Il cubo e la sfera (scuola media)

Dal cubo alla sfera

Dalla terra al cielo. Il cubo è una delle forme che ci accompagna dall'inizio della storia, è la forma con la quale abbiamo deciso di misurare lo spazio (1799), che però tendiamo a rappresentare sempre con una sfera, la sfera celeste.
Quanti metri cubi sarà grande lo spazio contenuto nella sfera celeste? Dal 1799 il cubo diventa la misura del volume e dunque dello spazio.
Eppure anche nella misura dello spazio, del volume, della capacità, non ci siamo sempre serviti del cubo. Le prime misure di capacità erano forme date con un campione, in alcune città presso le case comunali medievali è ancora possibile ritrovare le pietre con i buchi corrispondenti alle unità di misura in uso, un esempio è lo staio. Ma avremmo mai potuto veramente riempire lo spazio con forme che non siano cubi? Forse una alternativa avrebbe potuto essere la pavimentazione esagonale che le api usano per minimizzare il consumo di cera, e massimizzare il contenuto di miele, nella costruzione degli alveari. Di certo non possiamo riempire tutto lo spazio con delle sfere che contate ci restituirebbero una misura. Non sembra proprio possibile il problema dell’impacchettamento più denso delle sfere, quello che ci serve per riempire con il massimo numero di arance una cassetta, ci dimostra che resta sempre comunque uno spazio tra una sfera l'altra. Questo problema geometrico è chiamato congettura di Keplero fa parte del 18° dei 23 problemi enunciati da Hilbert, del software perché sono al congresso di matematica di Parigi nel 1900, al fine di esortare i matematici del mondo a risolverli. La congettura di Keplero è stata dimostrata soltanto nel 1998 da Thomas Hales e i dettagli della dimostrazione sono stati pubblicati nel 2006.

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Una unità di misura dello spazio ancora in uso è ad esempio il litro. Nel 1861 l'Italia adottò il sistema metrico decimale.
Non avremmo mai potuto usare la sfera come campione per la misura del volume poiché accostandone due, quattro, otto lasciamo troppi spazi vuoti.^[1]

Il cubo (terrestre)

Preistoria

Cubi in pietra sono stati rinvenuti in diversi ritrovamenti archeologici con datazioni che vanno da 2 milioni di anni fa fino ad 11 mila anni fa. Difficile individuarne l'utilizzo. Nel Neolitico (11.500-3.000 anni fa) lo sviluppo dell'agricoltura portò alla creazione di manufatti in ceramica e pietra anche a forma di cubo utilizzati come pesi, strumenti per la tessitura o elementi decorativi. Un esempio è la Pietra di Bosut (Bosnia ed Erzegovina) risalente al Paleolitico superiore (circa 25.000 anni fa).

Cubismo d'azzardo

I dadi da gioco hanno origine antichissime ne sono stati trovati in Cina (2000 p.e.v.) ed in Egitto (600 p.e.v.). I romani li usanvano per i Saturnali.

Dadi da gioco
Periodo axumita, frammento di gioco con dadi, da matara, III-VIII secolo dc
Dice MET sf48-101-256a
Dadi da gioco in osso, 600-550 a ca., dalla tomba 170 della banditaccia-bufolareccia
Spielwürfel
Dice (typical role playing game dice)
Würfel, gemischt
Dice, game

Antico Egitto

Dall'Antico Regno (2686-2181 a.C.) in poi: I cubi erano utilizzati come base per statue, altari e altri oggetti rituali. La forma cubica era associata alla stabilità e all'ordine, simboli importanti nella cultura egizia. Medio Regno (2040-1640 a.C.): La piramide di Dahshur, costruita per il faraone Sneferu, presenta una forma anomala a causa di un cambiamento dell'angolo di inclinazione durante la sua costruzione. Alcune interpretazioni la vedono come un cubo imperfetto. Un esempio il Dado di Gerusalemme piccolo cubo di pietra calcarea con incisioni su tutte le facce (VII secolo a.C.).

Antica Grecia

V secolo a.C.: Il filosofo Platone utilizzò il cubo come simbolo del mondo intelligibile nella sua teoria delle Idee. IV secolo a.C.: Il cubo era un elemento fondamentale dell'architettura greca, utilizzato in templi, edifici pubblici e case. Il Partenone di Atene, ad esempio, è basato su un modulo cubico.

La geometria del cubo

Dato il lato si può di conseguenza costruire un cubo e calcolarne facilmente superficie esterna e volume:

$S_{T}=6\cdot l^{2}$

$V=l^{3}$

Il cubo sembrerebbe non poterci nascondere nulla, ma..

Il quadrato e la sua diagonale

Già in due dimensioni però l'ombra del cubo il quadrato aveva mostrato la sua irrazionalità. Il povero Pitagora nel 550 p.e.v. ci aveva fatto i conti ed il fatto che il rapporto tra la diagonale e il lato del quadrato fosse un numero con un numero infinito di decimale non periodico, cioè senza ripetizioni infinite, aveva messo in crisi la sua filosofia, o perlomeno così si dice.

${\sqrt {2}}\neq {\frac {m}{n}}\ \forall m,n\in \mathbb {N}$

Il doppio del cubo

Agli Ateniesi per far cessare la pestilenza, 430 p.e.v., l'oracolo di Delphi suggerisce di costruire un altare a forma di cubo che abbia un volume esattamente doppio rispetto al cubo che fa da altare dedicato ad Apollo sull'isola di Delo.

Volume doppio? Raddoppiamo il lato, purtoppo però

$\left(2l\right)^{2}=8l^{3}$

in questo modo il volume diventa 8 volte più grande e non va bene.

Quale deve essere dunque la misura del lato del cubo con volume doppio?

${\sqrt[{3}]{2l^{3}}}={\sqrt[{3}]{2}}\cdot l$

Questo rapporto, questo numero ${\sqrt[{3}]{2}}$ sfortunatamente è un numero irrazionale con una espansione decimale infinita non periodica, ma almeno è algebrico, possiamo usare i calcoli per approssimarlo quanto vogliamo.

$\pi$ ci renderà la vita più dura.

Epoca romana

I secolo d.C.: Il cubo era utilizzato come elemento decorativo in mosaici, affreschi e sculture. IV secolo d.C.: L'imperatore Costantino I fece costruire la Basilica di San Costantino a Roma, con una pianta a forma di cubo.

Medioevo e Rinascimento

Il cubo era utilizzato in vari contesti, dall'architettura militare (torri cubiche) a quella religiosa (campanili cubici). La prospettiva lineare, sviluppata nel Rinascimento, permise una rappresentazione più realistica del cubo in opere d'arte.

Età moderna e contemporanea

Il cubo diventa una forma fondamentale nell'arte moderna, con artisti come Piet Mondrian e Kazimir Malevich che lo utilizzarono come elemento centrale delle loro opere. Il cubo è utilizzato in diversi campi, dall'architettura (cubo di Rubik) al design (cubo di vetro). In definitiva, la ricerca del primo "cubo" nella storia è un viaggio affascinante che ci porta attraverso diverse culture e epoche. La scoperta di oggetti cubici in contesti archeologici e la loro evoluzione nel tempo ci aiutano a comprendere lo sviluppo del pensiero umano e la sua relazione con la forma geometrica del cubo.

La terra al centro di un universo cubico

Il cubismo

Disegnare girando intorno al soggetto da rappresentare ma a scatti...

Correnti artistiche inesistenti

Lo sferismo non è mai esistito, sarebbe stato difficile rendere in un disegno la continuità del movimento attorno ad un soggetto. Forse alcuni quadri del futurismo...

Il cubo:architettura e design

Cube-Design

Cubo design

Cubo-Architettura

Cubo in architettura

Vivere in un cubo

Case cubo
Cube_houses
Cube_houses
Cube houses
Inside cube house
Inside cube houses
Cube houses
Cube houses

Vivere su un cubo

Ammesso che la terra continuasse a girare come gira intorno al sole ma fosse a forma di cubo... Avremmo un polo nord che occupa tutta una faccia, e il polo sud di conseguenza, notte per metà anno, più marcata e grande freddo. Sulle facce laterali poi il clima sarebbe per tutti quello equatoriale. Avremmo coordinate molto semplici: sopra, in mezzo, sotto per la latitudine e a destra in mezzo a sinistra per la longitudine, certo che però poi per consegnare i pacchi si dovrebbe cercare la casa su tutta una faccia del cubo.

Il cubo film

Una trappola mortale fatta di una infinità di cubi tieni prigioniere alcune persone Wikipedia-Il cubo-Film

Ipercubo di dalì

L'ipercubo è il cubo nello spazio a 4 dimensioni. Il volume quadridimensionale occupato dall'ipercubo è limitato da cubi.

Il quadro raffigura una Crocifissione ed è conservato nel Metropolitan Museum of Art di New York. Il titolo della tela fa riferimento al fatto che la figura di Cristo non è inchiodata all'usuale croce, ma è magicamente sospesa nell'aria, accostata ad una struttura fatta da otto cubi che simulano la forma della croce, ma che in realtà esprimono la rappresentazione dello sviluppo, nello spazio tridimensionale, di un solido che si studia nella geometria della "quarta dimensione": il tesseratto, ossia un ipercubo quadridimensionale. alessandrocatania-zerog.com-Immagine di Corpus Hypercubus

La sfera nel cubo

Nel Pantehon a Roma ci sta una sfera.

La sfera rappresentazione dell'universo

Difficile capire quando ma pur vivendo su una terra percepita piatta l'uomo stava al centro della sfera, quale sfera? Quella delle stelle fisse, ma non erano fisse. Quella sulla quale girava il sole. Fortunatamente ad alcuni, greci obviusly, venne in mente il fatto che si percepiva una sfera proprio perché si viveva su una sfera in rotazione.

Difficile attestare con certezza quando per la prima volta nella storia dell'uomo la sfera è stata usata per rappresentare il cielo:

Antico Egitto:
Testi piramidali (2300-2100 a.C.): In questi testi funerari, il cielo è spesso raffigurato come una sfera solida, con la Terra al centro.
Antica Grecia:
Omero (VIII secolo a.C.): Nei poemi epici Iliade e Odissea, Omero descrive il cielo come una sfera solida che ruota attorno alla Terra.
Antica India:
Upanishad (800-500 a.C.): Questi testi sacri induisti descrivono l'universo come un'entità divina, con la Terra al centro. Il cielo è visto come una sfera che avvolge la Terra.
Antica Cina:
Zhuangzi (IV secolo a.C.): Questo testo taoista descrive il cielo e la Terra come due sfere che si muovono l'una attorno all'altra.
Epoca ellenistica:
Claudio Tolomeo (II secolo d.C.): Tolomeo sviluppò un modello geocentrico dell'universo, in cui la Terra era al centro di un sistema di sfere concentriche che trasportavano i pianeti e le stelle. Questo modello rimase dominante per oltre 1400 anni.

Interessante sapere che alcuni studiosi come Ipparco di Nicea, proposero un raggio della sfera stellare di alcune decine di migliaia di chilometri. Tolomeo ipotizzò distanze di milioni di chilometri.
La stella più vicina alla terra Proxima Centauri si trova a qualcosa in più di 4 anni luce che corrispondono a poco meno di 40 mila miliardi di chilometri.

Il cielo su un cubo

Come girerebbero le stelle intorno a noi di notte se vedessimo il cielo a forma di cubo? Fino ad una certa quota dovrebbero oltrepassare lo i quattro spigoli intorno a noi e quelle nella faccia superiore invece girerebbero su cerchi concentrici.

Vivere su una sfera

Vivere su una sfera ci permette di vedere sferico anche il cielo e di rendere continui i movimenti celesti.

Misurare la circonferenza della terra

Eratostene misurò la circonferenza della terra pensandola come una sfera con un metodo molto ingegnoso. Il metodo di Eratostene era piuttosto preciso, a noi è giunta la versione di Cleomede che lo semplifica mantenendo comunque l'errore nell'ordine dell'uno e mezzo per cento.

L'essere di Parmenide

L'essere di Parmenide, quello dell'"...essere è non può non essere.." è una sfera. ^[2]Perchè una sfera perchè è sempre unguale a se stessa da qualsiasi parte la si guardi. Se la terra non avesse mari e monti e fosse una semplice sfera liscia sospesa nel vuoto, noi che vivremmo sulla superficie avremmo qualche difficoltà a capire dove siamo. Le stelle soltanto potrebbero aiutarci.

Il volume della sfera

Calcolare il volume della sfera, un'altra sfida che si aggiunge ai tre problemi classici: raddoppiare il cubo, trisecare l'angolo e quadrare il cerchio. $\pi$ mantiene il suo ruolo passando dal cerchio alla sfera.

Archimede ed il metodo di Esaustione

Il metodo che Archimede usa per trovare il volume della sfera è quello di esaustione dovuto a Eudosso di Cnido, metodo che Archimede conosce bene e già aveva usato per la quadratura del cerchio.
Nel caso del cerchio il metodo consiste nell'approssimarlo con poliogni dei quali è possibili calcolare l'area, ai tempi di Archimede questo corrispondeva a trovare quadrati equivalenti. Similmente per la sfera si usavano solidi quadrabili.
Il risultato si otteneva con la dimostrazione per assurdo del fatto che la differenza tra l'area del cerchio tra la serie dei poligoni, sempre più prossimi, non poteva essere che nulla. Allo stesso modo si procedeva con la sfera.

Cavalieri e gli indivisibili, facciamola a fette!

Il Principio di Cavalieri afferma che se affetto contemporaneamente in fette sottilissime due solidi e le fette sono tutte equivalenti, come se facendo panini e affettando salumi diversi ottenessi ad ogni colpo fette dello stesso peso. Se le fette, le sezioni su un piano, gli indivisibili, sono sempre di area equivalente, allora i due solidi hanno volumi uguali.

Semisfera e solido con sezioni della stessa area

Il rapporto tra il diametro e la circonferenza

Il rapporto tra il diametro e la circonferenza è π , un numero irrazionale, talmente irrazionale da essere trascendente, cioè non può essere la soluzione algebrica di una equazione a coefficienti interi. (Ferdinand von Lindemann, 1882)

Il rapporto tra il raggio e il volume della sfera

Se si conosce il raggio di una sfera si può calcolarne il volume con al formula $V={\frac {4}{3}}\pi r^{3}$ . sorprendentemente $\pi$ , quello stesso numero che indica il rapporto tra diametro e circonferenza mantiene il suo ruolo anche nel calcolo del volume della sfera. Ed anche nel calcolo della superficie $S=4\pi r^{2}$ .

L'irrazionalità del cubo e della sfera

Il cubo e la sfera sono accomunati dall'irrazionalità dei rapporti tra le grandezze. I numeri irrazionali, incommensurabili: la diagonale del quadrato ed il lato ${\sqrt {2}}$ , la diagonale del cubo e lo spigolo ${\sqrt[{3}]{2}}$ , la circonferenza ed il diametro $\pi$ e persino tra il volume ed il raggio della sfera fa la sua comparsa $\pi$ . L'rrazionalità accomuna sfera e cubo, ma l'irrazionalità della sfera è un po' più irrazionale essendo $\pi$ un numero trascendente, non calcolabile, o per meglio dire approssimabile, con soli metodi algebrici, cioè con semplici calcoli.

Cubo e sfera topologia

Il cubo e la sfera sono la stessa cosa topologicamente parlando.
Qualsiasi linea tracciata sulla loro superficie può essere contratta in un punto in modo continuo. Se devo sollevare un corpo pesante a forma di cubo o sfera devo fare molta attenzione a come lo assicuro al gancio, qualsiasi anello di corda si può contrarre in un punto, può scivolare via e far cadere il peso.

Se invece il corpo ha un buco, come una ciambella, un salvagente, o, ancor più semplicemente, ha un manico robusto, posso assicurare le mie funi facendole passare dal buco e queste non possono contrarsi in un punto e scivolare via.
Le forme si distinguono topologicamente in base al numero dei buchi. Il cubo e la sfera non hanno buchi, fori, e sono dunque , topologicamente, la stessa figura.

Nell'immagine una mucca si trasforma topoligamente, con continuità senza strappi in una sfera.

...anche la mucca e la sfera sono topologicamente la stessa cosa.

Ipersfera congettura di Poincarè

Da Wikipedia: L'enunciato della congettura è il seguente: Ogni 3-varietà semplicemente connessa chiusa (ossia compatta e senza bordi) è omeomorfa a una sfera tridimensionale. In altri termini la congettura dice che la 3-sfera è l'unica varietà tridimensionale "senza buchi", ossia è l'unica varietà di dimensione 3 dove qualsiasi cammino chiuso può essere contratto fino a diventare un punto. Dimostrata da Grigorij Jakovlevič Perel'man nel 2002

Note

Bibliografia

Morris Kline, Storia del pensiero matematico, Torino, Einaudi, 1991.
George W. Hart, The Cube: A Cultural History.
Jeffrey Weeks, The Shape of Space.
Michael J. Crowe, Mathematics and the Arts.

Collegamenti esterni

[1] Matematicamente - Quesito Invalsi

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