Ricordiamo che risolvere un triangolo significa ricavare le misure di tutti i suoi elementi (lati e angoli) date le misure di alcuni di essi.
ESEMPIO 1. Determinate l’area del triangolo rettangolo , retto in , sapendo che il cateto e che .
Dati: ,,.
Obiettivo: .
Procedura risolutiva: .
Dobbiamo dunque determinare le misure dei cateti. Applicando le definizioni ():
Pertanto .
ESEMPIO 2. Un triangolo rettangolo , retto in , ha il cateto di e l’angolo acuto in di ; determinate l’altro angolo acuto, la misura del cateto e la misura dell’ipotenusa .
Dati: ,,.
Obiettivo: ,,.
Procedura risolutiva: Essendo gli angoli acuti complementari si ottiene . Applicando la formula inversa:
Infine determiniamo l’altro cateto e osserviamo che possiamo procedere in due modi:
con il Teorema di Pitagora:
per definizione di coseno:
OSSERVAZIONE.
Nei calcoli effettuati abbiamo operato un’approssimazione; per esempio il valore esatto di è rappresentato solo dall’espressione .
I risultati ottenuti con procedimenti diversi possono differire, se pur di poco, a causa dell’uso di valori approssimati nei calcoli che aumentano l’errore di approssimazione (propagazione dell’errore).
ESEMPIO 3. Risolvi il triangolo rettangolo della figura sapendo che e .
Usiamo l’identità fondamentale per determinare :
Poiché si ha:
Per il teorema di Pitagora ;
(calcolato con la calcolatrice e arrotondato),
.
ESEMPIO 4. Risolvere il triangolo rettangolo , retto in (quello della figura precedente) sapendo che e .
Dati: ,.
Obiettivo: ,,,.
Procedura risolutiva: Dalla definizione di seno si ha
Con il teorema di Pitagora possiamo ricavare l’altro cateto
Infine, con la funzione inversa, ricaviamo l’angolo e procedendo come spiegato in precedenza otteniamo: e .
DEFINIZIONE 1. Dato un segmento ed una retta che passa per un suo estremo (, per fissare le idee). Si definisce proiezione del segmento sulla retta il segmento dove è l’intersezione fra e la sua perpendicolare passante per (si vedano i tre esempi riportati nella figura seguente).