Il principio dei lavori virtuali

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lezione
Il principio dei lavori virtuali
Tipo di risorsa Tipo: lezione
Materia di appartenenza Materia: Scienza delle costruzioni

Il principio dei lavori virtuali afferma che dato un sistema di forze e tensioni equilibrato e un sistema di spostamenti e deformazioni congruente, il lavoro che le forze esterne del primo sistema compiono sugli spostamenti del secondo è uguale al lavoro che le tensioni interne del primo sistema compiono sulle deformazioni del secondo.

È opportuno rilevare che tra il sistema di forze e tensioni e quello di spostamenti e deformazioni non esiste alcuna correlazione se non quella di riferirsi al medesimo corpo. Non esiste, cioè, un rapporto di causa-effetto tra i due sistemi, i quali sono totalmente indipendenti tra loro. In base a questa precisazione è facile anche comprendere le motivazioni dell'aggettivo virtuale nel nome del principio: i lavori, infatti, non sono quelli che effettivamente agiscono a causa di quelle forze e di quelle tensioni, dal momento che per calcolare il lavoro reale sarebbe necessario prendere come sistema di spostamenti e deformazioni quello generato dal sistema di forze e tensioni. In questa fase, tuttavia, non è possibile risolvere un problema di questo tipo dal momento che in precedenza non si è mai fatto alcun riferimento a leggi che legano le tensioni alle deformazioni.

Si fa notare che un principio omologo esiste anche nel caso dei corpi rigidi, di cui questo ne è una generalizzazione: nel caso dei corpi rigidi, infatti, il principio afferma che il lavoro che le forze esterne compiono sugli spostamenti è nullo. È facile notare che quest'ultima posizione è un caso particolare dell'enunciato del principio dei lavori virtuali: nel caso del corpo rigido, infatti, le deformazioni nell'interno del corpo sono ovunque nulle, di conseguenza il lavoro che le tensioni compiono sulle deformazioni è ovunque nullo, per cui l'enunciato del principio dei lavori virtuali si riduce a quello citato.

Dimostrazione[modifica]

Si consideri il lavoro che le tensioni compiono sugli spostamenti in corrispondenza della frontiera del corpo considerato:

Scambiando tra loro i segni della sommatoria si ottiene:

Per il teorema della divergenza si ottiene:

Per cui:

Tenendo conto che il sistema forze e tensioni è per ipotesi equilibrato, deve rispettare le equazioni di equilibrio. Una di queste è la seguente:

Un'altra condizione di equilibrio impone l'uguaglianza alla frontiera tra la tensione e la forza agente:

In definitiva:

D'altra parte, dovendo essere sempre per equilibrio , al secondo membro può scriversi:

Per cui:

Quest'ultima è esattamente l'espressione del principio dei lavori virtuali. Infatti:

  • rappresenta il lavoro che le forze esterne (di superficie le prime e di volume le seconde) compiono sugli spostamenti ;
  • è il lavoro che le tensioni interne compiono sulle deformazioni .

Applicazione del principio dei lavori virtuali[modifica]

Il principio dei lavori virtuali fornisce una correlazione tra tre circostanze distinte:

  1. il sistema delle forze e delle tensioni è equilibrato;
  2. il sistema degli spostamenti e delle deformazioni è congruente;
  3. il lavoro prodotto dalle forze esterne è uguale al lavoro fornito dalle tensioni interne.

È importante precisare che tra queste affermazioni esiste una relazione di necessità, valida non solo nel senso esposto nella dimostrazione ma anche all'inverso. In pratica non solo è vero che se sono vere le prime due affermazioni è vera la terza, ma in generale se sono vere due delle affermazioni precedenti è necessariamente vera anche l'altra.

Quest'ultima affermazione è di estrema importanza all'atto della risoluzione di un problema: dato cioè un sistema di forze e tensioni equilibrato, se è valido il principio dei lavori virtuali con un sistema di spostamenti e deformazioni quest'ultimo è necessariamente congruente; viceversa dato un sistema di spostamenti e deformazioni congruente, l'uguaglianza dei lavori delle forze esterne e interne porta necessariamente a definire il sistema di forze e tensioni equilibrato. Il principio, dato un sistema di forze e tensioni (o spostamenti e deformazioni) che sia sicuramente equilibrato (o congruente), fornisce informazioni per ricercare l'unica soluzione che sia contestualmente equilibrata e congruente.