Diagrammi delle caratteristiche della sollecitazione

Una volta che si sono definite tutte le forze agenti sulla struttura, e quindi sia le azioni che le reazioni vincolari, è possibile procedere a definire le caratteristiche della sollecitazione per ogni sezione della stessa.

Convenzione sui segni

Prima di passare ad analizzare le modalità con cui si calcolano le caratteristiche della sollecitazione nelle varie sezioni della trave, è opportuno riportare le convenzioni sui segni delle caratteristiche della sollecitazione stesse.

Considerando le caratteristiche delle sollecitazioni come azioni che la struttura oppone all'elemento considerato, sono considerate positive quando:

• lo sforzo normale è di trazione;
• il taglio tende a far ruotare l'elemento in senso orario, o ugualmente tende a far abbassare la faccia di destra dell'elemento rispetto a quella di sinistra (o meglio, la faccia nella parte positiva dell'asse $z$ rispetto a quella nella parte negativa);
• il momento flettente tende le fibre inferiori e comprime quelle superiori.

La trave singola isostatica

Si consideri, ad esempio, la medesima trave isostatica studiata nella lezione precedente

Si considerino, inoltre, i risultati a cui si era giunti per mezzo dell'analisi statica

${\begin{cases}H_{A}=0\\V_{A}={\frac {P}{2}}\\V_{B}={\frac {P}{2}}\end{cases}}$

Le caratteristiche della sollecitazione rappresentano le azioni che le parti di struttura a destra e a sinistra della generica sezione presa in analisi si scambiano attraverso la sezione stessa.

In pratica, si supponga di tagliare idealmente la struttura in una sezione generica; per effetto di questo taglio la struttura non sarà più in equilibrio, e per ristabilire quest'ultimo sarà necessario in generale applicare nella sezione tagliata due forze (una normale e una tangenziale) e un momento flettente. Queste tre azioni che è necessario fornire alla struttura per mantenerla in equilibrio in seguito al taglio sono esattamente le caratteristiche della sollecitazione. Tornando alla struttura non tagliata è evidente che queste azioni sono comunque presenti, dal momento che ogni parte della struttura deve essere in equilibrio, ma invece di essere fornite dall'esterno queste azioni sono azioni mutue che le due parti di struttura divise dalla sezione si scambiano.

In definitiva, per l'equilibrio, le caratteristiche della sollecitazione devono essere complessivamente uguali alle azioni esterne agenti sulla porzione di trave considerata, isolata dal resto in corrispondenza della sezione in analisi. Si fa osservare che considerare l'una o l'altra porzione di trave è del tutto indifferente, dal momento che sempre per equilibrio complessivamente esse forniscono azioni uguali ed opposte, a patto di considerare la convenzione sui segni delle caratteristiche della sollecitazione (che, come si può osservare, ha segni opposti nelle due facce dell'elemento considerato). Apparirà chiaro nel seguito che la scelta di considerare l'una o l'altra porzione deriva esclusivamente da considerazioni relative alla convenienza nel calcolo.

Calcolo delle caratteristiche della sollecitazione

Ritornando al caso pratico in analisi, si consideri come sistema di riferimento quello avente l'origine in corrispondenza della cerniera a sinistra.

Si consideri ora la generica sezione a sinistra del carico. Considerando la porzione di trave a sinistra esiste un'unica forza agente, mentre nella porzione a destra della sezione ce ne sono due; appare chiaro che conviene considerare la porzione a sinistra, dal momento che presuppone di tenere conto di una sola forza esterna.

• Con riferimento allo sforzo normale non sono necessarie particolari analisi, dal momento che esso è nullo per ogni sezione

$N\;=\;0$

• Il taglio è pari alla somma delle forze taglianti agenti nella porzione di trave considerata; dal momento che la reazione $V_{A}$ è parallela alla direzione positiva del taglio a sinistra, si avrà:

$V\;=\;V_{A}\;=\;{\frac {P}{2}}$

si fa notare che anche considerando l'altra porzione di trave si sarebbe giunti al medesimo risultato; considerando, infatti, la convenzione delle forze a destra, si avrebbe avuto $T=P-V_{B}=P-{\frac {P}{2}}={\frac {P}{2}}$.

• Il momento flettente è la somma dei momenti flettenti agenti sulla porzione di trave considerata; in questo caso la reazione $V_{A}$ genera nella sezione un momento flettente che agisce esattamente nella direzione definita positiva nella convenzione dei segni citata; detta $z$ la coordinata della generica sezione considerata, si avrà:

$M\;=\;V_{A}z={\frac {P}{2}}z$

anche in questo caso al medesimo risultato si sarebbe potuti giungere considerando invece la porzione di trave a destra; considerando la differente convenzione sui segni nella parte destra si avrebbe avuto $M=-P(l/2-z)+V_{B}(l-z)=-Pl/2+Pz+P/2\,l-P/2\,z=P/2z$

Considerando invece una sezione a destra del carico, la situazione cambia rispetto all'analisi finora compiuta, dal momento che è necessario considerare il fatto che la forza $P$ non si trova più nella porzione a destra ma in quella di sinistra. Si rende necessario, dunque, fare un'analisi a parte per questa parte di struttura, dal momento che le equazioni trovate per la porzione a sinistra del carico non sono più valide. Una situazione di questo tipo accade ogniqualvolta sia presente nella struttura un'azione concentrata, sia essa una forza o un momento.

• Lo sforzo normale non è ancora un problema, dal momento che si mantiene ancora nullo;

$N\;=\;0$

• Il taglio, considerando la porzione a destra della sezione e la relativa convenzione sui segni, sarà:

$V\;=\;-V_{B}=-{\frac {P}{2}}$

considerando la porzione a sinistra si avrebbe avuto $T=V_{A}-P=P/2-P=-P/2$

• il momento flettente, considerando ancora per comodità la porzione a destra e che la distanza della generica sezione dal vincolo estremo è $(l-z)$:

$M\;=\;V_{B}(l-z)={\frac {P}{2}}(l-z)$

per la porzione a sinistra si avrebbe avuto $M=V_{A}z-P(z-l/2)=P/2\,z-Pz+Pl/2=P/2\,(l-z)$

Riunendo tutti i risultati ottenuti:

${\begin{cases}N=0\\V={\frac {P}{2}}\\M={\frac {P}{2}}z\end{cases}}perz\leq {\frac {l}{2}}$

${\begin{cases}N=0\\V=-{\frac {P}{2}}\\M={\frac {P}{2}}(l-z)\end{cases}}perz\geq {\frac {l}{2}}$

I risultati ottenuti possono essere sintetizzati in una serie di diagrammi, uno per ognuna delle caratteristiche della sollecitazione:

Si fa notare una convenzione adottata nel disegnare le caratteristiche della sollecitazione: il taglio e lo sforzo normale (anche se quest'ultimo non appare nell'esempio) vengono disegnati in modo che la parte superiore del grafico riporti le quantità positive, mentre il grafico del momento flettente segue la convenzione inversa. Si è soliti, infatti, riportare il grafico del momento flettente in corrispondenza delle fibre che quest'ultimo tende, che sono quelle inferiori per momento flettente positivo e quelle superiori con momento flettente negativo.

I sistemi di travi isostatici

Si consideri ancora per semplicità di trattazione il sistema di travi isostatico studiato in precedenza:

La scelta ha una motivazione meramente utilitaristica, dal momento che è possibile sfruttare i risultati dell'analisi statica svolta in precedenza:

${\begin{cases}H_{A}=H_{B}=0\\V_{A}={\frac {3P}{2}}\\V_{B}=V_{C}={\frac {P}{2}}\\M_{A}=Pl\end{cases}}$

Si consideri il sistema di riferimento tale da avere l'origine in corrispondenza dell'incastro.

Nel tratto compreso tra l'incastro e la prima forza applicata (e quindi per $0\leq z\leq l/2$) conviene analizzare le caratteristiche della sollecitazione valutando le azioni a sinistra, e cioè $H_{A},\;V_{A},\;M_{A}$:

${\begin{cases}N=H_{A}=0\\V=V_{A}={\frac {3P}{2}}\\M=-M_{A}+V_{A}z=-Pl+{\frac {3Pz}{2}}\end{cases}}per0\leq z\leq l/2$

Solo per questa volta, si dimostra ancora una volta che il risultato sarebbe identico considerando invece le azioni a destra:

${\begin{cases}N=0\\V=P+P-V_{C}=2P-{\frac {P}{2}}={\frac {3P}{2}}\\M=-P(l/2-z)-P(3l/2-z)+V_{C}(2l-z)=-2Pl+2Pz+{\frac {P}{2}}(2l-z)=-2Pl+2Pz+Pl-{\frac {Pz}{2}}=-Pl+{\frac {3Pz}{2}}\end{cases}}$

Nel tratto compreso tra la prima forza esterna e la cerniera interna si ha:

${\begin{cases}N=H_{A}=0\\V=V_{A}-P={\frac {3P}{2}}-P={\frac {P}{2}}\\M=-M_{A}+V_{A}z-P(z-l/2)=-Pl+{\frac {3Pz}{2}}+{\frac {Pl}{2}}-Pz={\frac {Pz}{2}}-{\frac {Pl}{2}}\end{cases}}perl/2\leq z\leq l$

Tra la cerniera e la seconda forza applicata, considerando ancora le azioni a sinistra, si ottiene:

${\begin{cases}N=H_{A}=0\\V=V_{A}-P={\frac {3P}{2}}-P={\frac {P}{2}}\\M=-M_{A}+V_{A}z-P(z-l/2)=-Pl+{\frac {3Pz}{2}}-Pz+{\frac {Pl}{2}}={\frac {Pz}{2}}-{\frac {Pl}{2}}\end{cases}}perl\leq z\leq 3l/2$

Per l'ultimo tratto, infine, conviene considerare le azioni a destra:

${\begin{cases}N=0\\V=-V_{C}=-{\frac {P}{2}}\\M=V_{C}(z-2l)={\frac {P}{2}}(z-2l)={\frac {Pz}{2}}-Pl\end{cases}}per3l/2\leq z\leq 2l$

Nota:
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