Classificazione dei quadrilateri (scuola media)
In geometria il quadrilateroVK è un poligono con quattro latiVK, e quindi quattro verticiVK e quattro angoliVK, e due diagonaliVK. Il quadrilatero è il poligono con il minor numero di lati nel quale si possono tracciare diagonaliVK.
Video per chi non ama leggere: i quadrilateri Schooltoon, Definizione e proprietà dei quadrilateri - Geometria - Secondaria di Primo Grado, su YouTube, 19 ott 2020.
I quadrilateriVK possono essere suddivisi a secondo delle relazioni tra i latiVK, tra gli angoliVK e per le caratteristiche delle loro diagonaliVK.
Elementi nel quadrilatero
[modifica]Gli elementi di un quadrilatero sono:
- i vertici (sono punti)
- i lati (sono segmenti)
- gli angoli interni , nella figura è evidenziato il solo angolo interno
- gli angoli esterni che sono formati dal prolungamento di un lato e dal lato consecutivo, in figura è evidenziato solo l'angolo formato dal prolungamento del lato con il lato
- le diagonali
Nel quadrilatero:
- i lati e sono consecutivi
- i lati e sono adiacenti all'angolo
- i lati e sono opposti
- gli angoli e sono adiacenti al lato
- gli angoli e sono opposti
- i vertici e sono consecutivi
- le diagonali sono segmenti che uniscono vertici non consecutivi
osservando la figura si estendono queste definizioni a tutti gli altri elementi.
Esercizi per imparare gli elementi del quadrilatero
[modifica]Facendo riferimento alla figura rispondi alle domande
Quadrilateri convessi
[modifica]Somma angoli interni
[modifica]La somma degli angoli interni di un quadrilatero convesso si può facilmente dedurre dal fatto che una diagonale lo taglia a metà dividendolo in due triangoli cosa che permette di calcolare la somma degli angoli interni come doppio rispetto a quella di un triangolo:
cosa che corrisponde anche all'applicazione della formula generale
e così il quadrilatero regolare, il quadrato, avrà gli angoli interni che misurano
Numero delle diagonali
[modifica]Anche il numero delle diagonali in un quadrilatero è facilmente ricavabile dall'osservazione, ed anche in questo caso l'osservazione viene confermata dalla teoria. Anche per calcolare il numero delle diagonali si può applicare la formula
che per un quadrilatero diventa
Quadrilateri inscritti
[modifica]Un poligono si può inscrivere in una circonferenza se tutti gli assi dei suoi lati si incontrano in un punto. Per i quadrilateri è possibile individuare un'altra condizione.[1]
Tutti i triangoli con base un lato e vertici il circocentro sono isosceli, infatti i lati obliqui sono dei raggi della circonferenza. Gli angoli alla base di questi triangoli sono uguali e sommando gli angoli consecutivi si ottiene che gli angoli opposti del quadrilatero sono supplementari.
Quadrilateri circoscritti
[modifica]Con una proprietà analoga dovuta alle tangenti che corrispondono ai lati otteniamo che in un quadrilatero circoscritto sono uguali le somme dei lati opposti.
Classificazione
[modifica]Possiamo procedere in due modi nella classificazione dei quadrilateri partendo dalla semplice caratteristica generica di avere 4 lati e aggiungendo man mano le proprietà che definiscono i diversi sottoinsiemi oppure partendo dal quadrilatero regolare il quadrato e levando mano a mano le proprietà che lo caratterizzano.
Dal quadrato ai quadrilateri
[modifica]Il quadrato
[modifica]Il quadratoVK è probabilmente il poligono che viene studiato per primo nella carriera scolastica di uno studente. Il quaderno a quadretti favorisce il disegno di questo particolare quadrilatero.
Il quadrato ha molte proprietà:
- ha quattro lati uguali
- ha quattro angoli uguali
il quadrato è un poligono regolare per queste due prime proprietà
- ha due diagonali uguali e perpendicolari che si tagliano a metà
queste proprietà delle diagonali si possono usare per disegnare quadrati di grandi dimensioni
- è circoscrivibile e inscrittibile in una circonferenza
infatti il quadrato ha angoli opposti supplementari e sono uguali le somme di lati opposti
Esercizi per imparare le proprietà del quadrato
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Il rettangolo
[modifica]Anche il rettangolo si disegna facilmente su un quaderno a quadretti
Le proprietà del rettangolo sono:
- ha quattro angoli uguali
ma non avendo i lati uguali il rettangolo non è un poligono regolareVK
- ha due diagonali uguali che si tagliano a metà
queste proprietà delle diagonali si possono usare per disegnare rettangoli di grandi dimensioni
- è inscrittibile in una circonferenza
ovviamente gli angoli opposti sono supplementari, infatti sono due retti, si può anche osservare che i vertici del rettangolo sono equidistanti dal punto di incontro delle diagonali,
- non è circoscrivibile ad una circonferenza
infatti non sono uguali le somme dei lati opposti
Esercizi per imparare le proprietà del rettangolo
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Il rombo
[modifica]Le proprietà del rombo sono:
- ha quattro lati uguali
ma non avendo gli angoli uguali il rombo non è un poligono regolareVK
- ha due diagonali perpendicolari che si tagliano a metà
queste proprietà delle diagonali si possono usare per disegnare rombi di grandi dimensioni
- è circoscrivibile ad una circonferenza
le quattro bisettrici degli angoli si incontrano nel centro del rombo e sono uguali le somme dei lati opposti
- non è inscrittibile in una circonferenza
infatti gli angoli opposti non sono supplementari
Esercizi per imparare le proprietà del rombo
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Il parallelogramma (romboide)
[modifica]Il parallelogrammaVK, anche detto romboide deve il suo nome al fatto di avere i lati opposti paralleli.
Le proprietà del parallelogramma quindi sono:
- lati opposti paralleli
- lati opposti uguali
- angoli opposti uguali
- angoli adiacenti allo stesso lato supplementari
- diagonali che si tagliano a metà, ma non sono uguali
Esercizi per imparare le proprietà del parallelogramma
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Il trapezio
[modifica]Il trapezioVK è il quadrilatero che aggiunge alla proprietà di avere quattro lati quella di avere due di essi paralleli.
Grazie a questa proprietà si possono così distinguere gli elementi del trapezio:
- la base maggiore, il lato maggiore dei due lati paralleli
- la base minore, ovviamente, il lato più corto dei due lati paralleli
- i lati obliqui
- la distanza tra le due basi parallele è l'altezza del trapezio
Le proprietà del trapezioVK sono:
- due lati paralleli
- angoli adiacenti ai lati obliqui supplementari
questa seconda proprietà è una conseguenza della prima per le proprietà delle rette parallele tagliate da una trasversale,
I trapezi si possono classificare in tre diversi tipi:
- scaleni
- isosceli
- rettangoli
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Il trapezioVK scaleno ha lati obliqui diversi e di conseguenza quattro angoli diversi.
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Il trapezioVK isoscele ha i lati obliqui uguali e di conseguenza angoli adiacenti alla base maggiore uguali tra loro così come i due angoli adiacenti alla base minore.
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Il trapezioVK rettangolo ha due angoli retti poichè ha uno dei due lati obliqui perpendicolare alle basi.
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Il trapezioVK ottusangolo ha un angolo ottuso
Trapezio e circonferenza
[modifica]Il trapezio isoscele è sempre inscrittibile in una circonferenza infatti gli angoli opposti sono supplementari. Non lo sono il trapezio rettangolo e quello scaleno, gli angoli opposti non sono sicuramente supplementari, se lo fossero si ricadrebbe nel caso del trapezio isoscele e del rettangolo.
Tutti e tre i diversi tipi di trapezio possono però soddisfare la condizione per essere circoscritti, in alcuni casi quindi il trapezio isoscele è sia inscritto che circoscritto, circocentro e incentro non coincidono però a meno di non considerare il caso limite del quadrato.
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Trapezio Circoscritto
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Trapezio Rettangolo Circoscritto
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Trapezio Isoscele Inscritto
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Trapezio Isoscele Inscritto Circoscritto
Esercizi per imparare le proprietà del trapezio
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Dai quadrilateri al quadrato
[modifica]Quadrilateri convessi
[modifica]Tra tutti i quadrilateri il sottoinsieme che mostra di avere proprietà geometricamente significative è quello dei quadrilateri convessi.
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[modifica]Classificazione attraverso le diagonali
[modifica]Tabella riassuntiva
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Note
[modifica]Bibliografia
[modifica]Contaci Zanichelli, autori: Clara Bertinetto, Arja Metiainen, Johannes Paasonen, Eija Voutilainen
Collegamenti esterni
[modifica]w:Trapezio 4:1=