Esercitazione n°1: classificazione cinematica di travi vincolate

esercitazione Esercitazione n°1: classificazione cinematica di travi vincolate
	Tipo: esercitazione
	Materia: Scienza delle costruzioni

In questa prima esercitazione impareremo come classificare le travi semplici dal punto di vista cinematico, ovvero vedremo come stabilire se una trave vincolata è -ipo, -iso oppure iper-statica. Il metodo da seguire per poter svolgere questo tipo di classificazione è il seguente:

disegno della struttura (in scala!)
conteggio dei gradi di vincolo e di libertà
individuazione dei centri di assoluta rotazione (propri ed impropri)
valutazione e classificazione

Esercizi svolti

Esercizio n°1

Determinare le caratteristiche cinematiche della trave rappresentata in figura:

Come si può notare stiamo analizzando una trave semplice, per la quale sappiamo che $GdL=3$ . Se andiamo adesso a conteggiare il numero di gradi di vincolo, nei suoi estremi sono applicati due carrelli (che sono dei vincoli semplici). Ne consegue che $GdV=2\cdot 1=2$ . La struttura presenta quindi un numero di gradi di vincolo inferiore al numero di gradi di libertà, ed è quindi ipostatica. Vediamo quale tipo di cinematismo può nascere in questo tipo di collegamento; per far ciò dobbiamo andare ad individuare dove i vincoli impongono che si trovino i centri di assoluta rotazione e vedere se tali imposizioni hanno un punto in comune, che se esiste è il centro di rotazione assoluto della trave.

Come si può notare i due vincoli impongono entrambi che il centro di rotazione assoluto appartenga alla retta verticale passante per il vincolo stesso. Le due rette parallele si incontrano all'infinito, per cui il centro di rotazione assoluto esiste anche se è un punto improprio, la struttura è quindi labile (è facile comprendere che tale struttura, se sollecitata mediante una forza orizzontale, traslerà orizzontalmente).

Esercizio n°2

Determinare le caratteristiche cinematiche della trave rappresentata in figura:

Analogamente al caso precedente la struttura è ipostatica; in questo caso però le rette passanti per i due carrelli (che indicano il luogo dei punti che possono ipoteticamente rappresentare il centro di rotazione assoluto) si intersecano in un punto proprio, indicato in figura con la lettera $\Omega$ .

In casi come questo è possibile effettuare la seguente sostituzione cinematica, ovvero eliminare i due carrelli (ma lo stesso ragionamento può essere effettuato con le bielle) e sostituirle con una cerniera posizionata esattamente nel punto di intersezione delle rette individuate dai due carrelli.

Con questa sostituzione risulta evidente che la struttura è ipostatica e che il suo atto di moto sarà di tipo rotatorio attorno alla cerniera.

Esercizio n°3

Determinare le caratteristiche cinematiche della trave rappresentata in figura:

Siamo ancora nel caso di una trave unica, quindi sappiamo che il numero di gradi di libertà è pari a tre. Se andiamo adesso a conteggiare il numero di gradi di vincolo possiamo facilmente intuire che $GdV=3\cdot 1=3$ e la struttura è quindi geometricamente determinata, ossia è isostatica. Dobbiamo adesso procedere con l'analisi e valutare se i vincoli sono ben disposti o se la struttura è labile. Tracciamo le rette normali ai piani di scorrimento dei tre carrelli, per le quali sappiamo che ogni carrello impone che il centro di rotazione assoluto vi appartenga:

Si può notare che le rette relative al secondo e al terzo carrello hanno un punto in comune: possiamo procedere quindi in modo analogo all'esercizio precedente e giungere quindi alla situazione:

Si può notare che la struttura trasformata è isostatica, in quanto la retta relativa al rimanente carrello non passa per la cerniera, la quale identifica univocamente l'ipotetico centro di assoluta rotazione. Ne consegue che il centro di rotazione assoluto non esiste e, quindi, si evince la non labilità della struttura.

Esercizio n°4

Determinare le caratteristiche cinematiche della trave rappresentata in figura:

Anche in questo caso siamo in presenza di una struttura isostatica, in quanto è verificata la condizione relativa all'uguaglianza del numero di gradi di vincolo e di libertà. Se andiamo però a rappresentare dove i vincoli impongono che si trovi l'ipotetico centro di rotazione assoluto, si può notare che la cerniera impone che il centro sia esattamente nel punto in cui questo vincolo è posto, mentre il carrello che appartenga alla normale al suo piano di scorrimento. Il centro di assoluta rotazione, in questo caso, esiste ed è rappresentato dal punto in cui è posizionata la cerniera, dal momento che soddisfa entrambe le condizioni. Ne consegue che la struttura è labile.

I movimenti possibili sono la traslazione verticale del carrello (siamo sotto l'ipotesi di piccoli spostamenti, quindi le traslazioni sono infinitesime rispetto alle dimensioni della trave).

Esercizio n°5

Determinare le caratteristiche cinematiche della trave rappresentata in figura:

Struttura isostatica, vincoli ben disposti in quanto le due rette sulle quali si deve trovare il centro di assoluta rotazione non hanno nessun punto in comune.

Esercizio n°6

Determinare le caratteristiche cinematiche della trave rappresentata in figura:

Questa struttura risulta essere iperstatica, in quanto il numero di gradi di vincolo è quattro (due relativi alla cerniera, due al pattino) mentre i gradi di libertà sono solo tre: in tal caso si dice che la struttura è una volta iperstatica. Abbiamo quindi un vincolo sovrabbondante, ma dobbiamo comunque verificarne la cinematica.

Come si può osservare i due vincoli impongono che sia definito il centro di assoluta rotazione: il pattino impone che esso debba essere il punto improprio nella direzione normale al suo piano di scorrimento, la cerniera che sia il punto in cui essa è posizionata. Dal momento che queste due imposizioni non sono possibili contestualmente, non esiste centro di rotazione assoluto, la struttura è quindi non labile.

Esercizio n°7

Determinare le caratteristiche cinematiche della trave rappresentata in figura:

Analogamente al caso precedente la struttura risulta essere una volta iperstatica. Analizziamola dal punto di vista cinematico individuando dove i vincoli esterni impongono che si trovi il centro di rotazione assoluto:

In tal caso si nota che le due rette hanno due punti in comune, posizionati all'infinito ed appartenenti alla retta orizzontale rappresentata in figura. La struttura è labile.