Il formalismo della meccanica quantistica

Spazio delle funzioni d'onda

Nelle lezioni precedenti si è puntualizzato il fatto che lo stato di una particella in meccanica quantistica è descritto da una funzione d'onda $\psi (\mathbf {r} ,t)$, e che il suo modulo al quadrato, $|\psi (\mathbf {r} ,t)|^{2}$, rappresenta la densità di probabilità di trovare la particella nell'elemento di volume $d^{3}r$ al tempo $t$. Da tale interpretazione probabilistica segue necessariamente che lo spazio delle funzioni d'onda dev'essere un sottoinsieme di $L^{2}$. Infatti, la probabilità di trovare la particella nello spazio dev'essere uguale a 1 e dunque deve risultare:

$\int |\psi (\mathbf {r} ,t)|^{2}d^{3}r=1$

intendendo come dominio di integrazione tutto lo spazio. Tale sottospazio di $L^{2}$ viene indicato con ${\mathfrak {F}}$ e costituisce uno spazio vettoriale.

Date due funzioni d'onda $\psi _{1}(\mathbf {r} )$ e $\psi _{2}(\mathbf {r} )$ di ${\mathfrak {F}}$ è definito il loro prodotto scalare:

$(\phi _{1},\phi _{2})=\int {\phi _{1}^{*}}(\mathbf {r} )\phi _{2}(\mathbf {r} )d^{3}r$

dove con ${\phi _{1}^{*}}$ si intende il complesso coniugato di ${\phi _{1}}$.

Tale prodotto scalare gode di alcune semplici proprietà. Innanzitutto:

$(\phi _{1},\phi _{2})=(\phi _{2},\phi _{1})^{*}$

Si può facilmente dimostrare che il prodotto scalare in ${\mathfrak {F}}$ è una forma sesquilineare, ovvero lineare rispetto al primo argomento e antilineare rispetto al secondo argomento. Il prodotto scalare in ${\mathfrak {F}}$ induce la norma:

${\sqrt {(\phi ,\phi )}}={\sqrt {\int |\psi ^{2}(\mathbf {r} )|d^{3}r}}$

che è evidentemente un numero reale, non negativo.

Due vettori di ${\mathfrak {F}}$ sono detti ortogonali se il loro prodotto scalare è nullo.

Notazione di Dirac e spazio di stato

Per semplificare la scrittura e generalizzare l'utilizzo dei vettori, si introduce la notazione di Dirac. Per tale motivo ad ogni particella viene associato un vettore di stato, il quale appartiene ad uno spazio astratto detto spazio di stato della particella e indicato con ${\mathcal {E}}_{r}$.

Gli elementi di ${\mathcal {E}}$, detto spazio del sistema, sono detti (vettori) ket e indicati con un simbolo distintivo racchiuso tra i seguenti segni grafici "$|\rangle$". Ad esempio, questo è un ket: $|\phi \rangle$.

Dunque quello che si fa è associare ad ogni ket una funzione d'onda al quadrato sommabile:

$|\phi \rangle \in {\mathcal {E}}_{r}\iff \phi (\mathbf {r} )\in {\mathfrak {F}}$

cosicché ${\mathfrak {F}}$ e ${\mathcal {E}}_{r}$ risultano essere due spazi isomorfi. Da questo consegue che il prodotto scalare tra due ket coincide esattamente col prodotto scalare delle rispettive funzioni d'onda associate.