Calcolatore delle funzioni integrali ad uso dei Tecnici e degli Ingegneri

Il calcolo del valore numerico delle funzioni integrali non sempre si presta ad essere affrontato in modo semplice; in alcuni testi di matematica applicata sono disponibili numerose tabelle con le quali è possibile ricavare il valore degli integrali definiti in particolari campi di variabilità degli estremi d'integrazione.

Nelle computazioni relative alle tematiche del sonar sono state utilizzate, sia tabelle, sia particolari algoritmi di calcolo appositamente studiati per le necessità contingenti; in questa sede sono proposte, tramite un particolare file.exe, INTEGRALMATH, otto procedure di computazione automatiche all’indirizzo:

WikIntegral oppure integr

Al link le più ricorrenti funzioni integrali che consentono il calcolo rapido del valore numerico di dette funzioni con le variabili indipendenti prescelte dall'operatore.

Nelle tabelle sopra citate i valori numerici sono definiti con un numero di cifre generalmente molto elevato, da $4$ a $10$, nella routine di INTEGRALMATH la precisione è limitata a $5$ decimali.

Nei calcoli automatici delle funzioni integrali $(I)$, essendo:

$I=\int _{a}^{b}f(t)\,dt$

ovvero la sommatoria dei prodotti $[f(t)\cdot dt]$ , la precisione dipende dall'ampiezza dall'incremento $dt$ di elaborazione selezionato dall'operatore ; riducendo l'infinitesimo $dt$ si aumenta la precisione ma anche il tempo di macchina necessario al calcolo.

Sarà l'operatore sulla base delle proprie necessità di calcolo a stabilire un ragionevole compromesso.

Le funzioni integrali disponibili

La raccolta delle funzioni integrali disponibili nel file eseguibile è esposta qui di seguito senza alcun ordine, ne di complessità, ne di importanza, indicandone il nome ed esplicitandone l’algoritmo:

• funzioni di Bessel: ordine $n=0;1;2;...$

$Jn(X)={\frac {1}{\pi }}\int _{0}^{\pi }\cos(X\operatorname {sen} t-nt)dt$

• funzione d'errore

$Erf(x)={\frac {2}{\sqrt {\pi }}}\int _{0}^{x}\exp(-t^{2})dt$

• integralseno

$Si(x)=\int _{0}^{x}{\frac {\operatorname {sen}(t)}{t}}dt$

• integralcoseno

$Ci(x)=v+\ln(x)+\int _{0}^{x}{\frac {\cos(t)-1}{t}}dt$

Il valore di $\nu$; che compare nella formula (costante di Eulero) vale $\nu =0.5772156649.$

• esponenziale integrale

$Ei(x)=v+\ln(x)+\int _{0}^{x}{\frac {\exp(t)-1}{t}}dt$

Il valore di $\nu$; che compare nella formula (costante di Eulero) vale $\nu =0.5772156649.$

• funzione gamma

$\Gamma (x)=\int _{0}^{\infty }t^{(x-1)}\exp(-t)dt$

Nella funzione Gamma il limite superiore d'integrazione è infinito, per la computazione tecnica si consente all'operatore d'inserire il valore più elevato possibile di tale limite compatibilmente dal tempo richiesto dal computer per eseguire l'operazione.

• integrale di Dawson

$F(x)=\exp(-x^{2})\int _{0}^{x}\exp(t^{2})dt$

• integrale di Fresnel

$C(x)=\int _{0}^{x}\cos({\frac {\pi }{2}}t^{2})dt$

Per ciascuna delle otto funzioni integrali è disponibile, tramite la pagina di selezione di "INTEGRALMATH" mostrata in figura 1, la sezione applicativa con la schermata di lavoro:

Per assicurare sempre una buona precisione di calcolo si consiglia di porre il valore del $dt$ il più piccolo possibile, sempre chè la velocità della macchina consenta una elaborazione in tempi ragionevoli.

Si osservi che una volta terminata l'immissione dati si pigia il pulsante "Calcolo" e si attende che compaia il valore dell'integrale definito; sotto il pulsante si sviluppa un segmento rosso che indica come la routine di calcolo sia in azione, la comparsa di un cerchietto all'estremo destro indica che il calcolo è ultimato:

L'applicativo per le funzioni integrali di Bessel

Una volta selezionate, tramite l'apposito pulsante in figura 1, le funzioni di Bessel, se ne devono stabilire le variabili richieste dalla routine da inserire nelle apposite finestre di figura 2 :

• selezione dell'ordine della funzione di Bessel desiderato; $0,1,2$ ( scelta d'esempio $n=1$)

• impostazione della variabile $x$ ( scelta d'esempio $x=0.4513$)

• imposta il valore del $dt$ di calcolo ( ad esempio $dt=0.00001$ )

figura 2

Come si vede il valore calcolato di $J1(x)$ è $J1(0.4513)=0.21995$; un valore così accurato non sarebbe stato deducibile secondo le tabelle dato che queste, generalmente definite a passi della variabile $x$ da $0.$ 1 , avrebbero potuto fornire soltanto i valori di $J1(0.4)=0.19602$ per difetto o $J1(0.5)=24226$ per eccesso.

Si osservi che la casella per l'immissione del $dt$ è impostata al valore base di $dt=0.00001$ , tale valore può essere sostituito quando e come si voglia con altri valori d'incremento.

L'applicativo per le funzioni integrali d'errore

Una volta selezionata, tramite l'apposito pulsante in figura 1, la funzione d'errore se ne devono stabilire le variabili richieste dalla routine nelle apposite finestre di figura 3 :

• s'imposta la variabile $x$ ( scelta d'esempio $x=0.6287$ )

• s'imposta il valore del $dt$ di calcolo ( ad esempio $dt=0.00001$ )

Una volta terminata l'immissione dati si pigia il pulsante "Calcolo" e si attende che compaia il valore dell'integrale definito $erf(x)$

Dalla figura 3 si evince che per $x=0.6287$ il valore della funzione d'errore è: $erf(0.6287)=0.62607$.

figura 3

L'applicativo per le funzioni integralseno

La procedura per l'immissione dati è come la precedente :

• s'imposta la variabile $x$ ( scelta d'esempio $x=0.550$ )

• s'imposta il valore del $dt$ di calcolo ( ad esempio $dt=0.00001$ )

a seguito dell'azione sul bottone calcolo si ha la schermata di figura 4 con il risultato:

$Si(0.550)=0.54084.$

figura 4

L'applicativo per le funzioni integralcoseno

La procedura per l'immissione dati è la solita:

• s'imposta la variabile $x$ ( scelta d'esempio $x=0.3214$ )

• s'imposta il valore del $dt$ di calcolo ( ad esempio $dt=0.00001$ ):a seguito dell'azione sul bottone calcolo si ha la schermata di figura 5 che indica

il risultato:

$Ci(0.3214)=-0.58357$

figura 5

L'applicativo per le funzioni integrali gamma

Per il calcolo della funzione gamma il limite superiore d'integrazione deve essere posto, tramite l'apposita finestra, ad un valore $10$ o multiplo di $10$ ; più elevato è il limite migliore è la precisione di calcolo; quindi posto ad esempio:

$ls=10$ ; $x=1.135$; $dt=0.00001$ si ha:

$\Gamma (1.135)=0.93809$ come mostrato in figura 6:

figura 6

L'applicativo per le funzioni integrali esponenziali

Dati: $x=0.74$  ; $dt=0.00001$ con $\nu =0.5772156649.$ si ha il risultato mostrato in figura 7:

figura 7

L'applicativo per le funzioi integrali di Dawson

Dati: $x=0.7833$  ; $dt=0.00001$

si ha il risultato mostrato in figura 8:

figura 8

L'applicativo per le funzioni integrali di Fresnel

Dati: $x=2.9268$ ; $dt=0.00001$

si ha il risultato mostrato in figura 9:

figura 9

Bibliografia

• G. Moretti, Analisi matematica-vol.II -parte II,Hoepli, Milano 1953.
• A. Papoulis, The Fourier integral and its applicationsMc Graw-Hill, New York 1962.
• Edit: Milton Abramowitz ..Handbook of mathematical functios, USA 1970.
• C. Del Turco, La matematica con il personal computer, Editrice MODERNA La Spezia 1998.