Il filtro passa basso a più cellule

Per ottenere filtri passa basso con attenuazioni fuori banda aventi pendenze superiori a quelle ottenibili con filtri ad una cellula, si possono realizzare strutture con più cellule uguali tra loro.

La nuova configurazione

Un esempio di questa nuova configurazione a due cellule, derivata dalla struttura del passa basso descritta nella prima lezione di questa materia, è riportata in figura 1

figura 1

Il nuovo filtro è composto dalle due resistenze di terminazione $R1eR2$ di valore uguale , le induttanze $L1eL2$ uguali tra loro, i condensatori $C1eC2$ anch'essi di valore uguale tra loro ed infine il condensatore $C3$ di valore doppio rispetto a $C1.$

Le formule di calcolo dei componenti sono:

$C1=C2=1/(2\cdot \pi \cdot f1\cdot R)$

$L1=L2=R/(\pi \cdot f1)$

$C3=2\cdot C1$

dove

le capacità sono espresse in Farad

le induttanze espresse in Henry

le resistenze espresse in Ohm

Si deve osservare che in questa configurazione compaiono soltanto 5 componenti reattivi dato che, a seguito dell’unione tra due cellule, il condensatore $C3$ ne sostituisce due; il circuito è pertanto è da considerarsi, al fine dei calcoli, come se avesse 6 componenti reattivi.

La nuova struttura consente un’attenuazione fuori banda con una pendenza di $-36dB$ per ottava, con un taglio di $-6dB,$ rispetto alla banda passante, in corrispondenza della frequenza di taglio $f1.$

Sintetizzando:

Perdita d’inserzione nella zona passante $Att.=-6dB$

Attenuazione alla frequenza di taglio rispetto al livello della zona passante $Att.=-6dB$

Attenuazione totale alla frequenza di taglio $Att.=-6dB-6dB=-12dB$

Pendenza della curva d’attenuazione ben oltre il valore di $f1;Att.=-36dB/ottava$ (pari alla riduzione dell’ampiezza del segnale di $63$ volte ad ogni raddoppiamento della frequenza)

Esempio di progetto del filtro

Dati di progetto:

Sia da realizzare un filtro passa basso in grado di essere accoppiato ad un generatore di tensione avente una $Zu=10\mathrm{\Omega }$, si voglia una frequenza di taglio $f1=5000Hz$ ed una pendenza di -$36dB/ottava.$

Dimensionamento della resistenza d’ingresso:

Il dati di progetto prevedono una configurazione circuitale come quella di figura 1 per cui:

Il valore di $R1$ deve essere commisurato al valore di $Zu=10\mathrm{\Omega }$, quindi dovrà essere:

$R1>>Zu$

ovvero $R1>>10\mathrm{\Omega }$

per ottenere questa condizione è opportuno, se possibile , che $R1$ sia almeno $100$ volte il valore di $Zu$ quindi

$R1=1000\mathrm{\Omega }.$ con $R1=R2$

Calcolo di $L1;L2;C1;C2;C3:$

Dati $f1=5000HzeR1=R2=1000\mathrm{\Omega }$

il calcolo dei componenti reattivi si effettua con le formule:

 L1 = L2 = R / ( p * f1 ) = 1000 ohm / ( 3.14 * 5000 Hz) = 63.7 mH                                                         

 C1 = C2 = 1 / ( 2* p * f1 * R ) = 1 / ( 6.28 * 5000 Hz * 1000 ohm) = 31847 pF  
                                                                                                         
(con precisione dell’1.25 %)

Il valore di C3 sarà pertanto

C3 = 2 * C1 = 2 * 31847 pF = 63694 pF ( con precisione dell’1.25 %)

Tracciamento della curva di risposta

La curva di risposta universale di questo filtro ha un profilo diverso di quella tracciata per il passa basso ad una cellula ed è riportata in figura 2

figura 2

La curva di risposta ha in ascisse il rapporto $f/f1,$ ed in ordinate l’attenuazione del filtro ad intervalli di $4dB$ per divisione per un totale di $80dB.$

Per utilizzare la curva di figura 2 dobbiamo determinare il rapporto $f/f1$ per ciascuna frequenza per la quale desideriamo stabilire l’attenuazione prodotta dal filtro; se vogliamo ad esempio conoscere l’attenuazione del nostro filtro alla frequenza $f=15000Hz$ dobbiamo:

1) calcolare il rapporto:

$f/f1=15000Hz/5000Hz=3$

2) tracciare una perpendicolare dall'ascissa d’ampiezza $3$ e trovare il punto d’incontro con la curva.

3) tracciare una perpendicolare dal punto d’incontro all'asse delle ordinate sul quale si leggerà il valore d’attenuazione di circa $64dB.$

A questo proposito si deve osservare che tra i valori d’attenuazione teorici, rilevati con l’ausilio della curva di figura 2 , e valori misurati in laboratorio si potranno trovare differenze dell’ordine di circa $2dB$ a causa, sia dell’incertezza delle misure, sia per le perdite naturali che si hanno nelle due induttanze.

Osservazioni generali

Il progetto della doppia cellula passa basso si conclude con alcune osservazioni che ne chiariscono meglio il funzionamento:

Del filtro di cui abbiamo trattato s’è detto che nella zona d’attenuazione la pendenza è di –$36dB/ottava$ , questa caratteristica è controllabile soltanto per valori di frequenza lontani dalla frequenza di taglio $f1.$

Un’idea quantitativa di questo comportamento si ha immediatamente dall'esame della curva di risposta di figura 2; se consideriamo l’attenuazione al punto d’ascissa 1 con il punto d’ascissa 2 , corrispondenti rispettivamente a due frequenze l'una il doppio dell'altra, si vede che nel primo punto l’attenuazione è di $-12dB$ e nel secondo punto di $-42.4dB$ con un salto di $30.4dB$ contro i $36dB$ che sono la caratteristica teorica della doppia cellula.

Se ora esaminiamo altri due punti della curva più lontani da $f1,$ il punto di ascissa $1.8$ e il punto di ascissa $3.6,$ riscontriamo per il primo un’attenuazione di $-36.8dB$ e per il secondo un’attenuazione di circa $-72dB$ con un salto di $35.2dB$ che si avvicina sensibilmente al valore teorico della pendenza di $-36dB/ottava$ dichiarata per questo tipo di configurazione.

Per ottenere, nella zona d'attenuazione, pendenze più elevate dell'esempio precedente si possono formare, con lo stesso criterio già espresso, filtri a tre o più cellule; tenendo comunque presente che per ottenere pendenze elevate sono suggerite diverse configurazioni circuitali.