Lezione 1:
Cinematica
Moto di un punto P nello spazio
[modifica]
Il moto di P è noto rispetto alla terna Oxyz tutte le volte che sono date le sue coordinate x,y,z, come funzioni dell'ascissa temporale t:
![{\displaystyle \left\{{\begin{matrix}x=x(t)\\y=y(t)\\z=z(t)\end{matrix}}\right.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e396d005907a15fc1e7ee4d80c0405b6c254566b)
In forma vettoriale potremo dire che le precedenti equazioni si possono riassumere nell'unica
![{\displaystyle {\bar {\mathbf {OP} }}={\bar {\mathbf {OP} }}(t)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ad2366845b99821811238802b1d5846e9f16a037)
Consideriamo il caso in cui il punto P si muova su di una traiettoria assegnata l, e scelto un sistema di ascissa curvilinea s, diremo che il moto del punto dal punto P è completamente definito quando diamo le
![{\displaystyle \left\{{\begin{matrix}x=x(s)\\y=y(s)\\z=z(s)\end{matrix}}\right.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/54aad9e6295f1d95892f1f6d6d86ea7abae9aa70)
e la legge oraria
![{\displaystyle S=S(t)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/56b690cc9d8ba298a454e80daae56a8d204b83e3)
Il sistema (2) e (3) è completamente equivalente alle (1). Le equazioni (2) dipendono esclusivamente da come è fatta la traiettoria, mentre la (3) esprime unicamente la legge oraria di P lungo la l, cioè in qual maniera nel tempo P percorre gli spazi sulla l.
Se è nota la legge oraria s=s(t) si definisce come velocità scalare la derivata:
![{\displaystyle {ds \over dt}={\dot {s}}(t)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/09d3729eab24d2591fcdef1d255e781734920759)
Si dice che il moto di P è uniforme lungo la traiettoria definita dalle (1) quando:
![{\displaystyle {\dot {s}}(t)=cost}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/383d73c000dfda89402bf117c72574eba47ecb5c)
Supponendo che la traiettoria di P sia data mediante le equazioni (2) e (3), sono noti i coseni direttori della tangente alla curvs nel punto P mediante le seguenti formule:
![{\displaystyle \left\{{\begin{matrix}T_{x}={\frac {dx \over ds}{\sqrt {({dx \over ds})^{2}+({dy \over ds})^{2}+({dz \over ds})^{2}}}}={dx \over ds}\\T_{y}={dy \over ds}\\T_{z}={dz \over ds}\end{matrix}}\right.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e6121f7657a6119b125c3e5e98ade35151a36629)
Definiamo quindi il vettore unitario della tangente il vettore:
![{\displaystyle {\vec {T}}={\vec {i}}T_{x}+{\vec {j}}T_{y}+{\vec {z}}T_{z}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/107825be3a640281051f6044055ab90e6bf5c653)
Si chiama quindi velocità vettoriale la quantità
![{\displaystyle {\vec {v}}={\dot {s}}(t)\cdot {\vec {T}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2a7b85d31773c2b7c29992fb41d16dc407e343f0)
che deriva direttamente dalla derivazione rispetto al tempo delle (2), tenendo conto della (4).
Si definisce per accelerazione del punto P la derivata rispetto al tempo della velocità vettoriale:
![{\displaystyle {\bar {\mathbf {a} }}={d \over dt}{\bar {\mathbf {v} (t)}}={d \over dt}({\dot {s}}{\bar {\mathbf {T} }})}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ac61aa3a20df551e1e3e4f7303ea233b6b2ee72c)
Eseguendo la derivazione abbiamo:
![{\displaystyle {\bar {\mathbf {a} }}={\ddot {s}}{\bar {\mathbf {T} }}+{\dot {s}}{d \over dt}{\bar {\mathbf {T} }}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d3bcba454b1ea6f0cb03fe0e6a11e75104c0610c)
e ricordando che:
![{\displaystyle {\bar {\mathbf {T} }}={d \over ds}x(s)i+{d \over ds}y(s)j+{d \over ds}z(s)k}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/02f782d27385a072beee708e064e76e41668646e)
e derivando rispetto a t:
![{\displaystyle {d \over dt}{\bar {\mathbf {T} }}=i{d^{2} \over ds^{2}}x(s){d \over dt}s(t)+j{d^{2} \over ds^{2}}y(s){d \over dt}s(t)+k{d^{2} \over ds^{2}}z(s){d \over dt}s(t)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/98f9c08cfba4be8a9f7736b0aa6cbb23974f7e5e)
![{\displaystyle {d \over dt}{\bar {\mathbf {T} }}={\dot {s}}(i{d^{2} \over ds^{2}}x(s)+j{d^{2} \over ds^{2}}y(s)+k{d^{2} \over ds^{2}}z(s))}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1eec1f3efa616c7356cca824fdd881d304a0bdb3)
Il vettore
![{\displaystyle i{d^{2} \over ds^{2}}x(s)+j{d^{2} \over ds^{2}}y(s)+k{d^{2} \over ds^{2}}z(s)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/db35c4c45238fa163f95c9d861281915396b99dd)
è un vettore che ha per coseni direttori quelli della normale principale alla curva nel punto P e modulo:
![{\displaystyle {\frac {1}{\rho }}={\sqrt {({d^{2} \over ds^{2}}x(s))^{2}+({d^{2} \over ds^{2}}y(s))^{2}+({d^{2} \over ds^{2}}z(s))^{2}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1d5010b3521bb5fc487785588f4a530f5f3092b5)
che è, come noto, la curvatura della curva nel punto P. Per cui in definitiva si ottiene per l'accelerazione vettoriale:
![{\displaystyle {\dot {a}}={\ddot {s}}{\bar {\mathbf {T} }}+{\frac {{\ddot {s}}^{2}}{\rho }}{\bar {\mathbf {N} }}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/534ebe742c58c90ff4654b506d5c655063051a91)
Si dice, che il moto di S è un moto rigido quando risulta indipendente, dal tempo t, ciascuna delle distanze mutue dei punti di S, presi a due a due in tutti i modi possibili.
Chiameremo con
e
due diverse posizioni di uno stesso sistema rigido nello spazio; esse sono due figure congruenti e la loro sovrapposizione avverrà quando tre punti della
, non giacenti in una medesima retta verranno a coincidere coi loro corrispondenti della
.
Se
e
sono due punti corrispondenti, il vettore
dicesi lo spostamento del punto
. Se:
![{\displaystyle {\bar {\mathbf {{A_{1}}{A_{2}}} }}={\bar {\mathbf {{B_{1}}{B_{2}}} }}=.....={\bar {\mathbf {{N_{1}}{N_{2}}} }}={\bar {\mathbf {a} }}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3db6d1286057bb960cfd1de54263da24c2187f58)
cioè se tutti i vettori spostamenti dei vari punti sono uguali, si dice allora che la posizione
è dedotta da
mediante una traslazione semplice di vettore
. Se questa proprietà vale per tutte le posizioni intermedie fra
, vicine quanto si vuole, il moto si chiama allora di traslazione semplice continua. In tal caso se A e B sono due punti di
, ed
A' e B' sono i loro corrispondenti in una qualunque posizione intermedia fra
e
, poiché
![{\displaystyle {\vec {AA'}}={\vec {BB'}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/80bb0da131aab756e4cb100348068a4428f5aa02)
e poiché A e B possono assumersi vicini quanto si vuole, si conclude che la velocità di A è eguale a quella di B istante per istante. Cioè tutti i punti di
descrivono curve parallele ed hanno in ogni istante la stessa velocità. Se la velocità è costante nel tempo si ha una traslazione rettilinea uniforme.
Supponiamo ora che le due figure componenti
e
abbiano in comune due punti e quindi tutti i punti comuni della congiungente che diremo asse.
Consideriamo ora un punto
di
non appartenente all'asse e sia
il suo corrispondente in
. Mandiamo dal punto
la normale all'asse O
, e conduciamo anche la O
, lo O
risulterà essendo
corrispondente di
normale all'asse ed
.
Allora facendo descrivere a
, l'arco i cerchio
, la figura
si sovrapporrà ad
, in quanto hanno tre punti comuni non allineati, mediante un movimento che si chiamerà di rotazione semplice. L'angolo θ di cui a ruotato il piano
formato da
e l'asse, per andare a coincidere con il piano
formato da
e l'asse, chiamasi ampiezza della rotazione.
Definizione di velocità angolare
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Preso un piano di riferimento fisso del corpo passante per l'asse e se
è l'angolo che un piano mobile passante per l'asse forma con questo piano fisso, si definisce velocità angolare scalare il termine:
![{\displaystyle {\dot {\theta }}={d \over dt}\theta (t)=\omega }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1a4216ffc22a25881c385c90ebb22a98f6e46993)
nel caso che
![{\displaystyle {d^{2} \over dt^{2}}\theta (t)={\ddot {\theta }}=0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6d7427b965983fc95c1e7afe4854aca625d95bc9)
si dice che il moto è di rotazione uniforme.
Si chiama vettore velocità angolare, il vettore
che ha per modulo
, e direzione parallela all'asse di rotazione e verso positivo quello anti
orario.
FIGURA
Velocità di un puntoP in un moto di rotazione.
Se O è un punto qualsiasi dell'asse e P è il punto di cui si vuol conoscere la velocità, questa è data:
![{\displaystyle {\vec {v_{p}}}={\vec {\Omega }}\wedge {\vec {OP}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/58cb00ed02a4cc2d72d4ddc13b2ad84c4fd10312)
Il moto rigido costituito da una rotazione del corpo con velocità
intorno ad un asse, e da una traslazione lungo questo asse di ampiezza
, si chiama moto rigido elicoidale. Le traiettorie dei vari punti S sono tutte eliche dello stesso passo. Questo è il moto che in genere descrive una vite.
Se P e O sono due punti qualunque di un sistema rigido in movimento, e chiamiamo con
e
le loro velocità ad un certo istante t. Si dimostra che:
|
Preso in O un sistema di riferimento solidale con S, Oxyz, e scelto un sistema fisso di riferimento
,
,
, e se
,
,
sono i vettori unitari degli assi mobili x, y, z del corpo rigido abbiamo che
![{\displaystyle {\vec {OP}}=x{\vec {i}}+y{\vec {j}}+z{\vec {k}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f4820de042b7b1ac10bde210867737fa5a072d23)
Per cui la velocità di P,
, è uguale a
, mentre quelli di =,
, è data da
. Posto ciò abbiamo che:
![{\displaystyle {d \over dt}{\vec {OP}}={d \over dt}{\vec {O_{1}P}}-{d \over dt}{\vec {O_{1}O}}={\vec {v_{p}}}-{\vec {v_{0}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a1f5094f5397fe0552fad68fdd302c9a353f92cf)
Il vettore
potrà essere epresso in generale come:
![{\displaystyle {d \over dt}{\vec {i}}=a{d \over dt}{\vec {i}}+b{d \over dt}{\vec {j}}+c{d \over dt}{\vec {k}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ae9b79d639112088130cf8e284cc24e671b0ae30)
Se deriviamo la (7) rispetto al tempo otteniamo di conseguenza:
![{\displaystyle {\vec {v_{p}}}={\vec {v_{0}}}+{\dot {x}}{\vec {i}}+{\dot {y}}{\vec {j}}+{\dot {z}}{\vec {k}}+x{d \over dt}{\vec {i}}+y{d \over dt}{\vec {j}}+z{d \over dt}{\vec {k}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/991b7f4c59b1807e2e32c5988d2a0423b514a1c6)
Essendo P un punto collegato rigidamente al corpo abbiamo che
. La (8) si riduce allora:
![{\displaystyle {\vec {v_{p}}}={\vec {v_{0}}}+x{d \over dt}{\vec {i}}+y{d \over dt}{\vec {j}}+z{d \over dt}{\vec {k}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/748618c7f7b8b02abd3262498f00b82f13139e8e)
Vogliamo ora dimostrare che:
![{\displaystyle \left\{{\begin{matrix}{d \over dt}{\vec {i}}={\vec {\Omega }}\wedge {\vec {i}}\\{d \over dt}{\vec {j}}={\vec {\Omega }}\wedge {\vec {j}}\\{d \over dt}{\vec {k}}={\vec {\Omega }}\wedge {\vec {k}}\end{matrix}}\right.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8e926da2f1b5296d9ac3e05cc31bebf3d16cec03)
Per dimostrare ciò ricordiamo ora alcune proprietà dei vettori unitari:
prodotto vettoriale |
prodotto scalare
|
![{\displaystyle {\vec {i}}\wedge {\vec {i}}={\vec {j}}\wedge {\vec {j}}={\vec {k}}\wedge {\vec {k}}=0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/97765a19bf3927812eaf628d13a39803b1382cb6) |
|
![{\displaystyle {\vec {i}}\wedge {\vec {j}}=-{\vec {j}}\wedge {\vec {i}}={\vec {k}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d67c19e01238041aed2a00e97a178f2e491547a8) |
|
![{\displaystyle {\vec {j}}\wedge {\vec {k}}=-{\vec {k}}\wedge {\vec {j}}={\vec {i}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f5ee2727d3fb596af9c5a7f686ade482684c4e82) |
|
Inoltre possiamo scrivere:
![{\displaystyle {d \over dt}({\vec {i}}\times {\vec {i}})={\vec {i}}\times {d{\vec {i}} \over dt}+{d{\vec {i}} \over dt}\times {\vec {i}}=2({d{\vec {i}} \over dt}\times {\vec {i}})=0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/60557fc065bc4ddc905a933d8ff35a2a3a7a7996)
![{\displaystyle {d \over dt}({\vec {i}}\times {\vec {j}})={d{\vec {i}} \over dt}\times {\vec {j}}+{\vec {i}}\times {d{\vec {j}} \over dt}=0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5810febb3c8ac1471b399c545ce48973e6dcd0c7)
![{\displaystyle {d \over dt}({\vec {j}}\times {\vec {k}})={d{\vec {j}} \over dt}\times {\vec {k}}+{\vec {j}}\times {d{\vec {k}} \over dt}=0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/768d10247f47c48bbe1ff463625d2a31cfb2cc14)
cioè
|
|
|
Il vettore
potrà essere espresso in generale come:
![{\displaystyle {d{\vec {i}} \over dt}=a{\vec {i}}+b{\vec {j}}+c{\vec {k}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/15a805f9d3740343e5a7a86b969dee7e0899ff24)
Se moltiplichiamo scalarmente la (14) rispettivamente per
,
,
otteniamo:
![{\displaystyle {d{\vec {i}} \over dt}\times {\vec {i}}=a{\vec {i}}\times {\vec {i}}+b{\vec {j}}\times {\vec {i}}+c{\vec {k}}\times {\vec {i}}=a=0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/906a7e8daddc7d42ddf6eecbc98122ae567ff6e4)
![{\displaystyle {d{\vec {i}} \over dt}\times {\vec {j}}=a{\vec {i}}\times {\vec {j}}+b{\vec {j}}\times {\vec {j}}+c{\vec {k}}\times {\vec {j}}=b}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0524f7217dee03da21398731e3877095e2630120)
![{\displaystyle {d{\vec {i}} \over dt}\times {\vec {k}}=a{\vec {i}}\times {\vec {k}}+b{\vec {j}}\times {\vec {k}}+c{\vec {k}}\times {\vec {k}}=c}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2f564846fe9e006b0f7ccecf6c0a1d30a5dbd678)
Si ottiene
![{\displaystyle {d{\vec {i}} \over dt}=({d{\vec {i}} \over dt}\times {\vec {j}})\cdot {\vec {j}}+({d{\vec {i}} \over dt}\times {\vec {k}})\cdot {\vec {k}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/192e7473b6f0d8ca4f1cb99d840c309b683121d4)
.
E se definiamo:
![{\displaystyle {\vec {\Omega }}=({d{\vec {j}} \over dt}\times {\vec {k}})\cdot {\vec {i}}+({d{\vec {k}} \over dt}\times {\vec {i}})\cdot {\vec {j}}+({d{\vec {i}} \over dt}\times {\vec {j}})\cdot {\vec {k}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9a491ea55afe7b978421ee28c82dceed40eaa42d)
otteniamo le (10):
ed analoghe.
|
Accelerazione di un punto di un corpo rigido
[modifica]
Abbiamo precedentemente visto che la velocità di un punto P appartenente ad un corpo rigido è data da:
![{\displaystyle {\vec {V_{p}}}={\vec {V_{0}}}+{\vec {\Omega }}\wedge {\vec {(OP)}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c2f16b97db1a5eda48bea29d50f13e4f32afb7fc)
Essendo 0 la velocità di un punto del corpo rigido assunto come origine degli assi mobili ed
il vettore velocità angolare del corpo rigido. Ovviamente per ottenere l'accelerazione di P bisogna derivare vettorialmente la (13) rispetto al tempo:
![{\displaystyle {d \over dt}{\vec {V_{p}}}={d \over dt}{\vec {V_{0}}}+{\vec {\Omega }}\wedge {d \over dt}{\vec {(OP)}}+{d \over dt}{\vec {\Omega }}\wedge {\vec {(OP)}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5169fb7eea87f325951c8bffeea299f659ae3e9c)
Cioè:
|
In quanto per le (13) si ha:
![{\displaystyle {d \over dt}{\vec {(OP)}}={\vec {V_{p}}}-{\vec {V_{0}}}={\vec {\Omega }}\wedge {\vec {(OP)}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/19ac877814c26c67438ef798fa3e1859ad411de7)
E ricordando le formule del prodotto vettoriale doppio si ottiene:
![{\displaystyle {\vec {\Omega }}\wedge {\vec {\Omega }}\wedge {\vec {(OP)}}=({\vec {\Omega }}\times {\vec {(OP)}})\cdot {\vec {\Omega }}-({\vec {\Omega }}\times {\vec {\Omega }})\cdot {\vec {(OP)}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/023a320d0c5b80d59b6ab8040f3d642d6ac28f82)
Le espressioni cartesiane delle componenti di
rispetto agli assi mobili x, y, z sono date da:
![{\displaystyle {\ddot {x}}={\dot {u_{0}}}+(px+qy+rz)\cdot {p}-(p^{2}+q^{2}+r^{2})\cdot x+({\dot {q}}z-{\dot {z}}y)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d1b801b71dbdbbc8626b9307f694fb078a690dca)
![{\displaystyle {\ddot {y}}={\dot {v_{0}}}+(px+qy+rz)\cdot {q}-(p^{2}+q^{2}+r^{2})\cdot {y}+({\dot {z}}x-{\dot {p}}z)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7d201dfb46378125dde70b92373750618087637d)
Se P è un punto di un corpo rigido e se x,y e z sono le coordinate di questo punto rispetto agli assi O x y z solidali con il corpo, le componenti della velocità assoluta di P sugli assi mobili
sono date proiettando la formula fondamentale:
![{\displaystyle {\vec {v_{p}}}={\vec {v_{0}}}\wedge ({\vec {OP)}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/be3eb051e83d5edb4f9eadd7470734e60d6fcdb9)
Cinematica del punto nel moto relativo
[modifica]
Consideriamo un punto P in moto nello spazio, e supponiamo che il moto del punto sia individuato dalla conoscenza delle:
![{\displaystyle x=x(t)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3ae1e02df253e3adc6e5d080f37a40a5bc805320)
![{\displaystyle y=y(t)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0b87dc4cd066d2bdd5379752e0fd7133eb79c2f1)
![{\displaystyle z=z(t)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5ac2a2dee3e259987e25cb3bd7633903bd154ade)
rispetto ad una terna mobile di moto più generale (traslazione e rotazione).
Il problema che ora ci proponiamo è quello di determinare le velocità e le accelerazioni del punto P rispetto ad un sistema di assi fissi dalla conoscenza delle velocità e delle accelerazioni rispetto agli assi mobili.
La risoluzione di questo problema richiede quindi la conoscenza delle seguenti grandezze:
- 1-Parametri del moto della terna mobile.
- 2-Parametri del moto del punto P rispetto alla terna mobile.
O,x,y,z è il sistema di assi mobili ed il suo moto è individuato dalle componenti della velocità di traslazione
,
,
del punto O rispetto agli assi stessi, e dal vettore rotazione
diretto come l'asse istantaneo di rotazione e definito dalle sue tre componenti rispetto agli assi mobili p, q, r.
Se
è l'origine degli assi fissi avremo:
![{\displaystyle {\bar {\mathbf {O_{f}P} }}={\bar {\mathbf {O_{f}O} }}+{\bar {\mathbf {OP} }}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/003db460cec24953a084e18dc7caa75606a49f60)
La velocità assoluta è data da: