Considerazioni sull'instabilità per carico di punta

A questo punto, al fine di liberare il campo da ogni possibile dubbio, si ritiene opportuno trattare la causa per cui una configurazione equilibrata può modificarsi al punto da instabilizzare l'asta. In pratica, dopo le trattazioni precedenti può restare il dubbio del motivo per cui con un carico maggiore del carico critico la configurazione rettilinea, che in ogni caso si ricorda essere equilibrata, "non va più bene" e venga soppiantata da un'altra configurazione stabile. La trattazione che segue, in pratica, chiarisce dal punto di vista matematico l'indicazione fornita di cosa sia l'instabilità, e cioè quella condizione in cui ad una variazione infinitesima qualsiasi della sua configurazione non corrisponde il ristabilimento della configurazione originaria.

Il problema viene trattato in senso strettamente matematico, e viene risolto per mezzo del criterio statico per non ingigantire le difficoltà analitiche e per dare la possibilità di comprendere fino in fondo la trattazione svolta: nel seguito, infatti, si noterà che con questo metodo sono sufficienti le conoscenze relative alla linea elastica per comprendere fino in fondo il senso dei risultati.

Nota:
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Per semplicità si considererà il caso di asta vincolata agli estremi con una cerniera e un carrello e caricata, oltre che dalla forza di compressione $F$, anche con un carico concentrato $Q$, che sempre per semplicità considereremo applicato nella mezzeria dell'asta stessa. La trattazione, tuttavia, sarebbe la stessa per un'altra generica condizione di vincoli e di carichi. Le equazioni differenziali che reggono il problema sono quelle indicate nella lezione precedente, che si riportano per comodità:

$EJ{\frac {d^{2}v_{x}}{dz^{2}}}=-M$

$EJ{\frac {d^{3}v_{x}}{dz^{3}}}+F{\frac {dv_{x}}{dz}}=-T$

$EJ{\frac {d^{4}v_{x}}{dz^{4}}}+F{\frac {d^{2}v_{x}}{dz^{2}}}=q(x)$

Per la particolare condizione di simmetria del sistema, è possibile valutare il momento flettente con riferimento ad una sola metà dell'asta, dal momento che il suo valore sarà identico anche nell'altra metà:

$M={\frac {Q}{2}}z-Pv_{x}$

Sostituendo questo valore nell'equazione differenziale precedente si ottiene:

$EJ{\frac {d^{2}v_{x}}{dz^{2}}}={\frac {Q}{2}}z-Fv_{x}$

Introducendo come in precedenza il parametro $a^{2}={\frac {F}{EJ}}$ si ottiene:

${\frac {d^{2}v_{x}}{dz^{2}}}+a^{2}v_{x}=-{\frac {Q}{2EJ}}z$

La soluzione di questa equazione è la seguente:

$v_{x}=A\cos az+B\operatorname {sen} az-{\frac {Q}{2F}}z$

Le condizioni al contorno impongono che sia:

${\begin{cases}v_{x}(z=0)=A=0\\{\frac {dv_{x}}{dz}}_{z=l/2}=-aA\operatorname {sen} az+aB\cos az-{\frac {Q}{2F}}=0\end{cases}}$

Da ciò si deduce:

${\begin{cases}A=0\\B={\frac {Q}{2Fa\cos {\frac {al}{2}}}}\end{cases}}$

$v_{x}={\frac {Q}{2Fa\cos {\frac {al}{2}}}}\operatorname {sen} az-{\frac {Q}{2F}}z$

In particolare nella mezzeria dell'asta si ottiene:

$(v_{x})_{z=l/2}={\frac {Q}{2Fa}}{\frac {\operatorname {sen} {\frac {al}{2}}}{\cos {\frac {al}{2}}}}-{\frac {Q}{2F}}{\frac {l}{2}}={\frac {Q}{2Fa}}\left(\tan {\frac {al}{2}}-{\frac {al}{2}}\right)$

Indicando per semplicità di scrittura $u={\frac {al}{2}}={\frac {l}{2}}{\sqrt {\frac {F}{EJ}}}$ e ricordando che $a^{2}={\frac {F}{EJ}}$, si ottiene:

$(v_{x})_{z=l/2}={\frac {Q}{2F}}(\tan u-u){\sqrt {\frac {EJ}{F}}}\to$

$(v_{x})_{z=l/2}={\frac {Ql^{3}}{48EJ}}(\tan u-u){\frac {24}{l^{3}}}{\sqrt {\frac {(EJ)^{3}}{F^{3}}}}\to$

$(v_{x})_{z=l/2}={\frac {Ql^{3}}{48EJ}}{\frac {24(\tan u-u)}{u^{3}}}\to$

$(v_{x})_{z=l/2}={\frac {Ql^{3}}{48EJ}}\mathrm {X} (u)$

Si può notare che il primo fattore rappresenta la parte dovuta all'azione del carico ortogonale, dal momento che il suo valore è esattamente pari all'abbassamento che si instaura se ad agire è solo il carico $Q$. Per valori piccoli di $F$, infatti, $\mathrm {X} (u)$ tende all'unità.

Al contrario esiste un valore per cui $\mathrm {X} (u)\to \infty$, e in particolare $\tan u\to \infty$, cioè $u=\pi /2$. Si può osservare, dunque, che sostituendo questa posizione nella definizione di $u$ si ottiene esattamente il carico critico precedentemente trovato:

${\frac {\pi }{2}}={\frac {l}{2}}{\sqrt {\frac {F}{EJ}}}\to F_{crit}={\frac {\pi ^{2}EJ}{l^{2}}}$

In corrispondenza di questo valore, come si può osservare nelle equazioni precedenti, un valore anche infinitesimo di $Q$ genera un abbassamento infinito in mezzeria. Cioè, in corrispondenza del carico critico, una qualsiasi causa esterna per quanto piccola può causare una variazione considerevole della configurazione dell'asta. In realtà, anche in corrispondenza del carico critico, il valore dell'abbassamento non raggiunge un valore infinito, ma l'aver utilizzato il criterio statico non permette di studiare il comportamento post-critico dell'asta. In ogni caso si è definita la soglia di stabilità dell'elemento. Si potrebbe a questo punto pensare che l'asta resta rettilinea finché un'altra forza agisce perpendicolarmente al suo asse: tale supposizione, teoricamente possibile, nella pratica corrisponde ad una situazione irrealizzabile; in ogni caso, infatti, un elemento strutturale è soggetto a forze e carichi inattesi, sia perché esso non si trova in una campana di vetro, sia perché per quanto fatto con cura presenterà sempre delle imperfezioni, e il fatto che siano sufficienti dei carichi infinitesimi fa sì che a partire dal carico critico la configurazione rettilinea sia impossibile nella realtà.

Nota:
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Si vuole poi porre l'attenzione sul fatto che il momento di inerzia $J$ citato in tutta la trattazione dell'instabilità per carico di punta è il minimo tra quelli che caratterizzano la sezione. L'instabilità per carico di punta, infatti, può manifestarsi in teoria in ogni piano contenente l'asse della trave, ma quello a cui è associato il momento di inerzia minore presenta contestualmente anche il valore minimo del carico critico, dal momento che quest'ultimo è direttamente proporzionale ad esso.