Il rumore nel sonar e la curva gaussiana

Il rumore che agisce contro la scoperta sonar è presente nel mezzo a causa dello stato del mare e altre cause; il rumore dell'acqua in superficie dipendente dal vento e/o dalla pioggia, il riverbero e il rumore dalle macchine proprie della nave penalizzano il segnale a volte in modo molto pesante.

Il tema in oggetto è stato esaminato nella 2^ lezione della materia di Analisi dei disturbi nell'ambiente marino lezione della quale la presente ne è un complemento.

L'algoritmo di Gauss è proposto di seguito in modo analitico cercando di fare chiarezza per chi si occupa di sonar e non di statistica.

La curva gaussiana

E' definita con il termine di cui al titolo una particolare funzione matematica che è in grado di rappresentare il comportamento di un notevolissimo numero di variabili naturali.

Tra le variabili citate anche le tensioni di rumore che sono convogliate, tramite i trasduttori, nei circuiti di elaborazione del sonar.

Dato che la caratteristica della tensione di rumore generata da un sensore acustico immerso in mare è tale che il suo livello di picco istantaneo può essere, casualmente, superiore a $+1.41$ volte il proprio valore efficace o inferiore a $-1.41$ volte tale valore, la curva di Gauss indica qual è la probabilità percentuale ($Y$ ) che ciò accada.

Con $Y=0.4$ si avrà il $40\ \%$ di probabilità che ciò si verifichi, con $Y=0.2$ il $20\ \%$ ecc.

La conoscenza delle citate percentuali è utile per la regolazione della soglia di rivelazione del sonar dalla quale dipendono, sia le probabilità di scoperta del bersaglio, sia le probabilità di falso allarme.

L'algoritmo che definisce la curva di Gauss è il seguente:

$Y={\frac {1}{\sqrt {2\pi \delta }}}\exp {\frac {-(x-\eta )^{2}}{2\delta ^{2}}}$

le variabili che compaiono sono quattro e le denominazioni loro attribuite, in questo caso specifico, sono

strettamente attinenti alle tensioni di rumore che si trovano nei circuiti del sonar :

$Y$ = variabile dipendente che esprime la probabilità percentuale sopra menzionata.

$x$ = variabile indipendente che corre lungo l'asse delle ascisse, da $-x\ \ a\ +x$ espressa in valore efficace.

$\delta$ = valore efficace della tensione di rumore in esame.

$\eta$ = valore medio della tensione di rumore in esame.

La curva gaussiana semplificata

Alla semplificazione dell'algoritmo indicato in precedenza giocano a favore le caratteristiche del rumore; questo infatti ha il valor medio uguale a zero annullando la quarta variabile della formula che perciò

si presenta così:

$Y={\frac {1}{\sqrt {2\pi \delta }}}\exp {\frac {-x^{2}}{2\delta ^{2}}}$

Se assumiamo ora che il valore efficace del rumore sia pari ad $1$ ( possono essere, indifferentemente, dai $\mu V.eff\$ ai $V.eff$), l'algoritmo si semplifica ulteriormente come sotto indicato:

$Y={\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}\exp {\frac {-x^{2}}{2}}$

Esercizio di calcolo

Implementando in un calcolatore l'algoritmo semplificato otteniamo la sottostante routine di calcolo che consente di eseguire rapidamente le verifiche della procedura:

y = 1 / Sqr(6.28) * Exp(-x ^ 2 / 2)  

Print y   

Se supponiamo ad esempio che il rumore in esame abbia l'ampiezza $x\ mV\ eff.$ si può calcolare qual è la percentuale di probabilità che un livello istantaneo di picco sia $k\cdot x\ mV\ pp.$

• La probabilità che in una tensione di rumore di $1mV\ eff.$ alcuni picchi possano raggiungere livelli pari alla metà del suo valore efficace si computa:

per $x=+/-0.5\ mV$ si ha: $Y=0.35$ pari al $35\ \%$ del tempo.

• La probabilità che in una tensione di rumore di $1mV\ eff.$ alcuni picchi possano raggiungere livelli pari ad una volta del suo valore efficace si computa:

per $x=+/-1\ mV$ si ha: $Y=0.24$ pari al $24\ \%$ del tempo.

• La probabilità che in una tensione di rumore di $1mV\ eff.$ alcuni picchi possano raggiungere livelli pari a due volte del suo valore efficace si computa:

per $x=+/-2\ mV$ si ha: $Y=0.054$ pari al $5.4\ \%$ del tempo.

• La probabilità che in una tensione di rumore di $1mV\ eff.$ alcuni picchi possano raggiungere livelli pari a tre volte del suo valore efficace si computa:

per $x=+/-3\ mV$ si ha : $Y=0.0043$ pari al $0.43\ \%$ del tempo.

• La probabilità che in una tensione di rumore di $1mV\ eff.$ alcuni picchi possano raggiungere livelli pari a quattro volte del suo valore efficace si computa:

per $x=+/-4\ mV$ si ha: $Y=0.00013$ pari al $0.013\ \%$ del tempo.

Il grafico della curva gaussiana

Di notevole interesse è tracciare completamente la curva gaussiana tra limiti di $x$ non molto elevati per poter ancora apprezzare i valori di $Y$.

Questo si può fare con la routine seguente accompagnata da un adatto reticolo grafico ed istruzione pset:

for x = -k1 to k2 step .001  
	
y = 1 / Sqr(6.28) * Exp(-x ^ 2 / 2)  
	
next x 

Un esempio di tale grafica è sotto riportato per gli estremi di $x$ definiti tra $x1=-5\ e\ x2=+5$

Curva gaussiana; distribuzione normale

Bibliografia

• James J. Faran Jr e Robert Hills Jr, Correlators for signal reception, in Office of Naval Research (contract n5 ori-76 project order x technical memorandum no. 27), Cambridge, Massachusetts, Acoustics Research Laboratory Division of Applied Science Harvard University, 1952.
• M. Sheldon Ross Probabilità e statistica per l'ingegneria e le scienze, Apogeo Trento, 2003
• M Stephen Stigler, Mathematical Statistics in the Early States,The Annals of Statistics v.6 n.2 pp. 239–265|, 1978