Dinamica dei sistemi rigidi

Teoria dei momenti d'inerzia

Consideriamo un punto materiale P ed una retta a. Dicesi momento d'inerzia del punto materiale P rispetto alla retta a:

$i=m\cdot {\delta }^{2}$

essendo $\delta$ la distanza di P da a ed m la sua massa.

Nel caso di un sistema di n masse:

$I=\sum _{r=1}^{n}m_{r}\cdot {\delta _{r}}^{2}$

$I=\iiint {\rho \cdot \delta ^{2}dv}$

essendo dv l'elementino del volume.

Si chiama raggio d'inerzia:

$\sigma ={\sqrt {\frac {I}{M}}}$

Essendo:

$M=\sum _{i=1}^{n}{m_{i}}$

o, nel caso di un sistema continuo:

$M=\iint {\rho dv}$

La ricerca del momento d'inerzia di un sistema S rispetto ad un asse generico dello spazio può in ogni caso effettuarsi direttamente in base alla definizione. Questa ricerca è spesso molto agevolata dalle due proposizioni seguenti.

-Teorema di Huygens

Se I è il momrento d'inerzia do S rispettp ad a, $I_{0}$ il momento d'inerzia S rispetto ad $a_{0}$, retta parallela ad a passante per il baricentro G, e se infine d è la distanza fra queste due rette:

$I=I_{0}+M\cdot {d^{2}}$

Energia cinetica di un corpo rigido

L'energia cinetica di un corpo rigido a simmetria assiale in rotazione attorno all'asse di simmetria con velocità angolare $\omega$ e che trasla nello spazio con velocità $v$ è:

$E_{k}={\frac {1}{2}}Mv^{2}+{\frac {1}{2}}I\omega ^{2}$

dove $M$ è la massa totale del corpo ed $I$ il momento d'inerzia rispetto all'asse di rotazione.

Equazione della dinamica dei corpi rigidi

Per quanto riguarda la parte dinamica del moto di un corpo rigido, sappiamo che un sistema continuo è soggetto alle Equazioni cardinali dei sistemi

${\begin{cases}{\vec {F}}^{ext}=m{\dfrac {d{\vec {v}}_{c}}{dt}}={\dfrac {d{\vec {p}}_{c}}{dt}}\\{\vec {M}}^{ext}={\dfrac {d{\vec {L}}}{dt}}\end{cases}}$

dove si introduce il concetto del centro di massa a cui si riferiscono le grandezze associate. A partire da queste equazioni si determina perfettamente la dinamica del corpo rigido. Un corpo rigido è isolato se

${\begin{cases}{\vec {F}}^{ext}=m{\dfrac {d{\vec {v}}_{c}}{dt}}={\dfrac {d{\vec {p}}_{c}}{dt}}=0\\{\vec {M}}^{ext}={\dfrac {d{\vec {L}}}{dt}}=0\end{cases}}$

e queste equazioni introducono la Legge di conservazione del momento angolare e fanno parte di una branca della meccanica classica detta statica.

Teorema della derivata della quantità di moto

L'equazione della quantità di moto si scrive dicendo:

${d{\vec {Q}} \over dt}={\vec {R_{e}}}$

essendo:

${\vec {Q}}=\sum _{i}m_{i}{\vec {v_{i}}}={\vec {v_{G}}}\sum _{i}m_{i}$

Ora consideriamo un sistema rigido e prendiamo una terna solidale al corpo come terna di riferimento. Questa terna durante il moto rigido traslerà e ruotera per cui l'equazione:

${d{\vec {Q}} \over dt}={\vec {R_{}e}}$

essendo riferita ad assi fissi dovrà essere opportuanmente cambiata.

La velocità del baricentro, se $x_{G},y_{G},z_{G}$ ne sono le coordinate, è data da:

${\vec {v_{G}}}={\vec {v_{o}}}+{\vec {\Omega }}\wedge {\vec {}}OG$

per cui la quantità di moto totale del sistema è data da:

${\vec {Q}}={\vec {v_{G}}}\int _{V}dm=\int _{V}({\vec {v_{o}}}+{\vec {\Omega }}\wedge {\vec {OG}})dm$

Ora se la terna di riferimento è una terna centrale ${\vec {OG}}=0$ per cui:

${\vec {Q}}={\vec {v_{G}}}\int _{V}dm=\int _{V}{\vec {v_{o}}}dm$

Se 'u', 'v', 'w' sono le componenti di ${\vec {v_{G}}}$ sui tre assi mobili avremo:

${\vec {Q}}=M(u{\vec {i}}+v{\vec {j}}+w{\vec {k}})$.

Eseguendo il derivato di ${\vec {Q}}$ rispetto al tempo e considerando che gli assi di riferimento sono mobili:

${d{\vec {Q}} \over dt}=M({du \over dt}{\vec {i}}+{dv \over dt}{\vec {j}}+{dw \over dt}{\vec {k}}+u{d{\vec {i}} \over dt}+v{d{\vec {j}} \over dt}+w{d{\vec {k}} \over dt})$

Da cui derivano le tre equazioni scalari che rappresentano l'equazioni della quantità di moto sui tre assi mobili solidali al corpo $\ x,\ y,\ x$:

$M({du \over dt}+qw-rv)=R_{x}$

$M({dv \over dt}+ru-pw)=R_{y}$

$M({dw \over dt}+pv-qu)=R_{z}$

Teorema della derivata del momento della quantità di moto

La seconda equazione cardinale della dinamica è data da:

${d{\vec {K}} \over dt}={\vec {M_{e}}}$

sempre che il punto di riduzione dei momenti sia un punto fisso o il baricentro.

Nel caso di un corpo rigido assumiamo senz'altro che la terna solidale col corpo abbia origine nel baricentro (Terna Centrale). In questo caso $x_{G},\ y_{G},\ z_{G}$ sono nulli.

Allora la velocità di un punto 'P' del sistema è data:

${\vec {v}}={\vec {v_{G}}}+{\vec {\Omega }}\wedge {\vec {PG}}$

a cui compete una quantità di moto elementare:

$d{\vec {Q}}=dm({\vec {v_{G}}}+{\vec {\Omega }}\wedge {\vec {PG}})$

ed un momento della quantità di moto elementare rispetto al baricentro:

$d{\vec {K}}={\vec {PG}}\wedge \ dm({\vec {v_{G}}}+{\vec {\Omega }}\wedge {\vec {PG}}).$

Il momento della quantità di moto totale è dato ovviamente da:

${\vec {K}}=\int _{V}{\vec {PG}}\wedge {\vec {v_{G}}}dm+\int _{V}{\vec {PG}}\wedge ({\vec {\Omega }}\wedge {\vec {PG}})dm.$

Il termine $\int _{V}{\vec {PG}}\wedge {\vec {v_{G}}}dm$ è zero in quanto la quantità di moto totale è un vettore che passa per il baricentro, per cui:

${\vec {K}}=\int _{V}{\vec {PG}}\wedge (\Omega \wedge {\vec {PG}})dm.$

Se $\ x,\ y,\ z$ sono le coordinate di $\ P$ e $\ p,\ q,\ r$ le componenti di ${\vec {\Omega }}$:

${\vec {\Omega }}\wedge {\vec {PG}}={\begin{vmatrix}{\vec {i}}&{\vec {j}}&{\vec {k}}\\p&q&r\\x&y&z\end{vmatrix}}=(qz-zy){\vec {i}}+(rx-pz){\vec {j}}+(py-qx){\vec {k}}$

ed ancora:

${\vec {PG}}\wedge ({\vec {\Omega }}\wedge {\vec {PG}}={\begin{vmatrix}{\vec {i}}&{\vec {j}}&{\vec {k}}\\x&y&z\\(qz-ry)&(rx-pz)&(py-qz)\end{vmatrix}}=$

$[y(py-qx)-z(rx-pz)]{\vec {i}}+[z(qz-ry)-x(py-qx)]{\vec {j}}+[x(rx-pz)-y(qz-ry)]{\vec {k}}.$

Per cui possiamo scrivere che:

$K_{x}=p\int _{V}\rho \ (x^{2}+z^{2})dv-r\int _{V}xz\rho \ dv-q\int _{V}xy\rho \ dv$

$K_{y}=q\int _{V}\rho \ (z^{2}+x^{2})dv-r\int _{V}yz\rho \ dv-p\int _{V}xy\rho \ dv$

$K_{z}=r\int _{V}\rho \ (x^{2}+y^{2})dv-p\int _{V}xz\rho \ dv-q\int _{V}zy\rho \ dv$

Ora se la terna di riferimento è una terna principale di inerzia tutti gli integrali del tipo $\int _{V}xz\ dm$ sono nulli quindi il momento della quantità di moto rispetto agli assi mobili è dato da:

${\vec {K}}=Ap{\vec {i}}+Bq{\vec {j}}+Cr{\vec {k}}$

Applicando ora l'equazione del momento della quantità di moto e tenendo conto che gli assi sono mobili otteniamo:

${d{\vec {K}} \over dt}=A{\dot {p}}{\vec {i}}+B{\dot {q}}{\vec {j}}+C{\dot {r}}{\vec {k}}+\Omega \wedge (Ap{\vec {i}}+Bq{\vec {j}}+Cr{\vec {k}})={\vec {M_{e}}}$

E quindi le tre equazioni scalari:

$A{dp \over dt}+(C-B)rq={\vec {M_{x}}}$

$B{dq \over dt}+(A-C)pr={\vec {M_{y}}}$

$C{dr \over dt}+(B-A)pq={\vec {M_{z}}}$

Concludendo possiamo dire che un motorigido rimane individuato dalla conoscenza dei suoi sei parametri $\ u,v,w,p,q,$ che corrispondono a sei gradi di libertà del corpo. Per cui note le cause esterne che producono il moto ${\vec {R_{e}}}$ e ${\vec {M_{e}}}$ che potranno essere in generale funzioni di $\ u,v,w,p,q,r$ e delle coordinate, è possibile attraverso l'integrazione delle equazioni differenziali scritte e con le opportune condizioni ai limitiindividuare completamente il mptp rigido.