L'instabilità per carico di punta dell'asta con imperfezioni

Nella trattazione fatta per l'instabilità per carico di punta, si è finora supposto che l'asta fosse "perfetta", ovvero priva di imperfezioni, e che il carico fosse perfettamente centrato. Nella realtà, tuttavia, le pretese di perfezione sono fuori luogo, e gli schemi utilizzati per lo studio dell'instabilità rappresentano in realtà un'astrazione teorica, visto che nella realtà tutti gli elementi strutturali presentano delle imperfezioni e il carico non può mai essere considerato perfettamente centrato.

Nota:
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Per tenere conto di questi fattori, si studia un'asta rettilinea perfetta come nei casi precedenti, ma si considera che il carico di compressione $F$ presenti un'eccentricità $e$ iniziale. Si considera che l'asta sia incastrata ad un estremo e libera all'altro.

Date le equazioni differenziali della linea elastica già definite, le condizioni al contorno da imporre sono le seguenti:

${\begin{cases}v_{x}(z=0)=B+D=0\\\left({\frac {dv_{x}}{dz}}\right)_{z=0}=Aa+C=0\\M_{z=l}=-EJ{\frac {d^{2}v_{x}}{dz^{2}}}=-Fe\\T_{z=l}=-EJ{\frac {d^{3}v_{x}}{dz^{3}}}+F{\frac {dv_{x}}{dz}}=0\end{cases}}\to {\begin{cases}B+D=0\\Aa+C=0\\A\operatorname {sen} al+B\cos al=-e\\C=0\end{cases}}\to {\begin{cases}A=0\\B=-{\frac {e}{\cos al}}\\C=0\\D={\frac {e}{\cos al}}\end{cases}}$

L'equazione della linea elastica, quindi, assume la forma seguente:

$v_{x}={\frac {e}{\cos al}}(1-\cos az)$

La freccia massima, corrispondente all'estremo libero, è pari a:

$(v_{x})_{z=l}={\frac {e}{\cos al}}-e$

Data la particolare configurazione del sistema, il momento massimo che si sviluppa in corrispondenza dell'incastro vale:

$M_{max}=F((v_{x})_{z=l}+e)=F{\frac {e}{\cos al}}$

Ciò che accade, in pratica, è che l'iniziale eccentricità viene gradualmente accentuata al crescere del carico, e l'aumento del momento massimo è nella pratica causa della crisi dell'asta prima ancora che si raggiunga il carico critico. Per questa particolare situazione, inoltre, non è necessario nemmeno supporre l'entrata in gioco di una causa esterna, dal momento che il fenomeno si manifesta indipendentemente da qualsiasi condizione esterna al sistema.

La medesima dimostrazione può effettuarsi considerando altre condizioni di vincolo, che tuttavia non aggiungono alcunché di nuovo alla trattazione.