Il principio dei lavori virtuali

Il principio dei lavori virtuali afferma che dato un sistema di forze e tensioni equilibrato e un sistema di spostamenti e deformazioni congruente, il lavoro che le forze esterne del primo sistema compiono sugli spostamenti del secondo è uguale al lavoro che le tensioni interne del primo sistema compiono sulle deformazioni del secondo.

È opportuno rilevare che tra il sistema di forze e tensioni e quello di spostamenti e deformazioni non esiste alcuna correlazione se non quella di riferirsi al medesimo corpo. Non esiste, cioè, un rapporto di causa-effetto tra i due sistemi, i quali sono totalmente indipendenti tra loro. In base a questa precisazione è facile anche comprendere le motivazioni dell'aggettivo virtuale nel nome del principio: i lavori, infatti, non sono quelli che effettivamente agiscono a causa di quelle forze e di quelle tensioni, dal momento che per calcolare il lavoro reale sarebbe necessario prendere come sistema di spostamenti e deformazioni quello generato dal sistema di forze e tensioni. In questa fase, tuttavia, non è possibile risolvere un problema di questo tipo dal momento che in precedenza non si è mai fatto alcun riferimento a leggi che legano le tensioni alle deformazioni.

Si fa notare che un principio omologo esiste anche nel caso dei corpi rigidi, di cui questo ne è una generalizzazione: nel caso dei corpi rigidi, infatti, il principio afferma che il lavoro che le forze esterne compiono sugli spostamenti è nullo. È facile notare che quest'ultima posizione è un caso particolare dell'enunciato del principio dei lavori virtuali: nel caso del corpo rigido, infatti, le deformazioni nell'interno del corpo sono ovunque nulle, di conseguenza il lavoro che le tensioni compiono sulle deformazioni è ovunque nullo, per cui l'enunciato del principio dei lavori virtuali si riduce a quello citato.

Dimostrazione

Si consideri il lavoro che le tensioni $t_{n}$ compiono sugli spostamenti $v$ in corrispondenza della frontiera $S$ del corpo considerato:

$\int _{S}t_{n}\;v\;dS=\int _{S}\left(\sum _{i=1}^{3}t_{ni}v_{i}\right)dS=\int _{S}\left[\sum _{i=1}^{3}\left(\sum _{k=1}^{3}\sigma _{ki}n_{k}\right)v_{i}\right]dS$

Scambiando tra loro i segni della sommatoria si ottiene:

$\int _{S}\left[\sum _{k=1}^{3}\left(\sum _{i=1}^{3}\sigma _{ki}v_{i}\right)n_{k}\right]dS$

Per il teorema della divergenza si ottiene:

$\int _{C}\left[\sum _{k=1}^{3}{\frac {\delta }{\delta y_{k}}}\left(\sum _{i=1}^{3}\sigma _{ki}v_{i}\right)\right]dV=\int _{C}\left[\sum _{k=1}^{3}\left(\sum _{i=1}^{3}{\frac {\delta \sigma _{ki}}{\delta y_{k}}}v_{i}+{\frac {\delta v_{i}}{\delta y_{k}}}\sigma _{ki}\right)\right]dV$

Per cui:

$\int _{S}\left(\sum _{i=1}^{3}t_{ni}v_{i}\right)dS=\int _{C}\left(\sum _{i,k=1}^{3}{\frac {\delta \sigma _{ki}}{\delta y_{k}}}v_{i}\right)dV+\int _{C}\left(\sum _{i,k=1}^{3}{\frac {\delta v_{i}}{\delta y_{k}}}\sigma _{ki}\right)dV$

Tenendo conto che il sistema forze e tensioni è per ipotesi equilibrato, deve rispettare le equazioni di equilibrio. Una di queste è la seguente:

$Y_{k}=-\sum _{i=1}^{3}{\frac {\delta \sigma _{ik}}{\delta y_{i}}}$

Un'altra condizione di equilibrio impone l'uguaglianza alla frontiera tra la tensione e la forza agente:

$t_{n}i\;=\;p_{i}$

In definitiva:

$\int _{S}\left(\sum _{i=1}^{3}p_{i}v_{i}\right)dS+\int _{C}\left(\sum _{i,k=1}^{3}Y_{i}v_{i}\right)dV=\int _{C}\left(\sum _{i,k=1}^{3}{\frac {\delta v_{i}}{\delta y_{k}}}\sigma _{ki}\right)dV$

D'altra parte, dovendo essere sempre per equilibrio $\sigma _{ik}=\sigma _{ki}$, al secondo membro può scriversi:

$\int _{C}\left[\sum _{i,k=1}^{3}\left({\frac {\delta v_{i}}{\delta y_{k}}}+{\frac {\delta v_{k}}{\delta y_{i}}}\right)\sigma _{ki}\right]dV\to \int _{C}\left(\sum _{i,k=1}^{3}\epsilon _{ki}\sigma _{ki}\right)dV$

Per cui:

$\int _{S}\left(\sum _{i=1}^{3}p_{i}v_{i}\right)dS+\int _{C}\left(\sum _{i,k=1}^{3}Y_{i}v_{i}\right)dV=\int _{C}\left(\sum _{i,k=1}^{3}\epsilon _{ki}\sigma _{ki}\right)dV$

Quest'ultima è esattamente l'espressione del principio dei lavori virtuali. Infatti:

• $\int _{S}\left(\sum _{i=1}^{3}p_{i}v_{i}\right)dS+\int _{C}\left(\sum _{i,k=1}^{3}Y_{i}v_{i}\right)dV$ rappresenta il lavoro che le forze esterne (di superficie le prime e di volume le seconde) compiono sugli spostamenti $v_{i}$;
• $\int _{C}\left(\sum _{i,k=1}^{3}\epsilon _{ki}\sigma _{ki}\right)dV$ è il lavoro che le tensioni interne compiono sulle deformazioni $\epsilon _{ki}$.

Applicazione del principio dei lavori virtuali

Il principio dei lavori virtuali fornisce una correlazione fra tre circostanze distinte:

1. il sistema delle forze e delle tensioni è equilibrato;
2. il sistema degli spostamenti e delle deformazioni è congruente;
3. il lavoro prodotto dalle forze esterne è uguale al lavoro fornito dalle tensioni interne.

È importante precisare che tra queste affermazioni esiste una relazione di necessità, valida non solo nel senso esposto nella dimostrazione ma anche all'inverso. In pratica non solo è vero che se sono vere le prime due affermazioni è vera la terza, ma in generale se sono vere due delle affermazioni precedenti è necessariamente vera anche l'altra.

Quest'ultima affermazione è di estrema importanza all'atto della risoluzione di un problema: dato cioè un sistema di forze e tensioni equilibrato, se è valido il principio dei lavori virtuali con un sistema di spostamenti e deformazioni quest'ultimo è necessariamente congruente; viceversa dato un sistema di spostamenti e deformazioni congruente, l'uguaglianza dei lavori delle forze esterne e interne porta necessariamente a definire il sistema di forze e tensioni equilibrato. Il principio, dato un sistema di forze e tensioni (o spostamenti e deformazioni) che sia sicuramente equilibrato (o congruente), fornisce informazioni per ricercare l'unica soluzione che sia contestualmente equilibrata e congruente.