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La Risoluzione di Triangoli Rettangoli (superiori)

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lezione
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La Risoluzione di Triangoli Rettangoli (superiori)
Tipo di risorsa Tipo: lezione
Materia di appartenenza Materia: Matematica per le superiori 5
Avanzamento Avanzamento: lezione completa al 100%

Ricordiamo che risolvere un triangolo significa ricavare le misure di tutti i suoi elementi (lati e angoli) date le misure di alcuni di essi.


ESEMPIO 1. Determinate l’area del triangolo rettangolo , retto in , sapendo che il cateto e che .

Dati,,.

Obiettivo.

Procedura risolutiva.

Dobbiamo dunque determinare le misure dei cateti. Applicando le definizioni ():

Pertanto .

ESEMPIO 2. Un triangolo rettangolo , retto in , ha il cateto di e l’angolo acuto in di ; determinate l’altro angolo acuto, la misura del cateto e la misura dell’ipotenusa .

Dati,,.

Obiettivo,,.

Procedura risolutiva: Essendo gli angoli acuti complementari si ottiene . Applicando la formula inversa:

Infine determiniamo l’altro cateto e osserviamo che possiamo procedere in due modi:

  • con il Teorema di Pitagora:

  • per definizione di coseno:


OSSERVAZIONE.

  1. Nei calcoli effettuati abbiamo operato un’approssimazione; per esempio il valore esatto di è rappresentato solo dall’espressione .
  2. I risultati ottenuti con procedimenti diversi possono differire, se pur di poco, a causa dell’uso di valori approssimati nei calcoli che aumentano l’errore di approssimazione (propagazione dell’errore).

ESEMPIO 3. Risolvi il triangolo rettangolo della figura sapendo che e .

Risoluzione di un triangolo rettangolo
Risoluzione di un triangolo rettangolo

Usiamo l’identità fondamentale per determinare :

Poiché si ha:

Per il teorema di Pitagora ;

(calcolato con la calcolatrice e arrotondato), .

ESEMPIO 4. Risolvere il triangolo rettangolo , retto in (quello della figura precedente) sapendo che e .

Dati,.

Obiettivo,,,.

Procedura risolutiva:  Dalla definizione di seno si ha

Con il teorema di Pitagora possiamo ricavare l’altro cateto

Infine, con la funzione inversa, ricaviamo l’angolo e procedendo come spiegato in precedenza otteniamo: e .


Proiezione di un segmento lungo una direzione

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DEFINIZIONE 1. Dato un segmento ed una retta che passa per un suo estremo (, per fissare le idee). Si definisce proiezione del segmento sulla retta il segmento dove è l’intersezione fra e la sua perpendicolare passante per (si vedano i tre esempi riportati nella figura seguente).

Proiezioni su rette
Proiezioni su rette