Calcolatore degli integrali ellittici

Da Wikiversità, l'apprendimento libero.
Jump to navigation Jump to search
lezione
Calcolatore degli integrali ellittici
Tipo di risorsa Tipo: lezione
Materia di appartenenza Materia: Sistemi di calcolo automatico per il sonar
Avanzamento Avanzamento: lezione completa al 100%.

Il calcolo del valore numerico degli integrali ellittici non si presta ad essere affrontato in modo semplice; in alcuni testi di matematica applicata sono disponibili numerose tabelle con le quali è possibile ricavare il valore degli integrali definiti di I° e II° ordine con estremo superiore d'integrazione fissato in

Il problema accennato è risolvibile tramite un particolare file.exe Calcolatore ELLIPITC che consente il calcolo del valore numerico dell'integrale ellittico di I° o II° ordine una volta fissato l'estremo superiore d'integrazione, diversamente dalle tabelle, in ; e identico argomento .

Nelle tabelle citate i valori numerici sono definiti con 15 cifre; per evitare tempi di calcolo improponibili per i P.C. ordinari la routine di ELLIPTIC limita il calcolo a 5 decimali.

Gli integrali ellittici di I° ordine[modifica]

Gli integrali in oggetto sono proposti, tra le diverse forme, nella forma trigonometrica sotto illustrata:

Ell1.jpg


Le variabili che governano l'integrale sono:

  • Limite inferiore d'integrazione
  • Limite superiore d'integrazione espresso in radianti
  • Variabile d'integrazione  ; espressa in radianti
  • Argomento di calcolo espresso in gradi sessagesimali e in forma decimale ess.°

Con il calcolatore ELLIPTIC è possibile il calcolo dell'integrale ellittico di I° ordine sia variando il valore dell'estremo superiore  ; sia inserendo un qualsiasiasi valore dell'argomento compreso tra °.


Gli integrali ellittici di II° ordine[modifica]

Gli integrali in oggetto sono proposti, tra le diverse forme, nella forma trigonometrica sotto illustrata:

Ell2.jpg


Le variabili che governano l'integrale sono:

  • Limite inferiore d'integrazione
  • Limite superiore d'integrazione ; espresso in radianti
  • Variabile d'integrazione ; espressa in radianti
  • Argomento di calcolo espresso in gradi sessagesimali e in forma decimale ess.( 3.2° )

Con il calcolatore ELLIPTIC è possibile il calcolo dell'integrale ellittico di II° ordine sia variando il valore dell'estremo superiore φ sia inserendo un qualsiasiasi valore dell'argomento compreso tra °.

Una tabella dei valori dell'integrale ellittico precompilata[modifica]

Si mostra una tabella, del tipo già menzionato, con la quale svolgere esercizi di comparazione tra valori precalcolati e valori computati al momento con ELLIPITC secondo tre colonne:

  • la prima con l'argomento in un campo compreso tra ° a passi di un grado
  • la seconda con il valore dell'integrale ellittico di primo ordine computato per .
  • la terza con il valore dell'integrale ellittico di secondo ordine computato per .



Ell3.jpg

Come si vede la tabella è a 15 decimali ma parte da un limite d'integrazione superiore prefissato e la variabilità dell'argomento è di 1° sessagesimale per passo.

Questa tabella, che rappresenta uno sforzo notevole per chi si è cimentato nel calcolo con mezzi non paragonabili agli attuali, può risultare utile per il controllo dei calcoli eseguiti nell'ambito delle variabili della tabella stessa, dopo di che assunta dimestichezza col calcolatore computare variabili di necessità non compresi in essa.

Primo esempio d'impiego di ELLIPTIC[modifica]

Una volta lanciato l'eseguibile si ha la presentazione della pagina di calcolo così come mostrato in figura 1.

figura 1


Nella pagina compaiono:

  • il selettore dell'integrale da calcolare; I° ordine o II° ordine
  • il textbox1 per l'inserimento dell'estremo superiore d'integrazione φ espresso in radianti.
  • il textbox2 per l'inserimento del valore dell'argomento espresso in gradi sessagesimali.
  • il pulsante di calcolo
  • il label, blu, per l'indicazione del valore dell'integrale calcolato

Supponiamo ora di dover calcolare, a titolo d'esercizio, un valore dell'integrale di I° ordine già esposto in tabella per ° e .

  • si seleziona l'ordine dell'integrale: I°
  • si digita in textbox1 il valore di = radianti
  • si digita in textbox2 il valore dell'argomento scelto: °
  • si pigia il pulsante calcolo e si attende il risultato sul label blu.

Il valore dell'integrale così calcolato, visibile in figura 2 è:

figura 2

contro il valore di tabella che, per lo stesso argomento, indica

Come si vede i primi 5 decimali compmputati coincidono con i primi 5 precalcolati così come previsto.

Data la complessità di elaborazione il valore dell'integrale definito non compare immediatamente nel label celeste ma necessita di un certo tempo d'attesa.

Secondo esempio d'impiego di ELLIPTIC[modifica]

Supponiamo di dover calcolare l'integrale ellittico di II° ordine per radianti per un argomento °

  • si seleziona l'ordine dell'integrale: II°
  • si digita in textbox1 il valore di radianti
  • si digita in textbox2 il valore dell'argomento scelto: °
  • si pigia il pulsante calcolo e si attende il risultato sul label blu.

Il valore dell'integrale così calcolato è: così come mostra la figura 3.

figura 3

Questo risultato, non disponibile in tabella, pur con le limitazioni di precisione nel calcolo rappresenta un notevole contributo nella valutazione degli integrali ellittici.

Bibliografia[modifica]

Edit: Milton Abramowitz ..Handbook of mathematical functios, USA 1970

C. Del Turco, La matematica con il personal computer –metodi matematici e grafici in Qbasic’’, Editrice MODERNA La Spezia, 1998.