La piastra circolare

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lezione
La piastra circolare
Tipo di risorsa Tipo: lezione
Materia di appartenenza Materia: Scienza delle costruzioni

Si consideri una piastra circolare di raggio simmetricamente caricata, per il momento senza specificare il modo con cui essa è vincolata a patto che il vincolo sia uguale per tutta l'estensione del contorno. Data la particolare forma della piastra, è conveniente in questo caso utilizzare un sistema di coordinate polari con origine nel centro della piastra.

Stock post message.svgNota:
Inserire immagine esplicativa di quanto detto

Dalle condizioni di simmetria precedentemente esposte, si può affermare che sono nulle tutte le tensioni tangenziali (perché non rispettano la simmetria), mentre le risultano essere distribuite in maniera uniforme lungo la generica sezione diametrale e le lungo la generica sezione anulare. Queste tensioni non nulle, quindi, sono funzione esclusivamente della distanza calcolata rispetto al centro .

Date queste considerazioni in riferimento alle tensioni, si può scrivere:

Le caratteristiche della sollecitazione agenti, dunque, si riducono ad essere:

Stock post message.svgNota:
Inserire immagine esplicativa

Immaginiamo di isolare un elemento infinitesimo della piastra delimitato per mezzo di due superfici anulari in corrispondenza dei raggi e , e di due superfici diametrali che formano tra loro l'angolo . Su questo elemento agiscono:

  • una coppia ed una in direzione , agenti secondo versi opposti nella direzione . La loro somma, trascurando infinitesimi di ordine superiore, è pari a .
  • una forza ed una , agenti secondo la direzione sulla faccia di normale . Il momento di questa coppia di forze è pari a , ed è diretto secondo la direzione .
  • due coppie , agenti nella direzione di . Queste due coppie, tuttavia, non si elidono completamente a vicenda: la direzione , infatti, segue la tangente alla circonferenza nel punto considerato, per cui ad una variazione corrisponde una variazione anche della direzione . Il momento risultante, agente sul piano , è pari a .
  • il carico distribuito , che provoca un momento che è infinitesimo di ordine superiore rispetto ai precedenti.

Si può, dunque, procedere a verificare l'equilibrio alla rotazione secondo il piano :

Sostituendo le espressioni di e di prima indicate si ottiene:

Per comprendere come si è giunti a questo risultato, è possibile visionare i passaggi matematici che hanno permesso di arrivare allo stesso.

Passaggi matematici

Di seguito sono sintetizzati i passaggi matematici necessari a giungere al risultato precedente:

Dal momento che nel seguito si renderà necessario integrare questa equazione, conviene trasformarla in una forma più comoda per questo tipo di operazione nel modo seguente:

Come in precedenza, si riportano i passaggi necessari per arrivare alla soluzione:

Passaggi matematici

Si aggiunge e si sottrae al primo termine la quantità :

Si mette in evidenza al denominatore:

Si riarrangia l'equazione nel modo seguente:

Si fa notare che la quantità è equivalente a . Si vede, infatti, che , che è esattamente il risultato della derivazione del prodotto .

Per visualizzare meglio tale passaggio si prenda in considerazione la regola generale di derivazione di un prodotto, secondo cui:

e si ponga:

e conseguentemente:

si ha dunque:

In definitiva:

Equivalentemente si può scrivere:

Il termine , poi, può essere considerato a sua volta come il risultato della derivazione di un prodotto, ed in particolare del prodotto . Si può notare che tale termine è presente due volte nell'equazione. In base a quanto detto si può scrivere:

Si può osservare che l'intero primo membro dell'equazione rappresenta la derivata di un rapporto. Si prenda in considerazione la regola generale di derivazione di un rapporto:

e si ponga:

e quindi:

Sostituendo si ha:

Che è esattamente il primo membro dell'equazione precedente. Si può, dunque, concludere che l'equazione iniziale è equivalente a:

Stock post message.svgNota:
Inserire immagine che illustri la geometria del problema in analisi

Si supponga che la piastra sia soggetta ad un carico uniformemente distribuito e ad un carico concentrato in corrispondenza del centro della stessa. Si può notare che il carico, così come è stato supposto, permette al sistema di mantenere la sua simmetria assiale, situazione nella quale è particolarmente semplice il calcolo del taglio . Considerando una generica superficie cilindrica coassiale alla piastra in corrispondenza del generico raggio , il taglio agente globalmente sulla stessa dovrà equilibrare l'insieme delle forze agenti al di là della suddetta superficie, per cui dovrà essere:

Di conseguenza si può riscrivere l'equazione differenziale nel modo seguente:

Da tale equazione è possibile ricavare l'equazione della superficie elastica:

Si rivelerà importante negli sviluppi successivi anche conoscere l'andamento dell'inclinazione della superficie elastica:

rappresentano le costanti d'integrazione da determinarsi per mezzo di opportune condizioni al contorno.

Come in precedenza, si riporta il modo con cui si giunge a tale conclusione.

Passaggi matematici

Con una prima integrazione si ottiene:

Moltiplicando entrambi i membri per si ottiene:

Integrando di nuovo si ha:

Dividendo tutto per si ottiene:

Tale equazione rappresenta l'inclinazione della superficie elastica al variare di . Integrando nuovamente si ottiene l'equazione della superficie elastica:

Si può osservare che nell'equazione che rappresenta l'inclinazione della superficie elastica la costante d'integrazione appare in una frazione avente al denominatore . Per un valore generico di , dunque, l'inclinazione assumerebbe valori infiniti in corrispondenza del centro della piastra, in cui . Per evitare questa situazione, si deve porre , almeno nelle situazioni in cui si considera che la piastra sia "piena", ovvero non forata. Si rende necessario, dunque, definire solo le due costanti . Si può comprendere ora il motivo per cui sono necessarie due e due sole condizioni al contorno per risolvere il problema della piastra.