Dimensionamento degli induttori

Area d'applicazione degli induttori

Gli induttori o induttanze sono impiegati per la costruzione di:

• elementi di filtro nei sistemi di alimentazione.
• componenti primari dei filtri passa basso, passa alto, passa banda.
• trasformatori di segnali o di rete.
• sistemi di ritardo analogici.
• circuiti risonanti.
• circuiti elettronici in generale

Dimensionamento degli induttori (induttanze)

Avendo come obiettivo la costruzione del singolo componente, dobbiamo determinare il valore di $L$ dal quale poi calcolare ed assemblare il componente finito; quindi essendo $Xl=(2\cdot \pi \cdot f\cdot L)$, possiamo scrivere:

$L=Xl/(2\cdot \pi \cdot f)$

Un esempio di calcolo dell’ induttanza $L$ è proposto di seguito:

Sia la frequenza di lavoro $f=38000\ Hz$

e la reattanza richiesta $Xl=1169\ ohm$

si ha: $L=1169\ ohm/(6.28\cdot 38000\ Hz)=0.0049\ H$

l’induttanza può essere espressa anche in millesimi di Henry ( mH ) quindi: $L=4.9\ mH.$

Con il dato dell’induttanza che abbiamo calcolato procediamo ora al dimensionamento fisico del componente mediante la scelta del nucleo nel manuale d’uso del costruttore .

Supponiamo di voler utilizzare un nucleo in ferrite tipo RM7 (LA4247) della Mullard sulla base del modello indicato in figura 1:

figura 1

Il costruttore indica, per il nucleo prescelto, il coefficiente $\alpha =75.38$ relativo al numero di spire per $mH$.

Il numero $N$ delle spire di filo di rame smaltato da avvolgere sul rocchetto è dato da:

$N=\alpha \cdot {\sqrt {L}}$ dove $\alpha$ è il coefficiente sopra menzionato espresso in numero di spire per $mH$ e $L$ è l’induttanza espressa in $mH$

Nel nostro esempio il valore calcolato di $L=4.9\ mH$ quindi

$N=75.38\cdot {\sqrt {4.9}}=167$ spire.

Il diametro del filo è determinabile dai grafici del costruttore che indica, per circa $167$ spire, un diametro di $0.3\ mm$.

Il nucleo preso a modello, come si evince da figura 1, è dotato di mina di regolazione per una taratura finale e precisa del valore voluto di $L$.

Le case costruttrici di nuclei offrono, per la ralizzazione di induttori a bassa precisione ed elevati valori di induttanza, muclei privi di mina con le precise dimensioni di quelli con mina ma con valori di $\alpha$ molto inferiori.

Valutazione del coefficiente di merito dell'induttore d'esempio

Come indicato nelle precedenti lezioni è importante la determinazione de coefficiente di merito indicato con la lettera $Q$ calcolabile con la formula:

$Q=Rp/Xl$

dove con Rp è indicata la resistenza parallela convenzionale dipendente, sia dalle perdite nel nucleo, sia dalle perdite dell’avvolgimento.

Il valore del $Q$ può essere valutato anche con l'espressione:

$Q=Xl/Rs$

quando le perdite dell'induttore sono concentrate in una resistenza serie secondo la figura 2

figura 2

Con $Rs$ è indicata la resistenza serie convenzionale dipendente, sia dalle perdite nel nucleo, sia dalle perdite dell’avvolgimento.

Le perdite nel nucleo alla frequenza del nostro esempio di $38000\ Hz$ sono irrilevanti dato che il costruttore indica per tale frequenza un $Q>400$, non resta altro che valutare le perdite nell'avvolgimento delle $N=167$ spire.

La resistenza serie $Rs$ dell'avvolgimento si ottiene valutando il diametro del filo, l'ampiezza della spira media e il numero di spire: nel nostro caso risulta $Rs\approx 1\ Ohm$.

L'incidenza di $Rs\approx 1\ Ohm$ è trascurabile rispetto a $Xl=1169\ Ohm$ quindi il $Q$ dell'induttore è determinato soltanto da quanto dettato dal costruttore per il nucleo.

Controllo dei parametri di saturazione e precisione

I parametri di saturazione del nucleo che devono essere considerati per l’utilizzo dell’induttore ora dimensionato; sono:

• l’induzione massima ammissibile $B$

• la corrente continua applicabile $Idc$

Eccedere sul valore dell’induzione $B$ significa portare il nucleo a lavorare in saturazione.

Eccedere sul valore di $Idc$ significa alterare il valore dell’induttanza calcolata.

Entrambi i valori sono indicati dal costruttore:

• per il nucleo preso in esame il valore di $B$ non deve superare $3000\ Gauss$

• per il valore di $Idc$ è riportata una curva dalla quale si determina la percentuale di variazione di $L$in funzione della corrente continua fatta circolare nell’induttanza.

Un esempio chiarirà quanto detto:

Controllo dell’induzione

L’induzione, espressa in Gauss, si controlla mediante l’applicazione della formula:

$B=(Vca\cdot 108)/(S\cdot 4.44\cdot f\cdot N)$

dove:

• $Vca$ è la tensione efficace applicata all'induttore
• $f$ è la frequenza della tensione Vca
• $N$ è il numero di spire dell’induttanza
• $S$ è la superficie, in cm2, del nucleo attraversata dal flusso magnetico (questo valore o è fornito dal costruttore o è facile rilevarlo dalle dimensioni del nucleo)

Si supponga di voler applicare all’induttanza, ora progettata, una tensione $Vca=50Veff.$ alla frequenza già menzionata $f=38000\ Hz$, essendo $N=167$ e $S=0.4cmq$ , si ha

$B=(50\cdot 108)/(0.4\cdot 4.44\cdot 38000\cdot 167)=443$ Gauss

risultando $B<3000$ l’induttanza lavora correttamente lontano dalla saturazione

Controllo delle variazioni di $L$ a seguito della corrente continua applicata

L’influenza del passaggio di corrente continua nell’induttanza si controlla mediante la formula:

$k=Idc\cdot {\sqrt {L}}$

dove:

$k$ è una variabile da impostare come ascissa di un diagramma fornito dal costruttore

$Idc$ è la corrente circolante nell’induttanza espressa in $mA$

$L$ e il valore dell’induttanza espresso in $mH$

Si supponga ora che nell’induttanza si debba fare scorrere, oltre che la corrente alternata, anche una corrente continua $Idc=100\ mA$ e che, per il passaggio di questa, si accetti una variazione di $L$ dell’ordine del $2\%$ ; il valore di $k$ sarà:

$k=100\cdot {\sqrt {4.9}}=221$

Se con questo valore andiamo a consultare il diagramma di figura 3, fornito dal costruttore, otteniamo, in corrispondenza dell’ascissa $k=221$ , un’ordinata di $0.99$ che indica una variazione di circa l’ $1\%$ dell’induttanza $L$ rispetto alla stessa non percorsa da corrente continua.

figura 3

Essendo questa variazione inferiore a quella tollerata possiamo accettarla.

Per chiudere questa lezione è necessario ricordare che sul mercato sono numerose le case costruttrici dei nuclei in ferrite e altrettanto numerosi sono i tipi di nuclei che ciascun costruttore mette a disposizione del progettista.

Questi componenti sono disponibili in due forme con diverse sezioni ciascuna:

-Nuclei a forma di pseudo rombo, dai più piccoli, che presentano un ingombro esterno di base di circa $12\ \times \ 12\ mm$ ( nuclei tipo RM5), ai più grandi che hanno un ingombro di base di circa $35\times \ 35\ mm$ (nuclei tipo RM14).

-Nuclei a forma circolare, dai più piccoli, che presentano un diametro di circa $7\ mm$ , ai più grandi che hanno un diametro di circa $36\ mm$ .

Scelta del nucleo in base alla tensione applicata

Se il nucleo prescelto, come nel caso d'esempio, ha un $B<3000$ nessun problema si pone.

Il più delle volte invece, in base alle esigenze del progettista, il valore del $B$ eccede i dati di catalogo per il nucleo prescelto in prima istanza, in tal caso è necessario impiegare un nucleo di dimensioni maggiori affinché con l'incremento di $S$, nell'espressione:

$B=(Vca\cdot 108)/(S\cdot 4.44\cdot f\cdot N)$

sia soddisfatto il valore di $B$ nei valori di catalogo del nuovo nucleo.

Nota sulle caratteristiche dei nuclei

I nuclei vengono costruiti, sia con traferro, con mine di regolazione per la messa a punto del valore dell’induttanza, sia senza traferro.

I nuclei senza traferro hanno, a parità di dimensione con gli altri, dei valori di $\alpha$ inferiori.

Nella vasta produzione di questi componenti il progettista può scegliere tra la notevole gamma delle seguenti caratteristiche quelle più adatte al proprio scopo:

• dimensioni esterne
• con mina di regolazione
• senza mina di regolazione
• valore di $\alpha$
• valore di $B$
• valore del $Q$ realizzabile

ed innumerevoli altre illustrate nei cataloghi specializzati forniti dalle case costruttrici.