Elementi di teoria dei gruppi

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James Roy Newman propone la seguente definizione della teoria dei gruppi:

È una branca della matematica nella quale si fa qualche cosa a qualche cosa e si confrontano i risultati ottenuti con quelli che si ottengono facendo la stessa cosa a qualcos'altro e con quelli che si ottengono facendo un'altra cosa alla stessa cosa.

Sia dato un insieme di elementi G ed una regola di composizione degli elementi. Se gli elementi sono numeri la regola di composizione può essere l'operazione di addizione oppure l'operazione di moltiplicazione. La composizione di due elementi viene generalmente indicata come moltiplicazione o prodotto, anche se spesso non ha nulla a che vedere con l'operazione di moltiplicazione di numeri: se A e B sono due elementi dell'insieme la loro composizione (prodotto) si indica A·B ovvero AB.

Tale insieme di elementi G forma gruppo rispetto alla regola di composizione data se:

1. il prodotto di due qualsiasi elementi dell'insieme è un elemento dell'insieme;
2. esiste nell'insieme l'elemento unità E, tale che EA = AE = A, dove A è un generico elemento dell'insieme;
3. per ogni elemento A dell'insieme esiste l'elemento inverso A⁻¹, tale che AA⁻¹ = A⁻¹A = E;
4. vale la proprietà associativa: (AB)C = A(BC).

Non vale generalmente la proprietà commutativa, cioè, in generale, AB è diverso da BA. Se vale la proprietà commutativa il gruppo si dice commutativo o abeliano.

Ad esempio: i numeri interi (positivi, negativi e nulli) formano gruppo rispetto all'operazione di addizione (0 è l'elemento unità); i numeri razionali formano gruppo rispetto all'operazione di moltiplicazione (1 è l'elemento unità).

Ordine di un gruppo è il numero di elementi che esso contiene.

Un esempio per noi particolarmente interessante è quello delle operazioni di simmetria di un oggetto qualsiasi: data qualsiasi configurazione spaziale S, quelle trasformazioni che lasciano S immutata (in situazione non distinguibile da quella iniziale) si chiamano operazioni di simmetria e formano gruppo; moltiplicare due operazioni del gruppo significa applicare successivamente e ordinatamente le due trasformazioni. Le trasformazioni che lasciano immutata la configurazione rappresentata in Fig. 6 sono le quattro rotazioni di 0°, 90°, 180° e 270° attorno ad O, nonché le quattro riflessioni in m₁, m₂, m₃ ed m₄.

Fig. 6 — Esempi di operazioni di simmetria

Le otto operazioni formano gruppo e si può verificare che non vale, per tale gruppo, la proprietà commutativa. Infatti, ad esempio: R_90° m₁ è diverso da m₁ R_90°, dove R_90° indica la rotazione di 90° in senso orario attorno a O, m₁ indica la riflessione nella linea m₁. L'operazione composta R_90°m₁ si esegue applicando prima la riflessione in m₁, indi la rotazione di R_90° attorno ad O; utilizzeremo anche nel seguito questa convenzione per la composizione delle operazioni.

5.1 Sottogruppi

Si definisce sottogruppo di un gruppo dato ogni suo sottoinsieme che formi esso stesso gruppo. Per esempio, il gruppo di simmetria discusso precedentemente ha tra i suoi sottogruppi:

E, R_90°, R_180°, R_270°

E, R_180°

E, R_180°, m₁, m₃

Ogni sottogruppo deve ovviamente contenere l'elemento unità E. E stesso ed il gruppo originale sono due (banali) sottogruppi.

Dato un gruppo di ordine n, si dice sottogruppo dimezzante un suo sottogruppo di ordine n/2.