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Classificazione dei quadrilateri (scuola media)

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lezione
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Classificazione dei quadrilateri (scuola media)
Tipo di risorsa Tipo: lezione
Materia di appartenenza Materia: Matematica per la scuola media 1
Avanzamento Avanzamento: lezione completa al 50%

In geometria il quadrilateroVK è un poligono con quattro latiVK, e quindi quattro verticiVK e quattro angoliVK, e due diagonaliVK. Il quadrilatero è il poligono con il minor numero di lati nel quale si possono tracciare diagonaliVK.

Video per chi non ama leggere: i quadrilateriFilmato audio Schooltoon, Definizione e proprietà dei quadrilateri - Geometria - Secondaria di Primo Grado, su YouTube, 19 ott 2020.


I quadrilateriVK possono essere suddivisi a secondo delle relazioni tra i latiVK, tra gli angoliVK e per le caratteristiche delle loro diagonaliVK.


Classificazione dei quadrilateri attraverso i lati e le diagonali
Classificazione dei quadrilateri attraverso i lati e le diagonali

Elementi nel quadrilatero[modifica]

Quadrilateral elements
Quadrilateral elements

Gli elementi di un quadrilatero sono:

  • i vertici (sono punti)
  • i lati (sono segmenti)
  • gli angoli interni , nella figura è evidenziato il solo angolo interno
  • gli angoli esterni che sono formati dal prolungamento di un lato e dal lato consecutivo, in figura è evidenziato solo l'angolo formato dal prolungamento del lato con il lato
  • le diagonali

Nel quadrilatero:

  • i lati e sono consecutivi
  • i lati e sono adiacenti all'angolo
  • i lati e sono opposti
  • gli angoli e sono adiacenti al lato
  • gli angoli e sono opposti
  • i vertici e sono consecutivi
  • le diagonali sono segmenti che uniscono vertici non consecutivi

osservando la figura si estendono queste definizioni a tutti gli altri elementi.


Esercizi per imparare gli elementi del quadrilatero[modifica]

Quadrilateral elements
Quadrilateral elements

Facendo riferimento alla figura rispondi alle domande

  

1 I lati e sono...

adiacenti
opposti
consecutivi

2 Gli angoli e sono adiacenti al lato

3 I lati e sono...

adiacenti
opposti
consecutivi

4 I vertici e sono...

adiacenti
opposti
consecutivi

5 Gli angoli e sono...

opposti
consecutivi
adiacenti


Quadrilateri convessi[modifica]

Somma angoli interni[modifica]

La somma degli angoli interni di un quadrilatero convesso si può facilmente dedurre dal fatto che una diagonale lo taglia a metà dividendolo in due triangoli cosa che permette di calcolare la somma degli angoli interni come doppio rispetto a quella di un triangolo:


Diagonaaldriehoek2
Diagonaaldriehoek2

cosa che corrisponde anche all'applicazione della formula generale



e così il quadrilatero regolare, il quadrato, avrà gli angoli interni che misurano


Numero delle diagonali[modifica]

Anche il numero delle diagonali in un quadrilatero è facilmente ricavabile dall'osservazione, ed anche in questo caso l'osservazione viene confermata dalla teoria. Anche per calcolare il numero delle diagonali si può applicare la formula



che per un quadrilatero diventa


Quadrilateri inscritti[modifica]

Un poligono si può inscrivere in una circonferenza se tutti gli assi dei suoi lati si incontrano in un punto. Per i quadrilateri è possibile individuare un'altra condizione.[1]

Quadrilatero inscritto
Quadrilatero inscritto

Tutti i triangoli con base un lato e vertici il circocentro sono isosceli, infatti i lati obliqui sono dei raggi della circonferenza. Gli angoli alla base di questi triangoli sono uguali e sommando gli angoli consecutivi si ottiene che gli angoli opposti del quadrilatero sono supplementari.

Quadrilateri circoscritti[modifica]

Con una proprietà analoga dovuta alle tangenti che corrispondono ai lati otteniamo che in un quadrilatero circoscritto sono uguali le somme dei lati opposti.

Quadrilatero circoscritto
Quadrilatero circoscritto

Classificazione[modifica]

Possiamo procedere in due modi nella classificazione dei quadrilateri partendo dalla semplice caratteristica generica di avere 4 lati e aggiungendo man mano le proprietà che definiscono i diversi sottoinsiemi oppure partendo dal quadrilatero regolare il quadrato e levando mano a mano le proprietà che lo caratterizzano.

Dal quadrato ai quadrilateri[modifica]

Il quadrato[modifica]

Regular polygon 4 annotated
Regular polygon 4 annotated

Il quadratoVK è probabilmente il poligono che viene studiato per primo nella carriera scolastica di uno studente. Il quaderno a quadretti favorisce il disegno di questo particolare quadrilatero.

Il quadrato ha molte proprietà:

  • ha quattro lati uguali
  • ha quattro angoli uguali

il quadrato è un poligono regolare per queste due prime proprietà

  • ha due diagonali uguali e perpendicolari che si tagliano a metà

queste proprietà delle diagonali si possono usare per disegnare quadrati di grandi dimensioni

  • è circoscrivibile e inscrittibile in una circonferenza

infatti il quadrato ha angoli opposti supplementari e sono uguali le somme di lati opposti

Straight Square Inscribed in a Circle 240px
Straight Square Inscribed in a Circle 240px


Esercizi per imparare le proprietà del quadrato[modifica]

  

1 Il lati del quadrato sono

uguali a due a due
tutti uguali
uguali solo gli opposti

2 Gli angoli del quadrato sono tutti e quattro di

60°
45°
90°

3 LA somma di due angoli opposti del quadrato fa

360°
90°
180°

4 Le diagonali del quadrato sono

perpendicolari
proporzionali
parallele

5 Il quadrato rispetto ad una circonferenza è

circoscribile e inscrittibile
solo inscrittibile
solo circoscrivibile


Il rettangolo[modifica]

Anche il rettangolo si disegna facilmente su un quaderno a quadretti

Rectangle 4x5
Rectangle 4x5

Le proprietà del rettangolo sono:

  • ha quattro angoli uguali

ma non avendo i lati uguali il rettangolo non è un poligono regolareVK

  • ha due diagonali uguali che si tagliano a metà

queste proprietà delle diagonali si possono usare per disegnare rettangoli di grandi dimensioni

  • è inscrittibile in una circonferenza

ovviamente gli angoli opposti sono supplementari, infatti sono due retti, si può anche osservare che i vertici del rettangolo sono equidistanti dal punto di incontro delle diagonali,

  • non è circoscrivibile ad una circonferenza

infatti non sono uguali le somme dei lati opposti

Krug opisan oko pravougaonika
Krug opisan oko pravougaonika


Esercizi per imparare le proprietà del rettangolo[modifica]

  

1 Il lati del rettangolo sono

tutti diversi
tutti uguali
uguali gli opposti

2 Gli angoli del rettangoloo sono tutti uguali di

60°
45°
90°

3 La somma di due angoli opposti del rettangolo fa

360°
90°
180°

4 Le diagonali del rettangolo sono

uguali ma non perpendicolari
uguali e perpendicolari
perpendicolari ma non uguali

5 Il rettangolo rispetto ad una circonferenza è

circoscribile e inscrittibile
solo inscrittibile
solo circoscrivibile


Il rombo[modifica]

Rhombus (polygon)
Rhombus (polygon)

Le proprietà del rombo sono:

  • ha quattro lati uguali

ma non avendo gli angoli uguali il rombo non è un poligono regolareVK

  • ha due diagonali perpendicolari che si tagliano a metà

queste proprietà delle diagonali si possono usare per disegnare rombi di grandi dimensioni

  • è circoscrivibile ad una circonferenza

le quattro bisettrici degli angoli si incontrano nel centro del rombo e sono uguali le somme dei lati opposti

  • non è inscrittibile in una circonferenza

infatti gli angoli opposti non sono supplementari

Rombo 109
Rombo 109


Esercizi per imparare le proprietà del rombo[modifica]

  

1 Il lati del rombo sono

tutti diversi
tutti uguali
uguali gli opposti

2 Gli angoli del rombo sono

tutti diversi
tutti uguali di 45°
uguali gli opposti

3 Le bisettrici dei quattro angoli coincidono con

i lati
le altezze
le diagonali

4 Le diagonali del rombo sono

uguali ma non perpendicolari
uguali e perpendicolari
perpendicolari ma non uguali

5 Il rombo rispetto ad una circonferenza è

circoscribile e inscrittibile
solo inscrittibile
solo circoscrivibile


Il parallelogramma (romboide)[modifica]

Parallelogramma
Parallelogramma

Il parallelogrammaVK, anche detto romboide deve il suo nome al fatto di avere i lati opposti paralleli.

Le proprietà del parallelogramma quindi sono:

  • lati opposti paralleli
  • lati opposti uguali
  • angoli opposti uguali
  • angoli adiacenti allo stesso lato supplementari
  • diagonali che si tagliano a metà, ma non sono uguali


Esercizi per imparare le proprietà del parallelogramma[modifica]

  

1 Il lati del parallelogramma sono

paralleli a due a due
tutti uguali
adiacenti uguali

2 Il parallelogramma ha

gli angoli adiacenti uguali
quattro angoli uguali
gli angoli opposti uguali

3 Gli angoli adiacenti del parallelogramma sono

uguali
complementari
supplementari

4 Le diagonali del parallelogramma

si tagliano a metà
sono uguali
sono parallele

5 Il parallelogramma rispetto ad una circonferenza è

nè circoscribile e nè inscrittibile
solo inscrittibile
solo circoscrivibile


Il trapezio[modifica]

Trapezio
Trapezio
Trapezoid
Trapezoid

Il trapezioVK è il quadrilatero che aggiunge alla proprietà di avere quattro lati quella di avere due di essi paralleli.

Grazie a questa proprietà si possono così distinguere gli elementi del trapezio:

  • la base maggiore, il lato maggiore dei due lati paralleli
  • la base minore, ovviamente, il lato più corto dei due lati paralleli
  • i lati obliqui
  • la distanza tra le due basi parallele è l'altezza del trapezio


Le proprietà del trapezioVK sono:

  • due lati paralleli
  • angoli adiacenti ai lati obliqui supplementari

questa seconda proprietà è una conseguenza della prima per le proprietà delle rette parallele tagliate da una trasversale,

I trapezi si possono classificare in tre diversi tipi:

  • scaleni
  • isosceli
  • rettangoli



Trapezio e circonferenza[modifica]
Isosceles trapezoid rotation
Isosceles trapezoid rotation

Il trapezio isoscele è sempre inscrittibile in una circonferenza infatti gli angoli opposti sono supplementari. Non lo sono il trapezio rettangolo e quello scaleno, gli angoli opposti non sono sicuramente supplementari, se lo fossero si ricadrebbe nel caso del trapezio isoscele e del rettangolo.

Tutti e tre i diversi tipi di trapezio possono però soddisfare la condizione per essere circoscritti, in alcuni casi quindi il trapezio isoscele è sia inscritto che circoscritto, circocentro e incentro non coincidono però a meno di non considerare il caso limite del quadrato.


Esercizi per imparare le proprietà del trapezio[modifica]

  

1 Il trapezio ha solo

due lati uguali
due lati paralleli
due angoli uguali

2 Gli angoli adiacenti ai lati obliqui sono

uguali
supplementari
paralleli

3 Un trapezio rettangolo ha

un solo angolo retto
quattro angoli retti
due angoli retti

4 Le diagonali del trapezio isoscele sono

perpendicolari
uguali
parallele

5 La somma degli angoli interni del trapazio è

360°
180°
540°


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Dai quadrilateri al quadrato[modifica]

Quadrilateri convessi[modifica]

Tra tutti i quadrilateri il sottoinsieme che mostra di avere proprietà geometricamente significative è quello dei quadrilateri convessi.



...[modifica]

...[modifica]

Classificazione attraverso le diagonali[modifica]

Tabella riassuntiva[modifica]

... ... ..
... ... ... ...
... ... ...



Note[modifica]

  1. https://slideplayer.it/slide/12538230/

Bibliografia[modifica]

Contaci Zanichelli, autori: Clara Bertinetto, Arja Metiainen, Johannes Paasonen, Eija Voutilainen

Collegamenti esterni[modifica]

w:Trapezio

Quiz[modifica]

Area:Scuola media