Dipartimento:Scienze matematiche, fisiche e naturali/Matematica/Topologia/Presentazione

Il termine topologia deriva dal greco e significa letteralmente studio dei luoghi.Si caratterizza come lo studio di enti principalmente geometrici invarianti per deformazioni continue.

Sebbene i concetti di base e le loro formulazioni precise siano in generale molto astratti, la topologia si presta molto bene ad integrarsi e ad interagire con i principali rami della matematica quali l'analisi, la geometria e l'algebra. In effetti il primo impulso alla creazione di questa ''nuova materia'' nasce principalmente dallo studio degli spazi metrici nel campo dell'analisi, e successivamente nella geometria con la necessità di un linguaggio adeguato a sviluppare la geometria delle varietà e la ricerca di una classificazione delle superifici.

Il primo risultato che si può considerare totalmente topologico è la risoluzione di Eulero al problema dei sette ponti di Königsberg, in cui un problema di tipo geometrico combinatorio venne trattato indipendentempente dalla sua intrinseca descrizione.

I sette ponti di Königsberg

Come branca matematica strutturata nasce all'inizio del ventesimo secolo con i lavori di Felix Hausdorff, Jules-Henri Poincaré e Maurice Fréchet e conosce una fortissima crescita sviluppandosi e specializzandosi in vari rami: oltre la topologia generale vanno sicuramente ricordati la topologia algebrica e la topologia geometrica.

Nell'organizzazione delle lezioni divideremo idealmente in parti il notevole corpus della materia, seguendo il seguente schema:

• Topologia Generale

Si tratteranno le generalizzazzioni dei concetti topologici comuni principalmente all'analisi e alla geometria in un contesto del tutto generale: Topologie e spazi topologici, Aperti e chiusi, Misure, Continuità, Assiomi di separazione, Compattezza, Connessione.

• Topologia Algebrica

Si svilupperanno i concetti algebrici per lo studio di spazi topologici particolari con particolare enfasi sull'omologia e l'omotopia.

• Gruppi Topologici

Si studieranno le trasposizioni dei concetti topologici al caso dei gruppi.