Calcolatore delle variabili caratterizzanti un correlatore a coincidenza di polarità

In questa lezione è illustrato un sistema di calcolo automatico con il quale computare tutti gli algoritmi di relativi alle variabili dei correlatori a coincidenza di polarità.

Il calcolatore, realizzato con apposito file.exe, consente l’analisi delle variabili del processo di correlazione e la relazione finale che subordina le probabilità di rivelazione $(Priv)$ e di falso allarme $(Pfa)$ al rapporto segnale/disturbo esistente nella coppia di segnali che, dall'uscita del filtro di banda, raggiungono i circuiti di limitazione d'ampiezza del correlazione digitale.

La determinazione della coppia $Priv\ e\ Pfa$ si ottiene dal grafico mostrato nel pannello di controllo del calcolatore avvalendosi del valore del parametro $d$ calcolabile secondo l'algoritmo riportato seguente punto 16).

Circuito di correlazione di riferimento

Tutti i processi di calcolo sono relativi ad un circuito di correlazione simile a quello riportato in figura 1:

figura 1

La descrizione dello schema a blocchi

Con riferimento alla figura 1 la descrizione del circuito si sviluppa secondo il percorso dei segnali, da sinistra a destra:

• Filtri di banda di precorrelazione per definire l'intervallo della frequenza di lavoro del correlatore
• Limitatori per trasformare i segnali ed i rumori da grandezze analogiche a grandezze a due stati ( + ; -)
• Circuito di moltiplicazione logica (nor esclusivo) per la costruzione della funzione di correlazione non integrata
• Circuito integratore della funzione di correlazione grezza

La descrizione dei simboli annessi al circuito

• per i segnali ed i rumori analogici d'ingresso: $Si;N1;N2$ (livelli espressi in $mVeff.$ )
• per la banda del filtro: $BW$ espressa in $Hz$
• per i rapporti tra segnale e rumore: $Si/N1$ in forma lineare o logaritmica
• per i rapporti tra segnale e rumore: $Si/N2$ in forma lineare o logaritmica
• per la costante d'integrazione: $RC$ espressa in secondi
• per il segnale analogico all'uscita dell' integratore: $Su$ (livello normalizzati ad $1$)
• per il rumore analogico all'uscita dell'integratore: $Nu$
• per i rapporti tra segnale e rumore: $Su/Nu$ in forma lineare o logaritmica
• per la definizione del parametro probabilistico $d:P(riv)\%\ ;\ P(fa)\%$
• per il guadagno di processo: $Gpr$ in forma logaritmica

Sulle variabili e gli algoritmi di correlazione

Di seguito i simboli delle numerose variabili e gli algoritmi relativi alla correlazione con segnali limitati che, mediante opportuni passaggi e sostituzioni, danno vita al file.exe già menzionato in precedenza:

• 1- Larghezza di banda dei filtri di precorrelazione:$\ BW\ in\ Hz$
• 2 - Costante di tempo dell'integratore: $RC\ in\ S.$
• 3 - Livello di segnale all'uscita dei filtri di banda applicato ai limitatori

del correlatore: $Si$

• 4 - Livello dei rumore all'uscita dei filtri di banda applicato ai limitatori

del correlatore: $N1\ ;\ N2$

• 5 - Rapporto tra $Si\ ed\ N1$ in termini lineari: $Si/N1$
• 6 - Rapporto tra $Si\ ed\ N2$ in termini logaritmici: $Si/Ni\ dB$ = $20\ LogSi/N2$
• 7 - Ampiezza normalizzata del segnale all'uscita del correlatore: $Su$
• 8 - Algoritmo, in termini lineari, per il calcolo di $Su\ in\ Vucc$:

$Vucc={\frac {10}{3.14}}Arcsen{\begin{Bmatrix}{\frac {1}{[1+({\frac {Ni}{Si}})^{2}]}}\end{Bmatrix}}$

• 9 - Ampiezza normalizzata del rumore (varianza) all'uscita del correlatore: $Nu$
• 10 - Algoritmo, in termini lineari, dell'ampiezza normalizzata del rumore $Nu\ in\ Veff.$ all'uscita del correlatore:

$Nu={\frac {10}{3.14{\sqrt {{\frac {6}{7}}4RC(F2-F1)}}}}$

• 11 - Rapporto segnale/ rumore all'uscita del correlatore:

- in termini lineari: $Su/Nu$ - in termini logaritmici: $Su/Nu\ db=20\ Log(Su/Nu)$

• 12 - Rapporto $Su/Nu$ in termini lineari

figura 1:

${\frac {Su}{Nu}}={\frac {Si}{Ni}}^{2}{\sqrt {{\frac {6}{7}}4RC(BW)}}$

• 13 - Parametro delle curve ROC : $d,$ da esso dipendono le coppie $(Priv;Pfa)$
• 14 - Algoritmo, in termini lineari, del parametro $d$:

$d\approx 2\cdot BW\cdot (Si/Ni)^{4}$ (espressione è valida per rapporti $Si/Ni<-6\ dB)$

• 15 - Guadagno di processo $Gpr$in termini logaritmici:

$Gpr=Su/Nu\ dB-Si/N1\ dB$

• 16 - Curve ROC, figura 1, dalle quali estrapolare, in base al valore del parametro $d,$ le

infinite coppie di combinazioni $(Priv;Pfa)$ :

Il pannello di comando del calcolatore

Dal file eseguibile di calcolo, scaricabile su. RPDCR oppure pdcr una volta avviato si presenta con la schermata visualizzata in figura 2:

figura 2

Nella schermata di figura 2 sono presenti, a destra in alto, quattro caselle d'inserzioni dati quali:

• -La banda di lavoro $BW=\ Hz$
• -La costante d'integrazione $RC=\ S$.
• -Il livello del segnale d'ingresso al correlatore $Si=\ mVeff.$
• -Il livello del rumore d'ingresso al correlatore $Ni=\ mVeff.$

Con il pulsante "Calcolo" si procede all'attivazione della routine di elaborazione e alla presentazione dati; si ripete il processo cancellando i dati passati con il pulsante "Reset".

I dati calcolati, che caratterizzano completamente il processo di correlazione, sono presentati a sinistra dello schermo come segue:

• $Si/Ni=$ (rapporto lineare)

• $Si/Ni=\ dB$ (rapporto logaritmico)

• $Su=$

• $Nu=$

• $Su/Nu=$ (rapporto lineare)

• $Su/Nu=\ dB$ (rapporto logaritmico)

• $Gpr=\ dB$

• $d=$

Esempio d'impiego del calcolatore

Si debba risolvere il seguente problema:

Dati i livelli di segnale e di rumore in banda $BW=7000\ Hz$, rispettivamente di:

$Si=0.112\ mVeff.$  ; $Ni=0.86\ mveff.$ e disponendo una costante di tempo $RC=1\ S$ determinare tutte le variabili che caratterizzano il correlatore e una coppia di valori

$Priv\ e\ Pfa$, a piacere, congrua con l'insieme delle variabili calcolate.

Dopo l'inserzione delle 4 variabili d'ingresso $BW\ ;\ RC\ ;\ Si\ ;\ Ni$ e pigiando il pulsante "Calcolo" si ha la seguente schermata dati di figura 3:

I dati presentati sono stati calcolati secondo gli algoritmi riportati in precedenza e definiscono tutte le variabili coinvolte nel processo di correlazione a segnali limitati; inoltre con il valore del parametro $d=4$ è ora possibile determinare una qualsiasi coppia di $(Priv\ ;\ Pfa)$ individuabile nel grafico curve ROC sulla retta $d=4.$

In base alle esigenze operative si possono scegliere coppie diverse di $(Priv\ ;\ Pfa)$ in base alla voluta impostazione della soglia di rivelazione.

Se si desidera ad esempio un elevato valore di $Priv$ , supponiamo il $70\%,$ dovremo accettare una probabilità di falso allarme pari a $Pfa=10\%$ infatti questa coppia di valori è individuata dalla retta con parametro $d=4.$

Diversamente se si vuole ridurre la probabilità di falso allarme a $Pfa=0.01\%$ si dovrà accettare una modesta probabilità di scoperta con un valore di $Priv=30\%$.

Qualsiasi coppia $(Priv\ ;\ Pfa)$ individuata dalla retta $d=4$ può essere scelta sulla base del criterio di soglia adottato .

Bibliografia

• R. J. Urick, Principles of underwater sound, 3ª ed., Mc Graw – Hill, 1968.

• C. Del Turco, La correlazione , Collana scientifica ed. Moderna La Spezia,1993