumere la forma seguente:

Questa forma, infatti, rispetta le equazioni al contorno, secondo cui deve essere e .

Infatti il termine tra parentesi nell'equazione della superficie elastica è pari a zero in corrispondenza del contorno. Per comprendere ciò si consideri che è l'equazione dell'ellisse, di conseguenza lungo il contorno si ha effettivamente , per cui .

Derivando una volta l'equazione della superficie elastica rispetto ad esempio a si ottiene:

che si annulla ancora in corrispondenza del contorno perché il termine tra parentesi è rimasto invariato.

Nelle equazioni precedenti rappresenta un fattore moltiplicativo, ma è dotato di un significato fisico ben preciso: considerando , infatti, si ottiene . Esso, cioè, rappresenta il valore dell'abbassamento in corrispondenza del centro della piastra, e cioè la freccia al centro.

È possibile a questo punto sostituire l'espressione di indicata all'interno dell'equazione della superficie elastica trovata in precedenza (badando di non confonderla con quella definita per la piastra circolare), e che si riporta per comodità:

Stock post message.svgNota:
Inserire i passaggi matematici

Sostituendo e derivando opportunamente i termini si ottiene infine:

Dal momento che si è definita completamente l'equazione della superficie elastica, è possibile calcolare tutto della piastra. I momenti cui è sottoposta sono pari a:

Si può dimostrare che i momenti flettenti massimi sono quelli agenti in corrispondenza dell'estremità del semiasse minore, e cioè per , dove assume valore: