Classificazione dei quadrilateri (scuola media)

lezione Classificazione dei quadrilateri (scuola media)
	Tipo: lezione
	Materia: Matematica per la scuola media 1
	Avanzamento: lezione completa al 50%

In geometria il quadrilatero^VK è un poligono con quattro lati^VK, e quindi quattro vertici^VK e quattro angoli^VK, e due diagonali^VK. Il quadrilatero è il poligono con il minor numero di lati nel quale si possono tracciare diagonali^VK.

Video per chi non ama leggere: i quadrilateri Schooltoon, Definizione e proprietà dei quadrilateri - Geometria - Secondaria di Primo Grado, su YouTube, 19 ott 2020.

I quadrilateri^VK possono essere suddivisi a secondo delle relazioni tra i lati^VK, tra gli angoli^VK e per le caratteristiche delle loro diagonali^VK.

Elementi nel quadrilatero

Gli elementi di un quadrilatero sono:

i vertici $A,B,C\ e\ D$ (sono punti)
i lati $AB,BC,CD,DA$ (sono segmenti)
gli angoli interni ${\hat {A}},{\hat {B}},{\hat {C}},{\hat {D}}$ , nella figura è evidenziato il solo angolo interno ${\hat {DAB}}$
gli angoli esterni che sono formati dal prolungamento di un lato e dal lato consecutivo, in figura è evidenziato solo l'angolo formato dal prolungamento del lato $DA$ con il lato $AB$
le diagonali $AC\ e\ BD$

Nel quadrilatero:

i lati $AB$ e $BC$ sono consecutivi
i lati $AB$ e $BC$ sono adiacenti all'angolo ${\hat {B}}$
i lati $AB$ e $CD$ sono opposti
gli angoli ${\hat {A}}$ e ${\hat {B}}$ sono adiacenti al lato $AB$
gli angoli ${\hat {A}}$ e ${\hat {C}}$ sono opposti
i vertici $A$ e $B$ sono consecutivi
le diagonali sono segmenti che uniscono vertici non consecutivi

osservando la figura si estendono queste definizioni a tutti gli altri elementi.

Esercizi per imparare gli elementi del quadrilatero

Facendo riferimento alla figura rispondi alle domande

Quadrilateri convessi

Somma angoli interni

La somma degli angoli interni di un quadrilatero convesso si può facilmente dedurre dal fatto che una diagonale lo taglia a metà dividendolo in due triangoli cosa che permette di calcolare la somma degli angoli interni come doppio rispetto a quella di un triangolo:

 $S=2\cdot 180^{\circ }=360^{\circ }$

cosa che corrisponde anche all'applicazione della formula generale

 $S=(n-2)\cdot 180^{\circ }$

 $S=2\cdot 180^{\circ }=360^{\circ }$

e così il quadrilatero regolare, il quadrato, avrà gli angoli interni che misurano

 $S={\frac {2\cdot 180^{\circ }}{4}}={\frac {360^{\circ }}{4}}=90^{\circ }$

Numero delle diagonali

Anche il numero delle diagonali in un quadrilatero è facilmente ricavabile dall'osservazione, ed anche in questo caso l'osservazione viene confermata dalla teoria. Anche per calcolare il numero delle diagonali si può applicare la formula

 $N_{d}={\frac {n\cdot (n-3)}{2}}$

che per un quadrilatero diventa

 $N_{d}={\frac {4}{2}}=2$

Quadrilateri inscritti

Un poligono si può inscrivere in una circonferenza se tutti gli assi dei suoi lati si incontrano in un punto. Per i quadrilateri è possibile individuare un'altra condizione.^[1]

Tutti i triangoli con base un lato e vertici il circocentro sono isosceli, infatti i lati obliqui sono dei raggi della circonferenza. Gli angoli alla base di questi triangoli sono uguali e sommando gli angoli consecutivi si ottiene che gli angoli opposti del quadrilatero sono supplementari.

Quadrilateri circoscritti

Con una proprietà analoga dovuta alle tangenti che corrispondono ai lati otteniamo che in un quadrilatero circoscritto sono uguali le somme dei lati opposti.

Classificazione

Possiamo procedere in due modi nella classificazione dei quadrilateri partendo dalla semplice caratteristica generica di avere 4 lati e aggiungendo man mano le proprietà che definiscono i diversi sottoinsiemi oppure partendo dal quadrilatero regolare il quadrato e levando mano a mano le proprietà che lo caratterizzano.

Dal quadrato ai quadrilateri

Il quadrato

Il quadrato^VK è probabilmente il poligono che viene studiato per primo nella carriera scolastica di uno studente. Il quaderno a quadretti favorisce il disegno di questo particolare quadrilatero.

Il quadrato ha molte proprietà:

ha quattro lati uguali
ha quattro angoli uguali

il quadrato è un poligono regolare per queste due prime proprietà

ha due diagonali uguali e perpendicolari che si tagliano a metà

queste proprietà delle diagonali si possono usare per disegnare quadrati di grandi dimensioni

è circoscrivibile e inscrittibile in una circonferenza

infatti il quadrato ha angoli opposti supplementari e sono uguali le somme di lati opposti

Straight Square Inscribed in a Circle 240px

Esercizi per imparare le proprietà del quadrato

Il rettangolo

Anche il rettangolo si disegna facilmente su un quaderno a quadretti

Le proprietà del rettangolo sono:

ha quattro angoli uguali

ma non avendo i lati uguali il rettangolo non è un poligono regolare^VK

ha due diagonali uguali che si tagliano a metà

queste proprietà delle diagonali si possono usare per disegnare rettangoli di grandi dimensioni

è inscrittibile in una circonferenza

ovviamente gli angoli opposti sono supplementari, infatti sono due retti, si può anche osservare che i vertici del rettangolo sono equidistanti dal punto di incontro delle diagonali,

non è circoscrivibile ad una circonferenza

infatti non sono uguali le somme dei lati opposti

Esercizi per imparare le proprietà del rettangolo

Il rombo

Le proprietà del rombo sono:

ha quattro lati uguali

ma non avendo gli angoli uguali il rombo non è un poligono regolare^VK

ha due diagonali perpendicolari che si tagliano a metà

queste proprietà delle diagonali si possono usare per disegnare rombi di grandi dimensioni

è circoscrivibile ad una circonferenza

le quattro bisettrici degli angoli si incontrano nel centro del rombo e sono uguali le somme dei lati opposti

non è inscrittibile in una circonferenza

infatti gli angoli opposti non sono supplementari

Esercizi per imparare le proprietà del rombo

Il parallelogramma (romboide)

Il parallelogramma^VK, anche detto romboide deve il suo nome al fatto di avere i lati opposti paralleli.

Le proprietà del parallelogramma quindi sono:

lati opposti paralleli
lati opposti uguali
angoli opposti uguali
angoli adiacenti allo stesso lato supplementari
diagonali che si tagliano a metà, ma non sono uguali

Esercizi per imparare le proprietà del parallelogramma

Il trapezio

Il trapezio^VK è il quadrilatero che aggiunge alla proprietà di avere quattro lati quella di avere due di essi paralleli.

Grazie a questa proprietà si possono così distinguere gli elementi del trapezio:

la base maggiore, il lato maggiore dei due lati paralleli
la base minore, ovviamente, il lato più corto dei due lati paralleli
i lati obliqui
la distanza tra le due basi parallele è l'altezza del trapezio

Le proprietà del trapezio^VK sono:

due lati paralleli
angoli adiacenti ai lati obliqui supplementari

questa seconda proprietà è una conseguenza della prima per le proprietà delle rette parallele tagliate da una trasversale,

I trapezi si possono classificare in tre diversi tipi:

scaleni
isosceli
rettangoli

Il trapezio^VK scaleno ha lati obliqui diversi e di conseguenza quattro angoli diversi.
Il trapezio^VK isoscele ha i lati obliqui uguali e di conseguenza angoli adiacenti alla base maggiore uguali tra loro così come i due angoli adiacenti alla base minore.
Il trapezio^VK rettangolo ha due angoli retti poichè ha uno dei due lati obliqui perpendicolare alle basi.
Il trapezio^VK ottusangolo ha un angolo ottuso

Trapezio e circonferenza

Il trapezio isoscele è sempre inscrittibile in una circonferenza infatti gli angoli opposti sono supplementari. Non lo sono il trapezio rettangolo e quello scaleno, gli angoli opposti non sono sicuramente supplementari, se lo fossero si ricadrebbe nel caso del trapezio isoscele e del rettangolo.

Tutti e tre i diversi tipi di trapezio possono però soddisfare la condizione per essere circoscritti, in alcuni casi quindi il trapezio isoscele è sia inscritto che circoscritto, circocentro e incentro non coincidono però a meno di non considerare il caso limite del quadrato.

Trapezio Circoscritto
Trapezio Rettangolo Circoscritto
Trapezio Isoscele Inscritto
Trapezio Isoscele Inscritto Circoscritto

Esercizi per imparare le proprietà del trapezio

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Dai quadrilateri al quadrato

Quadrilateri convessi

Tra tutti i quadrilateri il sottoinsieme che mostra di avere proprietà geometricamente significative è quello dei quadrilateri convessi.

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Classificazione attraverso le diagonali

Tabella riassuntiva

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Note

↑ https://slideplayer.it/slide/12538230/

Bibliografia

Contaci Zanichelli, autori: Clara Bertinetto, Arja Metiainen, Johannes Paasonen, Eija Voutilainen

Collegamenti esterni

w:Trapezio

Quiz

Area:Scuola media

[1] ttps://slideplayer.it/slide/12538230/

[1]

Punto aggiunto per ogni risposta corretta:
Punti sottratti per ogni risposta non corretta:
Ignora i coefficienti di domanda:

	$BC$
	$AB$
	$AC$

Punto aggiunto per ogni risposta corretta:
Punti sottratti per ogni risposta non corretta:
Ignora i coefficienti di domanda:

	60°
	45°
	90°