La piastra circolare

Si consideri una piastra circolare di raggio $R$ simmetricamente caricata, per il momento senza specificare il modo con cui essa è vincolata a patto che il vincolo sia uguale per tutta l'estensione del contorno. Data la particolare forma della piastra, è conveniente in questo caso utilizzare un sistema di coordinate polari con origine nel centro $O$ della piastra.

Nota:
Inserire immagine esplicativa di quanto detto

Dalle condizioni di simmetria precedentemente esposte, si può affermare che sono nulle tutte le tensioni tangenziali $\tau _{\theta r}\;\tau _{\theta z}$ (perché non rispettano la simmetria), mentre le $\;\sigma _{\theta }$ risultano essere distribuite in maniera uniforme lungo la generica sezione diametrale e le $\tau _{rz}\;\sigma _{r}$ lungo la generica sezione anulare. Queste tensioni non nulle, quindi, sono funzione esclusivamente della distanza $r$ calcolata rispetto al centro $O$.

Date queste considerazioni in riferimento alle tensioni, si può scrivere:

$M_{\theta r}=\int _{-s/2}^{s/2}\tau _{\theta r}zdz=0$

$T_{\theta }=\int _{-s/2}^{s/2}\tau _{\theta z}dz=0$

Le caratteristiche della sollecitazione agenti, dunque, si riducono ad essere:

$\left\{{\begin{matrix}{\begin{aligned}&M_{r}=-B\left({\frac {d^{2}v_{z}}{dr^{2}}}+\nu {\frac {dv_{z}}{rdr}}\right)\\&M_{\theta }=-B\left({\frac {dv_{z}}{rdr}}+\nu {\frac {d^{2}v_{z}}{dr^{2}}}\right)\\&T_{r}=-B{\frac {d}{dr}}\left({\frac {d^{2}v_{z}}{dr^{2}}}+{\frac {dv_{z}}{rdr}}\right)\end{aligned}}\end{matrix}}\right.$

Nota:
Inserire immagine esplicativa

Immaginiamo di isolare un elemento infinitesimo della piastra delimitato per mezzo di due superfici anulari in corrispondenza dei raggi $r$ e $r+dr$, e di due superfici diametrali che formano tra loro l'angolo $d\theta$. Su questo elemento agiscono:

• una coppia $M_{r}rd\theta$ ed una $(M_{r}+dM_{r})(r+dr)d\theta$ in direzione $r$, agenti secondo versi opposti nella direzione $r$. La loro somma, trascurando infinitesimi di ordine superiore, è pari a $M_{r}drd\theta +dM_{r}rd\theta$.
• una forza $T_{r}rd\theta$ ed una $(T_{r}+dT_{r})(r+dr)d\theta$, agenti secondo la direzione $z$ sulla faccia di normale $r$. Il momento di questa coppia di forze è pari a $T_{r}rd\theta dr$, ed è diretto secondo la direzione $r$.
• due coppie $M_{\theta }dr$, agenti nella direzione di $\theta$. Queste due coppie, tuttavia, non si elidono completamente a vicenda: la direzione $\theta$, infatti, segue la tangente alla circonferenza nel punto considerato, per cui ad una variazione $d\theta$ corrisponde una variazione anche della direzione $\theta$. Il momento risultante, agente sul piano $rz$, è pari a $-M_{\theta }drd\theta$.
• il carico distribuito $p$, che provoca un momento che è infinitesimo di ordine superiore rispetto ai precedenti.

Si può, dunque, procedere a verificare l'equilibrio alla rotazione secondo il piano $rz$:

$M_{r}drd\theta +dM_{r}rd\theta +T_{r}rd\theta dr-M_{\theta }drd\theta =0\to M_{r}+{\frac {dM_{r}}{dr}}r+T_{r}r-M_{\theta }=0$

Sostituendo le espressioni di $M_{r}$ e di $M_{\theta }$ prima indicate si ottiene:

${\frac {d^{3}v_{z}}{dr^{3}}}+{\frac {1}{r}}{\frac {d^{2}v_{z}}{dr^{2}}}-{\frac {1}{r^{2}}}{\frac {dv_{z}}{dr}}={\frac {T_{r}}{B}}$

Per comprendere come si è giunti a questo risultato, è possibile visionare i passaggi matematici che hanno permesso di arrivare allo stesso.

Passaggi matematici

Di seguito sono sintetizzati i passaggi matematici necessari a giungere al risultato precedente:

$M_{r}+{\frac {dM_{r}}{dr}}r+T_{r}r-M_{\theta }=0$

$-B\left({\frac {d^{2}v_{z}}{dr^{2}}}+\nu {\frac {dv_{z}}{rdr}}\right)-r{\frac {d}{dr}}B\left({\frac {d^{2}v_{z}}{dr^{2}}}+\nu {\frac {dv_{z}}{rdr}}\right)+T_{r}r+B\left({\frac {dv_{z}}{rdr}}+\nu {\frac {d^{2}v_{z}}{dr^{2}}}\right)=0\to$

$\to {\frac {d^{2}v_{z}}{dr^{2}}}+\nu {\frac {dv_{z}}{rdr}}+r{\frac {d}{dr}}{\frac {d^{2}v_{z}}{dr^{2}}}+r{\frac {d}{dr}}\nu {\frac {dv_{z}}{rdr}}-{\frac {dv_{z}}{rdr}}-\nu {\frac {d^{2}v_{z}}{dr^{2}}}={\frac {T_{r}r}{B}}\to$

$\to {\frac {d^{2}v_{z}}{dr^{2}}}+\nu {\frac {dv_{z}}{rdr}}+r{\frac {d^{3}v_{z}}{dr^{3}}}+\nu r{\frac {{\frac {d^{2}v_{z}}{dr^{2}}}r-{\frac {dv_{z}}{dr}}}{r^{2}}}-{\frac {dv_{z}}{rdr}}-\nu {\frac {d^{2}v_{z}}{dr^{2}}}={\frac {T_{r}r}{B}}\to$

$\to {\frac {1}{r}}{\frac {d^{2}v_{z}}{dr^{2}}}+{\frac {1}{r^{2}}}\nu {\frac {dv_{z}}{dr}}+{\frac {d^{3}v_{z}}{dr^{3}}}+\nu {\frac {1}{r}}{\frac {d^{2}v_{z}}{dr^{2}}}-\nu {\frac {1}{r^{2}}}{\frac {dv_{z}}{dr}}-{\frac {1}{r^{2}}}{\frac {dv_{z}}{dr}}-\nu {\frac {1}{r}}{\frac {d^{2}v_{z}}{dr^{2}}}={\frac {T_{r}}{B}}\to$

$\to {\frac {d^{3}v_{z}}{dr^{3}}}+{\frac {1}{r}}{\frac {d^{2}v_{z}}{dr^{2}}}-{\frac {1}{r^{2}}}{\frac {dv_{z}}{dr}}={\frac {T_{r}}{B}}$

Dal momento che nel seguito si renderà necessario integrare questa equazione, conviene trasformarla in una forma più comoda per questo tipo di operazione nel modo seguente:

${\frac {d}{dr}}\left({\frac {1}{r}}{\frac {d}{dr}}(r{\frac {dv_{z}}{dr}})\right)={\frac {T_{r}}{B}}$

Come in precedenza, si riportano i passaggi necessari per arrivare alla soluzione:

Passaggi matematici

${\frac {d^{3}v_{z}}{dr^{3}}}+{\frac {1}{r}}{\frac {d^{2}v_{z}}{dr^{2}}}-{\frac {1}{r^{2}}}{\frac {dv_{z}}{dr}}={\frac {T_{r}}{B}}$

Si aggiunge e si sottrae al primo termine la quantità ${\frac {1}{r}}{\frac {d^{2}v_{z}}{dr^{2}}}$:

${\frac {d^{3}v_{z}}{dr^{3}}}+{\frac {1}{r}}{\frac {d^{2}v_{z}}{dr^{2}}}-{\frac {1}{r^{2}}}{\frac {dv_{z}}{dr}}-{\frac {1}{r}}{\frac {d^{2}v_{z}}{dr^{2}}}+{\frac {1}{r}}{\frac {d^{2}v_{z}}{dr^{2}}}={\frac {T_{r}}{B}}$

Si mette in evidenza $r^{2}$ al denominatore:

${\frac {r^{2}{\frac {d^{3}v_{z}}{dr^{3}}}+r{\frac {d^{2}v_{z}}{dr^{2}}}-{\frac {dv_{z}}{dr}}-r{\frac {d^{2}v_{z}}{dr^{2}}}+r{\frac {d^{2}v_{z}}{dr^{2}}}}{r^{2}}}={\frac {T_{r}}{B}}$

Si riarrangia l'equazione nel modo seguente:

${\frac {r\left(r{\frac {d^{3}v_{z}}{dr^{3}}}+{\frac {d^{2}v_{z}}{dr^{2}}}\right)+r{\frac {d^{2}v_{z}}{dr^{2}}}-\left({\frac {dv_{z}}{dr}}+r{\frac {d^{2}v_{z}}{dr^{2}}}\right)}{r^{2}}}={\frac {T_{r}}{B}}$

Si fa notare che la quantità $\left(r{\frac {d^{3}v_{z}}{dr^{3}}}+{\frac {d^{2}v_{z}}{dr^{2}}}\right)$ è equivalente a ${\frac {d}{dr}}\left({\frac {d^{2}v_{z}}{dr^{2}}}r\right)$. Si vede, infatti, che $r{\frac {d^{3}v_{z}}{dr^{3}}}+{\frac {d^{2}v_{z}}{dr^{2}}}=r{\frac {d}{dr}}({\frac {d^{2}v_{z}}{dr^{2}}})+{\frac {d^{2}v_{z}}{dr^{2}}}{\frac {d}{dr}}(r)$, che è esattamente il risultato della derivazione del prodotto ${\frac {d^{2}v_{z}}{dr^{2}}}r$.

Per visualizzare meglio tale passaggio si prenda in considerazione la regola generale di derivazione di un prodotto, secondo cui:

${\frac {d}{dx}}\left[f(x)g(x)\right]=f'(x)g(x)+f(x)g'(x)$

e si ponga:

$f(x)={\frac {d^{2}v_{z}}{dr^{2}}}\;g(x)=r$

e conseguentemente:

$f'(x)={\frac {d^{3}v_{z}}{dr^{3}}}\;g'(x)={\frac {d}{dr}}r=1$

si ha dunque:

$f'(x)g(x)={\frac {d^{3}v_{z}}{dr^{3}}}r\;f(x)g'(x)={\frac {d^{2}v_{z}}{dr^{2}}}$

In definitiva:

${\frac {r{\frac {d}{dr}}\left({\frac {d^{2}v_{z}}{dr}}r\right)+r{\frac {d^{2}v_{z}}{dr^{2}}}-\left({\frac {dv_{z}}{dr}}+r{\frac {d^{2}v_{z}}{dr^{2}}}\right)}{r^{2}}}={\frac {T_{r}}{B}}$

Equivalentemente si può scrivere:

${\frac {r{\frac {d}{dr}}\left({\frac {d^{2}v_{z}}{dr}}r+{\frac {dv_{z}}{dr}}\right)-\left({\frac {dv_{z}}{dr}}+r{\frac {d^{2}v_{z}}{dr^{2}}}\right)}{r^{2}}}={\frac {T_{r}}{B}}$

Il termine $\left({\frac {d^{2}v_{z}}{dr}}r+{\frac {dv_{z}}{dr}}\right)$, poi, può essere considerato a sua volta come il risultato della derivazione di un prodotto, ed in particolare del prodotto ${\frac {dv_{z}}{dr}}r$. Si può notare che tale termine è presente due volte nell'equazione. In base a quanto detto si può scrivere:

${\frac {r{\frac {d^{2}}{dr^{2}}}\left({\frac {dv_{z}}{dr}}r\right)-{\frac {d}{dr}}\left({\frac {dv_{z}}{dr}}r\right)}{r^{2}}}={\frac {T_{r}}{B}}$

Si può osservare che l'intero primo membro dell'equazione rappresenta la derivata di un rapporto. Si prenda in considerazione la regola generale di derivazione di un rapporto:

${\frac {d}{dx}}{\frac {f(x)}{g(x)}}={\frac {f'(x)g(x)-f(x)g'(x)}{g^{2}(x)}}$

e si ponga:

$f(x)={\frac {d}{dr}}({\frac {dv_{z}}{dr}}r)\;g(x)=r$

e quindi:

$f'(x)={\frac {d^{2}}{dr^{2}}}({\frac {dv_{z}}{dr}}r)\;g'(x)=1$

Sostituendo si ha:

${\frac {{\frac {d^{2}}{dr^{2}}}({\frac {dv_{z}}{dr}}r)r-{\frac {d}{dr}}({\frac {dv_{z}}{dr}}r)}{r^{2}}}$

Che è esattamente il primo membro dell'equazione precedente. Si può, dunque, concludere che l'equazione iniziale è equivalente a:

${\frac {d}{dr}}\left({\frac {1}{r}}{\frac {d}{dr}}(r{\frac {dv_{z}}{dr}})\right)={\frac {T_{r}}{B}}$

Nota:
Inserire immagine che illustri la geometria del problema in analisi

Si supponga che la piastra sia soggetta ad un carico uniformemente distribuito $p$ e ad un carico concentrato $P$ in corrispondenza del centro della stessa. Si può notare che il carico, così come è stato supposto, permette al sistema di mantenere la sua simmetria assiale, situazione nella quale è particolarmente semplice il calcolo del taglio $T_{r}$. Considerando una generica superficie cilindrica coassiale alla piastra in corrispondenza del generico raggio $r$, il taglio agente globalmente sulla stessa $T_{r}2\pi r$ dovrà equilibrare l'insieme delle forze agenti al di là della suddetta superficie, per cui dovrà essere:

$T_{r}2\pi r=P+p\pi r^{2}\to T_{r}={\frac {pr}{2}}+{\frac {P}{2\pi r}}$

Di conseguenza si può riscrivere l'equazione differenziale nel modo seguente:

${\frac {d}{dr}}\left({\frac {1}{r}}{\frac {d}{dr}}(r{\frac {dv_{z}}{dr}})\right)={\frac {1}{B}}\left({\frac {pr}{2}}+{\frac {P}{2\pi r}}\right)$

Da tale equazione è possibile ricavare l'equazione della superficie elastica:

$v_{z}={\frac {pr^{4}}{64B}}+{\frac {Pr^{2}}{8\pi B}}(\ln r-1)-{\frac {C_{1}r^{2}}{4}}-C_{2}\ln r+C_{3}$

Si rivelerà importante negli sviluppi successivi anche conoscere l'andamento dell'inclinazione della superficie elastica:

${\frac {dv_{z}}{dz}}={\frac {pr^{3}}{16B}}+{\frac {Pr}{8\pi B}}(2\ln r-1)-{\frac {C_{1}r}{2}}-{\frac {C_{2}}{r}}$

$C_{1}\;C_{2}\;C_{3}$ rappresentano le costanti d'integrazione da determinarsi per mezzo di opportune condizioni al contorno.

Come in precedenza, si riporta il modo con cui si giunge a tale conclusione.

Passaggi matematici

${\frac {d}{dr}}\left({\frac {1}{r}}{\frac {d}{dr}}(r{\frac {dv_{z}}{dr}})\right)={\frac {1}{B}}\left({\frac {pr}{2}}+{\frac {P}{2\pi r}}\right)$

Con una prima integrazione si ottiene:

${\frac {1}{r}}{\frac {d}{dr}}(r{\frac {dv_{z}}{dr}})={\frac {1}{B}}\left({\frac {pr^{2}}{4}}+{\frac {P}{2\pi }}\ln r\right)+C_{1}$

Moltiplicando entrambi i membri per $r$ si ottiene:

${\frac {d}{dr}}(r{\frac {dv_{z}}{dr}})={\frac {1}{B}}\left({\frac {pr^{3}}{4}}+{\frac {Pr}{2\pi }}\ln r\right)+C_{1}$

Integrando di nuovo si ha:

$r{\frac {dv_{z}}{dr}}={\frac {1}{B}}\left[{\frac {pr^{4}}{16}}+{\frac {P}{2\pi }}\left({\frac {r^{2}\ln r}{2}}-{\frac {r^{2}}{4}}\right)\right]+C_{1}{\frac {r^{2}}{2}}+C_{2}$

Dividendo tutto per $r$ si ottiene:

${\frac {dv_{z}}{dz}}={\frac {pr^{3}}{16B}}+{\frac {Pr}{8\pi B}}(2\ln r-1)-{\frac {C_{1}r}{2}}-{\frac {C_{2}}{r}}$

Tale equazione rappresenta l'inclinazione della superficie elastica al variare di $r$. Integrando nuovamente si ottiene l'equazione della superficie elastica:

$v_{z}={\frac {pr^{4}}{64B}}+{\frac {Pr^{2}}{9\pi B}}(\ln r-1)-{\frac {C_{1}r^{2}}{4}}-C_{2}\ln r+C_{3}$

Si può osservare che nell'equazione che rappresenta l'inclinazione della superficie elastica la costante d'integrazione $C_{2}$ appare in una frazione avente al denominatore $r$. Per un valore generico di $C_{2}$, dunque, l'inclinazione assumerebbe valori infiniti in corrispondenza del centro della piastra, in cui $r=0$. Per evitare questa situazione, si deve porre $C_{2}=0$, almeno nelle situazioni in cui si considera che la piastra sia "piena", ovvero non forata. Si rende necessario, dunque, definire solo le due costanti $C_{1}\;C_{3}$. Si può comprendere ora il motivo per cui sono necessarie due e due sole condizioni al contorno per risolvere il problema della piastra.