Funzioni di autocorrelazione di segnali in bande di frequenze rettangolari

Sui segnali analogici

Le caratteristiche dei segnali

Nella maggioranza dei casi pratici, in qualsivoglia applicazione tecnica, i segnali di ingresso al correlatore sono generalmente distribuiti in ben determinate bande di frequenza.

In alcuni casi particolari, illustrati nella lezione precedente, la distribuzione spettrale nell'ambito della banda è vincolata dalla curva di risposta di un circuito risonante che determina la selettività del sistema in esame.

Nella generalità dei casi, invece, la distribuzione spettrale nell'ambito della banda è il più delle volte di tipo rettangolare o ragionevolmente assimilabile ad essa.

La presente lezione si propone quindi di fornire al tecnico gli strumenti per operare in un' ampia casistica di situazioni relative alla distribuzione spettrale dei segnali del tipo rettangolare od a esso assimilabile.

Nel prosieguo si parlerà di generiche grandezze funzioni del tempo, e le si considereranno come segnali del tipo $f(t)$ definiti in una determinata banda di frequenze; queste grandezze si potranno visualizzare, se saranno sotto forma di tensioni elettriche, sullo schermo di un oscilloscopio.

Sull'aspetto dei segnali f(t)

L'aspetto dei segnali $f(t)$, visualizzati in figura 1, è detto comunemente "ad andamento casuale"; mostra che l'ampiezza è variabile nel tempo disordinatamente e che la polarità istantanea e distribuita a caso tanto nel campo dei valori positivi che in quello dei valori negativi.

figura 1

Le tensioni ad andamento casuale saranno chiamate, nel prosieguo del testo, "SEGNALI DI RUMORE", ciò per uniformarsi alla terminologia corrente impiegata nei sistemi per l'elaborazione dei segnali.

Lo stesso andamento mostrato in figura 1 è comune anche alle tensioni relative al disturbo che in alcuni casi inquina i segnali da correlare.

Definizione delle formule per il calcolo delle funzioni analogiche di autocorrelazione

Come già accennato in precedenza le formule che saranno ora definite presuppongono che la banda dei segnali d'ingresso al correlatore abbia uno spettro di tipo rettangolare.

Funzione di autocorrelazione di un segnale di rumore compreso nella banda F1  ; F2

La funzione di autocorrelazione normalizzata di un segnale ad andamento casuale, contenuto entro la banda di frequenze compresa tra $Fl\ e\ F2$ é:

$C(\tau )=\left[{\frac {\sin \ (2\cdot \pi \cdot DF\cdot \tau )\cdot \cos \ (2\cdot \pi \cdot Fo\cdot \tau )}{(2\cdot \pi \cdot DF\cdot \tau )}}\right]\ \ \$ 1)

dove $DF=(F2-F1)/2\ e\ Fo=(F2+F1)/2$

L'andamento della $C(\tau )$ nell'ipotesi di $F1=7000\ Hz\ e\ F2=10000\ Hz$ con

$DF=(10000\ Hz{-}7000\ Hz)/2=1500\ Hz\ e\ Fo=(10000\ Hz+7000\ Hz)/2=8500\ Hz$

è riportato nel grafico di figura 2:

figura 2

La curva mostra che la $C(\tau )$ è formata da un'onda a periodo relativamente elevato modulata da un'onda a periodo più basso; la prima dovuta al termine $\cos \ (2\cdot \pi \cdot Fo\cdot \tau )$

la seconda dovuta al termine $\sin \ (2\cdot \pi \cdot DF\cdot \tau )/(2\cdot \pi \cdot DF\cdot \tau )$

Osservazioni

E' utile, per il lavoro futuro, fare alcune osservazioni in merito ad alcune caratteristiche distintive della curva di figura 1.

• Dal tracciato si possono misurare i valori di $\tau$ in cui si azzera la $C(\tau )$ che definiscono i passaggi per l'asse delle ascisse della funzione del tempo che mostra l'oscillazione a frequenza maggiore; il primo zero si evidenzia per $\tau =29.4\ \mu s$, il secondo a $\tau =88.2\ \mu s$, e cosi via secondo la legge del coseno, la cui espressione è parte della 1).

Si hanno infatti gli zeri della 1) per tutti i valori di $\tau$ che soddisfano alla relazione: $\cos \ (2\cdot \pi \cdot Fo\cdot \tau )=0$, cioè per $2\cdot \pi \cdot Fo\cdot \tau =n\cdot \pi /2$ , dove $n$ è un intero dispari; caratteristico è il primo zero che si trova per $n=1\ \ \$ a $\tau =1/(4\cdot Fo)=1/(4\cdot 8500)=29.4\ \mu s$ come abbiamo rilevato nel grafico.

• Sempre nel tracciato si possono rilevare i valori in cui si azzera la $C(\tau )$ che costituiscono la parte caratteristica del termine "modulante" della 1): $\sin \ (2\cdot \pi \cdot DF\cdot \tau )=0$ cioè per $(2\cdot \pi \cdot DF\cdot \tau )=n\cdot \pi$ dove $n$ è un intero; caratteristico è il primo zero che si trova per $n=1$ $\tau =1/(2\cdot DF)=1/3000=333.333\mu s$

===Funzione di autocorrelazione di un segnale di rumore compreso nella banda 0  ; F1 La funzione di autocorrelazione normalizzata di un segnale ad andamento casuale, contenuto entro la banda di frequenze compresa tra $0\ \ e\ F1$ é:

$C(\tau )=\left[{\frac {\sin \ (2\cdot \pi \cdot F1\cdot \tau ))}{(2\cdot \pi \cdot F1\cdot \tau )}}\right]\ \ \$ 2)

L'andamento della $C(\tau )$ nell'ipotesi di $F1=2500\ Hz$ è riportato nel grafico di figura 2:

figura 3

Il profilo della curva e il classico della funzione:

$Y=\left({\frac {\sin \ x}{x}}\right)$.

Osservazioni

Anche in questo caso si dimostrerà utile mettere in evidenza la caratteristica distintiva della $C(\tau )$ che consente con facilità di definire una relazione tra il primo zero della $C(\tau )$ e il limite superiore $F1$ della banda del segnale.

Come si vede dal grafico di figura 3 il primo zero della $C(\tau )$ si ha per $\tau =200\ \mu s$ ; si hanno infatti gli zeri della 2) per tutti i valori di $\tau$ che soddisfano la relazione:

$\sin \ (2\cdot \pi \cdot F1\cdot \tau )=0$ cioè per

$(2\cdot \pi \cdot F1\cdot \tau )=n\cdot \pi$

dove $n$ e un intero; il primo zero si ha infatti per $n=1$

$\tau =1/(2\cdot F1)=1/(2\cdot 2500\ Hz)=200\ \mu s$

Bibliografia

• Cesare Del Turco, La correlazione , Collana scientifica ed. Moderna La Spezia,1993