Analisi dinamica delle funzioni di correlazione a coincidenza di segni

Per mostrare in condizioni dinamiche l'andamento globale delle funzioni di correlazione a coincidenza di segni è stata sviluppata apposita routine di simulazione in un file.exe di facile impiego.

Il software è stato congegnato in modo tale che lo sviluppo degli algoritmi dei quali faremo cenno di seguito sia ripetitivo in modo da presentare, in rapida successione su un tracciato cartesiano, le tracce dei singoli punti di calcolo sì da generare le curve espressione di tutto il fenomeno analizzato.

Per la ragione su esposta, al fine di comprendere al meglio il comportamento delle funzioni di correlazione in dipendenza delle variabili che le caratterizzano si possono modificare, in tempo reale, sia il ritardo $r*\$ che il rapporto segnale/disturbo $Si/Ni$ con il conseguente cambiamento delle curve di risposta.

Sulle funzioni implementate nel file.exe

Nella correlazione a coincidenza di segni ( con segnali limitati in ampiezza ) due algoritmi giocano il ruolo più importante nella definizione del legame esistente tra ampiezza della funzione di correlazione e rapporto segnale/disturbo d'ingresso $(Si/Ni)$ espresso in deciBel.

Il primo degli algoritmi esprime la variazione d'ampiezza di $C(r)$ ( massimo della funzione di correlazione ) in dipendenza del rapporto $(Si/Ni)$

Il secondo, derivato dal primo, mostra come dal valore di $C(0)$ si possa stabilire, a calcolo, qual è il rapporto $(Si/Ni)$ all'ingresso del correlatore.

La funzione C(r*)

La funzione $C(r*)=f(r*;Si/Ni)$ è l'algoritmo principale ed espresso secondo la 1):

$C(r^{*})={\frac {2}{3.14}}\arcsin \left\{{\frac {1}{\left[1+\left({\frac {Ni}{Si}}\right)^{2}\right]}}\left[{\frac {\operatorname {sen}(6.28\ DF\ r^{*})}{(6.28\ DF\ r^{*})}}\cos(6.28\ Fo\ r^{*})\right]\right\}\qquad \qquad 1)$

La 1), ampiamente trattata nelle lezioni precedenti è qui riportata per associarla al grafico dinamico corrispondente che mostra l'ampiezza di $C(r*)$ in funzione del ritardo $r*$; nonché del rapporto $(Si/Ni)$ in deciBel, di volta in volta assegnabili al programma di calcolo e grafica che andremo ad esporre.

Le variabili nella 1) sono:

• $DF=(f2-f1)/2$ ; dove $f1\ ,f2$ sono gli estremi della banda dei segnali applicati al correlatore

• $Fo=(f2+f1)/2$ ; dove $f1\ ,f2$ sono gli estremi della banda dei segnali applicati al correlatore

• $r*=r-ro$; dove $r$ è il ritardo variabile al quale è sottoposto uno dei due segnali per portarlo in coerenza con l'altro; $ro$ è il ritardo impostato tra i due segnali.

• $(Si/Ni)$ valore del rapporto tra segnale e disturbo all'ingresso del correlatore in deciBel

Nel nostro analizzatore sono posti:

• $f1=7500\ Hz$ ; freq. fissa

• $f2=32500\ Hz$ freq. fissa

• $r$ variabile di ricerca automatica da $0\ a\ 300\ \mu s.$

• $ro$ impostabile a comando tra $ro=0\ e\ ro=300\ \mu s.$

• $(Si/Ni)$ impostabile a comando tra $-40\ dB\ e\ +40\ dB$ .

La 1) è stata implementata in una routine in Vb convertita in file eseguibile scaricabile indifferentemente ad uno degli indirizzi:

[eseguibile]

EXEanalisi.

Il pannello di comando dell'eseguibile si presenta all'operatore come mostrato e commentato in figura 1:

figura 1)

Nella parte alta a sinistra è riportato, in assi cartesiani, il reticolo sopra il quale saranno tracciare le funzioni di correlazione.

Le ascisse, divise in $20$ parti da $15\ \mu s$. ciascuna, presentano un ritardo max $\ r=300\ \mu s$.

Le ordinate si espandono con $+/-\ 10$ divisioni con un valore max normalizzato di $+/-\ 0.1$ per div.

L'impostazione del ritardo $ro$ si esegue con lo Scroll orizzontale a passi di $1\ \mu s$ controllando il valore sull'apposito label indicato in $\mu s.$

L'impostazione del rapporto $(Si/Ni)\ dB$ si esegue con lo Scroll verticale a passi di $1\ dB$ cotrollandone il valore sull'apposito label indicato in $dB.$

Inferiormente al label in $dB$ è presentata l'ampiezza del massimo di $C(0)$ calcolato, funzione di $(Si/Ni)\ dB$, in base alla 1).

Il tracciamento della $C(r*)$ avviene in modo automatico, aggiornato con cadenza di circa $2\ s.$

Fase esecutiva del programma di simulazione: variazione del ritardo ro

Al lancio del file.exe compare la curva $C(r*)$ compatibile con i valori di $ro=0\ \mu s.$ e $Si/Ni=0\ dB$ che rappresentano i dati di base così come mostra la figura 2:

figura 2)

La $C(r*)$ è tracciata con il massimo per $r*=0$ , se ne vede pertanto soltanto una parte; l'ampiezza massima è indicata con $C(0)=0.334$ come da computo della 1).

Per avere una presentazione completa della $C(r*)$, sempre per $(Si/Ni)\ dB=0$, è sufficiente impostare un valore di $ro$, ritardo tra i due segnali, diverso da $0$, ad esempio per $ro=150\ \mu s$ per avere automaticamente la $C(r*)$ tracciata al centro del reticolo così come mostra la figura 3:

figura 3)

Dinamicità del processo di calcolo per la variazione del tempo di ritardo ro

La dinamicità del processo di calcolo si osserva variando in più od in meno il valore di $ro=150\ \mu s$; agendo sullo Scroll orizzontale per $ro<150\ \mu s$ la curva di correlazione si sposta lentamente a sinistra, per $ro>150\ \mu s$ la curva si sposta a destra.

Fase esecutiva del programma di simulazione: variazione del rapporto segnale/disturbo Si/Ni

Nelle figure 2 e 3 la curva tracciata ha un profilo arrotondato, simile alla funzione $\sin x/x$, a causa della presenza del rumore messo a calcolo come $Si/Ni=0\ dB.$ Se incrementiamo il rapporto $Si/Ni$ abbiamo una modificazione della $C(r*)$ sia in ampiezza che in profilo, si passa infatti dalla $\sin x/x$ per bassi rapporti $Si/Ni$, alla $\arcsin x/x$ riportata nella 1) per rapporti $Si/Ni>+14\ dB$ così come mostra la figura 4 per la quale il rapporto $Si/Ni$ è stato impostato a $+18\ dB$.

figura 4

Dalla figura 4 emerge inoltre che il livello massimo della $C(r*)$, a seguito dell'incremento del rapporto $Si/Ni$, e passato da $0.334$ per $Si/Ni=0\ dB$ a $0.888$ per $Si/Ni=+18\ dB.$

Dinamicità del processo di calcolo per la variazione del rapporto Si/Ni

La dinamicità del processo di calcolo per $Si/Ni$ variabile si osserva modificando in più od in meno il valore di $Si/Ni$.

Agendo sullo Scroll verticale, per $Si/Ni>0$ la curva di correlazione incrementa lentamente la sua ampiezza e il massimo del suo profilo tende ad una cuspide; per $Si/Ni<0$ la curva di correlazione decrementa lentamente la sua ampiezza e il massimo del suo profilo si arrotonda.

Fase esecutiva del programma di simulazione: la ricerca del rapporto Si/Ni in funzione dell'ampiezza di C(0): (Si/Ni) dB = f [C(0)]

Dalla 1) scaturisce la funzione che consente il calcolo rapido del rapporto $(Si/Ni)\ dB$ in dipendenza dell'ampiezza massima della $C(0)$ misurata all'uscita del correlatore a coincidenza di polarità.

La funzione $(Si/Ni)\ dB=\ f[C(0)]$ , risolvibile mediante semplici impostazioni sul pannello di comando del simulatore, è mostrata con l'algoritmo 2):

$\left({\frac {Si}{Ni}}\right)dB=20\log {\frac {1}{\sqrt {{\frac {1}{\operatorname {sen} \left[{\frac {3.14\ C(0)}{2}}\right]}}-1}}}\qquad \qquad 2)$

Le caratteristiche della 2) investono prevalentemente l'aspetto tecnico operativo.

La curva rappresentativa della 2) tracciata in coordinate logaritmiche lineari è di seguito riportata in figura 5:

figura 5

La funzione prevede una variabilità della $C(0)$ da $0.01\ a\ 1$ in due decadi logaritmiche; la funzione stessa si estende da $-20\ dB\ a\ +20\ dB$ in scala lineare a passi di $2\ dB/div$.

La ragione di un esame di $(Si/Ni)\ dB$ per valori di $C(0)$ dell'ordine di $0.01$ dipende dal fatto, messo ben in evidenza nelle lezioni del corso, che generalmente il differenziale di riconoscimento viene misurato con rapporti $(Si/Ni)$ intorno ai $-18\ dB$ ai quali corrisponde un livello di $C(0)$ normalizzato pari a quello indicato.

E' ben il livello di $C(0)$ del correlatore a coincidenza di polarità che, per la valutazione del differenziale di riconoscimento deve confrontarsi con il disturbo $Vn$ presente all'uscita del correlatore; disturbo non dipendente dalle condizioni esterne ma dalle caratteristiche intrinseche del correlatore.

Il disturbo $Vn$, come ben si vede dall'algoritmo 3) che lo definisce, è dipendente dalla banda di frequenza dei segnali d'ingresso e non dalla loro ampiezza, dalla costante di tempo d'integrazione $RC$ e quindi indipendente dal rapporto $Si/Ni$ dei segnali stessi

$Vn={\frac {2}{3.14{\sqrt {\left({\frac {6}{7}}\right)\ 4\ RC\ (F2-F1)}}}}\qquad \qquad 3)$

Dinamicità del processo di calcolo per la determinazione di (Si/Ni) dB = f [C(0)]

La dinamicità del processo di calcolo si impiega per il calcolo rapido di $(Si/Ni)\ dB=\ f[C(0)]$ seguendo la semplice procedura:

Volendo conoscere quale è il rapporto $(Si/Ni)\ dB$ quando il livello del massimo della funzione di correlazione è :$C(0)\ =0.024$ si dovrà variare tramite lo Scroll verticale il rapporto $(Si/Ni)\ dB$ in più o in meno rispetto a $(Si/Ni)\ dB=0$ fino al raggiungimento del livello di $C(0)=0.024$ indicato nell'apposito label; con questo valore di $C(0)$ il valore di $(Si/Ni)\ dB$ risulta di $-14\ dB$

Una volta trovato di $(Si/Ni)\ dB=\ f[C(0)]$ si osserverà che l'ampiezza di di $C(0)$ non consente, data la scala delle ordinate, di visualizzare la funzione di correlazione.

Questa particolare condizione, realizzata in via sperimentale in laboratorio su di un sistema multiplo di correlazione, è visibile dopo amplificazione in figura 6:

figura 6)

Lo spessore della traccia è dovuto al rumore $Vn$ all'uscita del correlatore calcolabile secondo l'algoritmo 3).

Bibliografia

• J. J. Faran Jr e R. Hills Jr, Correlators for signal reception, in Office of Naval Research (contract n5 ori-76 project order x technical memorandum no. 27), Cambridge, Massachusetts, Acoustics Research Laboratory Division of Applied Science Harvard University, 1952.

• R. J. Urick, Principles of underwater sound, 3ª ed., Mc Graw – Hill, 1968.

• C. Del Turco, La correlazione , Collana scientifica ed. Moderna La Spezia,1993

• C. Del Turco, Principi ed applicazioni dei metodi di autocorrelazione "Rivista L'Antenna anno XXXII n° 6 1960".