Analisi cinematica di sistemi di travi piane

Per poter efficacemente studiare la trave piana definita in precedenza, è necessario considerare i vincoli a cui essa è sottoposta. Dando per scontato che una trattazione più approfondita sui vincoli sia stata svolta nella meccanica razionale, nonché ne sia stata data la definizione, si ritiene comunque opportuno richiamare alcuni concetti che si rendono necessari alla trattazione, ma che saranno comunque solo presentati.

I vincoli si suddividono in semplici, doppi o tripli a seconda della loro capacità di sopprimere una o più componente di spostamento (rotazione o traslazione) alla trave nel punto in cui è inserito. La seguente tabella sintetizza i vincoli piani:

	Simbolo grafico	Nome del vincolo	Componente/i di spostamento soppressa/e	Indicazioni sul centro di rotazione
Vincoli semplici		Carrello	Traslazione nella direzione del suo asse	Deve appartenere alla retta descritta dall'asse del vincolo
		Pendolo o biella	Traslazione nella direzione del suo asse	Deve appartenere alla retta descritta dall'asse del vincolo
		Doppio doppio pendolo	Rotazione	Deve essere un punto improprio
Vincoli doppi		Cerniera	Traslazione nella direzione del suo asse Traslazione nella direzione perpendicolare al suo asse	È il punto in cui è ubicato il vincolo
		Doppio pendolo	Traslazione nella direzione del suo asse Rotazione	È il punto improprio appartenente alla retta descritta dall'asse del vincolo
Vincoli tripli		Incastro	Traslazione nella direzione del suo asse Traslazione nella direzione perpendicolare al suo asse Rotazione	Non esiste

Nella tabella, come si può osservare, sono state inserite anche le relative reazioni vincolari offerte dai vari vincoli. Si fa osservare, tuttavia, che una notazione di questo tipo non è assolutamente corretta, dal momento che è necessario introdurre o il vincolo o le sue reazioni. La visualizzazione immediata delle reazioni vincolari, tuttavia, può essere di aiuto per una spedita comprensione della natura di un vincolo.

Sono state fornite anche indicazioni per definire i centri di rotazione assoluti (generati dai vincoli esterni) e relativi (generati dai vincoli interni) delle travi collegate ai vincoli. Si può osservare come un vincolo semplice identifichi una condizione di appartenenza del centro di rotazione ad una retta, un vincolo doppio lo individui univocamente, e un vincolo triplo fornisca informazioni sulla sua inesistenza.

Prima di procedere a qualsiasi tipo di analisi della trave o del sistema di travi, è necessario fare alcune valutazioni sui vincoli a cui è sottoposta. Si definisce grado di vincolo della trave o del sistema di travi il numero di vincoli semplici in cui i vincoli possono essere scomposti. Per comprendere quanto detto bisogna considerare che ogni vincolo doppio può essere scomposto in due vincoli semplici, e il vincolo triplo in tre vincoli semplici. Ad esempio:

• una cerniera può essere sostituita da due carrelli (o pendoli) non paralleli concorrenti nello stesso punto;
• un doppio pendolo, come può facilmente intuirsi dal nome e dal simbolo grafico, può essere sostituito da due pendoli (o carrelli) paralleli e ubicati a distanza infinitesima;
• un incastro può essere sostituito da tre pendoli (o carrelli), due a formare un doppio pendolo e l'altro in direzione non parallela.

Il grado di vincolo, dunque, può essere facilmente calcolato tenendo a mente la distinzione tra vincoli semplici, doppi e tripli. Esso rappresenta le componenti di spostamento che l'insieme dei vincoli applicati sono potenzialmente in grado di sopprimere.

Noto che un qualsiasi corpo esteso (e quindi anche una trave) nel piano ha 3 gradi di libertà, detto $g$ il grado di vincolo della trave, possono accadere le seguenti situazioni:

• $g<3$: i vincoli non sono in grado di eliminare tutte le possibili componenti di spostamento della trave, che dunque in generale non è in grado di garantire la staticità della trave stessa (trave labile);
• $g\geq 3$: i vincoli sono potenzialmente in grado di eliminare tutte le componenti di spostamento, e in particolare nel caso in cui $g>3$ alcuni vincoli potrebbero rivelarsi sovrabbondanti (trave isostatica per $g=3$, iperstatica per $g>3$).

Nel caso di sistemi di travi, tenendo conto che ognuna delle $n$ travi componenti il sistema possiede tre gradi di libertà, è possibile estendere i casi precedenti semplicemente sostituendo $3\to 3n$.

Efficacia dei vincoli

In precedenza si sono utilizzati termini come potenzialmente e potrebbero, i quali non sono stati inseriti in maniera casuale: la condizione che sia $g\geq 3$, infatti, è una condizione necessaria ma non sufficiente affinché vengano eliminate tutte le possibili componenti di spostamento. Può accadere, infatti, che i vincoli si rivelino inefficaci, e cioè non in grado di eliminare completamente qualsiasi possibile movimento della trave o del sistema di travi. Per comprendere meglio quanto detto giova fare un esempio.

Si consideri ad esempio una trave singola vincolata per mezzo di tre carrelli disposti in posizione generica ma aventi gli assi disposti parallelamente. Dal momento che ci sono tre carrelli, i quali sono vincoli semplici, il grado di vincolo sarà $g=3$, uguale ai gradi di libertà posseduti dalla trave. Tuttavia appare intuitivo che la trave vincolata in questo modo può scorrere nella direzione perpendicolare agli assi dei vincoli, dal momento che nessuno dei vincoli cui è sottoposta è in grado di sopprimere quel grado di libertà. La trave, dunque, è a vincoli inefficaci.

Si fa notare che una situazione assolutamente identica si verifica considerando $n>3$ carrelli: in questo caso $g=n>3$ e quindi è dimostrato che anche con grado di vincolo maggiore dei gradi di libertà è possibile avere una situazione del genere.

Per studiare l'efficacia dei vincoli in relazione alla loro posizione e alla loro orientazione è possibile procedere per via analitica, considerando le limitazioni imposte dai vincoli e verificando che le equazioni così trovate ammettano un'unica soluzione. Tale modo di procedere, tuttavia, è assai laborioso, per quanto formalmente elegante. Nella scienza delle costruzioni si è soliti riferirsi alle proprietà delle catene cinematiche per effettuare uno studio di questo tipo.

Una catena cinematica è una generica configurazione di un sistema ad un grado di libertà. Perché sia possibile costruire una catena cinematica è necessario che in un sistema di travi si verifichi almeno una delle seguenti condizioni:

• i centri di rotazione assoluti $C_{1},C_{2}$ di due elementi $1,2$ sono allineati con il centro di rotazione relativo $C_{12}$;
• i centri di rotazione relativa $C_{12},C_{13},C_{23}$ di tre elementi $1,2,3$ sono allineati.

Il non rispetto di nessuna di queste condizioni è condizione necessaria e sufficiente perché il sistema in analisi non rappresenti una catena cinematica, e che dunque non esistano componenti di spostamento non nulli. Nel caso della trave singola una simile imposizione può essere descritta come la necessità che non esistano centri di rotazione assoluti.

Nel caso presentato prima di trave vincolata da più carrelli paralleli, si consideri il fatto che ognuno di questi carrelli impone che il centro di rotazione assoluto della trave appartenga al loro asse. Dal momento che sono tutti paralleli essi hanno in comune solo il punto improprio relativo a tale direzione, e cioè il punto all'infinito in cui si incontrano le rette aventi quella direzione: quel punto, dunque, è il centro di assoluta rotazione della trave in analisi.

Una volta dimostrata l'efficacia dei vincoli, è possibile affermare che una trave isostatica a vincoli efficaci è staticamente determinata, e cioè esiste un unico insieme di valori delle reazioni vincolari in grado di garantire l'equilibrio. Una trave iperstatica, al contrario, possiede un numero di reazioni vincolari ignote (uguale al grado di vincolo) maggiore delle equazioni di equilibrio disponibili (che sono 3).

Maglie chiuse

Un caso particolare, che potrebbe sfuggire all'attenzione, è rappresentato dalle maglie chiuse.

Si consideri un sistema di travi piane che costituisca una maglia chiusa, e cioè che sia disposta in modo da realizzare un percorso chiuso, ad esempio un quadrato. Si consideri, inoltre, che tale sistema di travi sia sottoposta ad un insieme di vincoli esterni tale da rendere il tutto esternamente isostatico a vincoli efficaci, ad esempio inserendo tre carrelli i cui assi non convergano in nessun punto in comune.

Si definisce sconnessione interna l'azione di rendere possibile una componente di spostamento prima bloccata per effetto della continuità per mezzo di un vincolo interno. Come per i vincoli, è possibile distinguere le sconnessioni in semplici (doppio pendolo e cerniera) se permettono una sola componente di spostamento relativa, doppie (carrello, pendolo, doppio doppio pendolo) se ne permettono due, triple (estremo libero) se le permettono tutte. Come si può osservare esiste una stretta correlazione tra il grado di vincolo offerto dal vincolo stesso e il grado di sconnessione: detto $g$ il grado di vincolo e $s$ il grado di sconnessione, deve essere sempre $g+s=3$.

Immaginiamo ora di effettuare una sconnessione semplice in un generico punto $P$ del sistema, ad esempio inserendo una cerniera: il sistema è ancora impossibilitato ad effettuare qualsiasi spostamento.

Sconnettendo ulteriormente il sistema, ad esempio ancora nel generico punto $P$ considerato in precedenza inserendo un pendolo invece della cerniera, si osserva che la situazione non cambia, e il sistema non presenta ancora nessuna possibilità di movimento.

Continuando a sconnettere ulteriormente il sistema, ad esempio ancora nel punto $P$ sostituendo al pendolo una sconnessione totale, il tutto è ancora impossibilitato a muoversi.

Se si effettua un'ulteriore sconnessione, però, inserendo ad esempio una cerniera in un altro generico punto, il sistema si presenta labile, e cioè sono possibili degli spostamenti.

Spiegazione

Per dimostrare che il sistema precedente è labile si considerino i centri di rotazione. Il centro di rotazione assoluto del tronco a destra deve appartenere contemporaneamente agli assi dei due carrelli che insistono su quel tronco, e dunque è l'angolo inferiore destro del quadrato originario. Il centro di rotazione relativo tra i due tronchi è definito univocamente dalla cerniera che li collega, e in particolare è esattamente il punto in cui è disposta la cerniera stessa. Il centro di rotazione assoluto del tronco di sinistra ha come unica condizione necessaria l'appartenenza alla retta verticale passante per il carrello che vincola tale tronco; quindi il centro di rotazione assoluto del tronco di sinistra può essere l'angolo inferiore sinistro del quadrato.

I centri di rotazione assoluti dei due tronchi e il loro centro di rotazione relativo sono, dunque, allineati, per cui si forma una catena cinematica.

Il sistema originario, cioè, presenta una iperstaticità interna di grado 3, rappresentata dal vincolo di continuità (che è l'omologo del vincolo di incastro nel caso di vincolo interno) presente nel punto generico $P$. Si osserva, infatti, che nel momento in cui si è giunti alla sconnessione totale nel punto $P$ il sistema è effettivamente isostatico a vincoli efficaci, dal momento che è un unico corpo (3 gradi di libertà) con un grado di vincolo pari a 3.

Questa situazione si presenta in qualsiasi caso in cui esista una maglia chiusa.

Iperstaticità e labilità interne

Non ci si lasci ingannare dal fatto che nell'esempio si è agito sempre in corrispondenza del punto $P$: si può giungere esattamente alle stesse conclusioni effettuando le sconnessioni in punti sempre diversi del sistema. A questo proposito vale la pena considerare un caso particolare: si consideri di effettuare le tre sconnessioni necessarie in tre punti differenti $P_{1}P_{2}P_{3}$ appartenenti allo stesso lato del quadrato, ad esempio inserendo una cerniera in ognuno di questi punti. Questi tre punti rappresentano i centri di rotazione relativi dei tre tronchi che si sono costituiti per effetto delle sconnessioni, essendo appartenenti al medesimo lato sono allineati, e per il secondo dei principi delle catene cinematiche precedentemente esposti formano effettivamente una catena cinematica.

Per effetto di questa osservazione si potrebbe erroneamente giungere alla conclusione che il sistema ha un grado di iperstaticità interna pari a 2, dal momento che con la terza sconnessione si è giunti a rendere labile il sistema. In realtà non tutto il sistema è labile: se si considera il tronco che possiede anche gli altri tre lati del quadrato, infatti, si può osservare che esso è una volta iperstatico internamente, come si può facilmente dimostrare effettuando una sconnessione in uno degli altri lati del quadrato.

Questo esempio ci permette di fare un'osservazione molto importante: è possibile che la struttura in generale sia in parte iperstatica e in parte labile.

Considerando la parte labile, si osserva che è possibile identificare univocamente la configurazione assunta da questa parte di struttura per mezzo di un unico parametro, rappresentato dalla coordinata del punto $P_{2}$. Il grado di labilità $l$, cioè, è pari a 1. Sulla parte iperstatica si è già detto che è necessaria una sola sconnessione per renderla isostatica, per cui il grado di iperstaticità $i$ è anch'esso pari a 1. Dal momento che esistono 3 vincoli esterni semplici e 3 vincoli interni doppi il grado di vincolo complessivo della struttura è $g=(3\cdot 1+3\cdot 2)=9$. I gradi di libertà complessivi dei singoli tronchi prima di essere vincolati, dal momento che ne sono 3 e ognuno di essi ha 3 gradi di libertà, è pari a $gdl=3\cdot 3=9$.

Considerando il caso precedentemente valutato per studiare l'iperstaticità del tronco avente anche gli altri lati del quadrato si ha: $l=1\;i=0\;g=11\;gdl=12$

Se invece di mettere l'ulteriore cerniera su un altro lato del quadrato la si mette sempre sullo stesso lato in un punto $P_{4}$, per definire univocamente la configurazione del sistema sono necessari due parametri, rappresentati dalle posizioni di $P_{2},P_{3}$, cioè i punti in cui sono disposte le cerniere "centrali". Quindi: $l=2\;i=1\;g=11\;gdl=12$

Come si può osservare esiste una correlazione tra le grandezze prese in considerazione, e cioè:

$l-i\;=\;gdl-g$

In pratica i gradi di labilità e di iperstaticità delle varie parti della struttura sono collegati al numero di gradi di libertà che non sono stati eliminati.

A questo proposito è opportuno riconsiderare il caso della trave con tre carrelli paralleli. In questo caso appare ovvio che $gdl-g=0$, ma si è anche detto che la disposizione dei vincoli è inefficace. In particolare si osserva che per identificare la configurazione assunta dal sistema è necessario un solo parametro, rappresentato dalla posizione di un punto generico rispetto alla direzione dell'asse della trave, per cui $l=1$. Il grado di iperstaticità, dunque, sarà $i=1$, e si osserva che esso è concentrato nella direzione ortogonale all'asse della trave: se si elimina uno dei carrelli, cioè, il sistema è ancora impedito di muoversi in quella direzione.

L'iperstaticità e la labilità, cioè, possono concentrarsi anche in una data direzione di spostamento.

Imperfezioni dei vincoli

Un altro aspetto importante di cui tenere conto a proposito dei vincoli è la loro imperfezione, che è un aspetto completamente differente dalla loro efficacia. Un vincolo si dice perfetto quando è in grado di eliminare completamente gli spostamenti o lo spostamento ad esso relativo e non ha alcuna influenza sugli altri. In pratica, facendo un esempio, un carrello è perfetto quando elimina completamente la componente di spostamento perpendicolare al suo asse di scorrimento e non influenza minimamente la traslazione nell'altra direzione e la rotazione.

I vincoli reali, tuttavia, non sono mai perfetti. Usualmente si considera che i vincoli siano comunque lisci e privi di attrito, e cioè si trascurano gli effetti sulle altre componenti di spostamento, mentre la possibilità che il vincolo non elimini completamente la relativa componente di spostamento è tenuta in conto per mezzo del cedimento del vincolo.

Il cedimento del vincolo è esattamente la traslazione o la rotazione del punto vincolato nonostante la presenza del vincolo stesso. Se l'entità di questo spostamento è indipendente dalla reazione del vincolo considerato il cedimento è detto anelastico, mentre in caso contrario è chiamato elastico.