Circonferenza e cerchio (scuola media)

La circonferenza

Elementi di una circonferenza

Raggio e diametro

Corda e arco

La circonferenza è un insieme di punti tutti equidistanti dal centro. I suoi elementi sono:

• il raggio:è un segmento che parte dal centro e che cade su un punto qualsiasi della circonferenza.I raggi sono infiniti perchè i punti della circonferenza sono infiniti.
• la corda:è un segmento che unisce due punti della circonferenza senza passare dal centro.
• Il diametro è la corda massima, che passa per il centro O della circonferenza, ed è il doppio del raggio.
• l’arco:è la parte di circonferenza racchiusa da due punti, che rappresentano gli estremi della corda.

Relazione tra la circonferenza e altri enti geometrici

Relazione tra circonferenza e punti

• INTERNE: Se la distanza tra il punto e il centro della circonferenza è minore del raggio

• APPARTENENTE: Se la distanza tra il punto e il centro della circonferenza è uguale al raggio

• ESTERNE: Se la distanza tra il punto e il centro della circonferenza è maggiore del raggio

Relazione tra circonferenza e rette

• TANGENTI: Sono rette che hanno un punto in comune con la circonferenza

• ESTERNE: Sono delle rette che non hanno nessun punto in comune con la circonferenza

• SECANTI: Sono delle rette che hanno due punti in comune con la circonferenza

Relazione tra circonferenze

• CONCENTRICHE: Se due circonferenze hanno lo stesso centro

• TANGENTI: Se due circonferenze hanno un punto in comune tra loro

• SECANTI: Se due circonferenze hanno due punti in comune tra loro

Lunghezza della circonferenza

La lunghezza della circonferenza si trova usando una di queste formule:

• C= 2π x r
• C= π x d

Le formule inverse per trovare raggio o diametro sono:

• d= C:π
• r= C: 2π

Invece per trovare la semi-circonferenza:

• Semi-C= C:2
• Semi-C= r x π
• Semi-C= (2π x r) :2
• Semi-C= (π x d) :2

La storia del π

Il pi greco (π) è un numero irrazionale approssimato a 3,14; rappresenta il rapporto tra circonferenza e diametro; è una lettera dell’alfabeto greco antico.

L’inizio del calcolo π

Già le culture più antiche hanno dovuto iniziare a ragionare su come misurare la lunghezza della circonferenza: tra i primi uomini ci furono i sumeri, che con l’invenzione della ruota constatarono che il rapporto tra la lunghezza della circonferenza e quella del diametro è più o meno costante. In seguito ci furono i Babilonesi, che grazie ad alcune tavolette trovate, datate 2000-19000 a.C, si trova scritto che il valore di π viene approssimato a 3 x 1/8. Più o meno negli stessi anni, gli Egizi indicavano che per lo stesso rapporto il valore approssimato era 3 x 13/81. Il valore calcolato dal greco Archimede è la relazione più nota e più precisa dell’antichità, e corrisponde a 3 x 1/7; dimostrò inoltre, che il valore di questo rapporto è compreso tra 3 x 10/71 e 3 x 10/70. Archimede arrivò a trarre questa conclusione confrontando la lunghezza della circonferenza con la lunghezza del perimetro di poligoni regolari di 96 lati e circoscritti alla circonferenza. All’epoca quindi, si conosceva l’approssimazione 30/10=3.

Altre approssimazioni

Dopo Archimede , nel 1500 fecero delle approssimazioni ancora più precise. Il francese Anthonitz approssimò π a 355/113 e nello stesso periodo il matematico van Caulen calcolò questo rapporto fino alla trentaquattresima cifra. Da questa approssimazione in poi ci sono state numerose approssimazioni sempre più precise del valore di π.

Il simbolo π

Questo simbolo, che deriva dall’alfabeto greco e corrisponde alla sedicesima lettera. Il π è un numero irrazionale che per comodità viene approssimato ai centesimi (3,14) ed indica il rapporto tra la circonferenza e il suo diametro. La scelta di questo simbolo è dovuta al fatto che Archimede chiamava la circonferenza con una parola greca che iniziava con la lettera π, quindi, dato che Archimede fu un matematico che nella storia del π è stato molto importante, hanno deciso di dargli questo nome. L’uso di questo simbolo si è stabilizzato nell’uso dei matematici alla fine del 1700.

Curiosità

• L’americano alexander J.Yee e il giapponese Shigeru Kondo approssimarono nel 2010 il valore di π con una precisione di 5000 miliardi di cifre.
• Nel Libro dei Re del vecchio testamento, nella Bibbia, ci sono testimonianze scritte che spiegano il rapporto tra la lunghezza della circonferenza e quella del diametro, che descrivono la vasca costruita dal Re Salomone nel tempio di Gerusalemme.

Lunghezza dell'arco di circonferenza

L’ arco è una parte di circonferenza delimitata da due punti qualsiasi della circonferenza.

Circonferenza : 360° = arco : ά

L’arco può essere maggiore, minore o uguale alla semicirconferenza. La semicirconferenza è la metà della circonferenza delimitata da due punti opposti che unendoli formano la corda più grande, il DIAMETRO.

Il cerchio

Il cerchio è una parte di piano racchiusa in una circonferenza.

Parti del cerchio

Settore circolare

• corona circolare: è una parte di cerchio racchiusa tra due circonferenze concentriche.

• settore circolare: è una parte di cerchio racchiusa da un arco e da due raggi che rappresentano gli estremi dell'arco.

• semicerchio: è una parte di cerchio racchiusa tra il diametro e il suo arco.Quindi è la meta del cerchio.

Area del cerchio

L’area del cerchio è la parte di piano compresa nella circonferenza. L’area del cerchio si trova risolvendo la seguente formula in cui A sta per area, r sta per raggio e π si approssima a 3,14 e indica il rapporto tra la circonferenza e il suo diametro:

A= r² x π

Se calcolo il quadrato del raggio di un cerchio che corrisponde al lato del quadrato, ottengo un quadrato equivalente a circa tre volte l’area del corrispondente cerchio.

Area del settore circolare

Il settore circolare è l’area del cerchio racchiusa da due raggi e un arco. I raggi congiungono gli estremi dell' arco con il centro.

Circonferenza : 360° = A settore c : ά

Area della corona circolare

La corona circolare è una parte di piano compresa tra 2 circonferenze concentriche. Per calcolare l’area bisogna calcolare la differenza tra le 2 aree. Per calcolare l' area della corona circolare bisogna calcolare la differenza tra le 2 circonferenze.

A = π × (r₁² - r₂² )
r = A / 2π
d = √A / π

Test

Lunghezza dell'arco di circonferenza

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Ignora i coefficienti di domanda:

Un’altalena è posizionata a 3 m dal suolo e la distanza tra seggiolino e terra è 50 cm. Sapendo che con una spinta (andata e ritorno) un bambino ha un'apertura di 80 º, calcola la distanza percorsa, dopo 5 spinte (presupponendo che la forza rimanga la stessa).

	$17,5m$
	$15,7m$
	$3,5m$

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Una circonferenza ha un diametro di 8 cm: calcola la lunghezza dell' arco, che sottende ad un angolo di 90°.

	$12,56m$
	$50,24m$
	$6,28m$

Area del cerchio

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Calcola l'area e il perimetro della parte colorata della figura a lato, sapendo che il diametro del cerchio maggiore è di 12 cm e che i due cerchi interni sono tangenti internamente ed equivalenti.

	$18\pi \ cm^{2}$; $24\pi \ cm$
	$24\pi \ cm^{2}$; $18\pi \ cm$
	$36cm^{2}$; $9cm$

Area della corona circolare

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Michael va a mangiare una pizza con i suoi tre amici, ma a lui non piace la crosta. Aiutiamo Michael a capire qual è l’area che lui mangia in meno degli altri. Il raggio della pizza è 18 centimetri e la larghezza della crosta di 6 centimetri.

	$565,2cm^{2}$
	$141,3cm^{2}$
	$180cm^{2}$

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Due cerchi sono concentrici: il raggio del maggiore misura 8 cm, mentre la circonferenza del minore dista 2 cm dal primo. Calcola l'area della corona circolare. Le risposte sono in centimetri al quadrato.

	$64\pi \$
	$48\pi \$
	$28\pi \$

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Calcola l'area della corona circolare, sapendo che la circonferenza maggiore misura 157 cm e che i due raggi differiscono di 9 cm.

	$369\pi \$
	$256\pi \$
	$625\pi \$

Area del settore circolare

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Calcola l'area del settore circolare corrispondente ad un angolo al centro di 60°, sapendo che il raggio della relativa circonferenza misura 17 cm.

	$48,2\pi \ cm^{2}$
	$289\pi \ cm^{2}$
	$360\pi \ cm^{2}$

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Dato un quadrato di lato 0,04 m, costruisci esternamente ai suoi quattro lati degli archi, i cui estremi coincidano con i vertici del quadrato e che abbiano il diametro coincidente con il lato del quadrato. Calcola l'area della figura ottenuta.

	$41,1cm^{2}$
	$12,56cm^{2}$
	$8\pi \ cm^{2}$

Area del segmento circolare a una base

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Una figura geometrica è costituita da un esagono inscritto in una circonferenza. Calcola l'area di un solo segmento circolare a una base, che si forma tra l'esagono e il cerchio, sapendo che il lato del triangolo equilatero è lungo 2 cm.

	$2,17cm^{2}$
	$12,57cm^{2}$
	$0,39cm^{2}$