Amplificatori con guadagno dipendente dalla frequenza

E’ utile, a volte, la realizzazione di amplificatori il cui guadagno dipenda dalla frequenza, sia che detto guadagno debba crescere con l’aumentare della frequenza, sia che debba diminuire.

La soluzione a questo problema, facilmente ottenibile nei due casi prospettati, è illustrata nei due sottoparagrafi seguenti.

L’amplificatore a guadagno crescente con l’aumento della frequenza

Una semplice versione di questo amplificatore, detto anche equalizzatore a pendenza positiva, è mostrato nello schema di figura 1

figura 1

Il circuito è formato da due sezioni, la prima formata dall’integrato A1 che ha la funzione di ripetitore del segnale d’ingresso verso la seconda, affinche questa, costituita da A2, possa lavorare con bassa impedenza del generatore d’ingresso necessaria al suo funzionamento.

La rete di controreazione di A2 è formata dalle resistenze $R3\ ;\ R4$ e dal condensatore $C1,$ dalla combinazione di $R3\ e\ C1$ si ottiene il guadagno dell’amplificatore crescente con il crescere della frequenza, guadagno che può crescere fino al limite massimo determinato da $R4,$ oltre al quale il guadagno non cresce più significativamente

La funzione di $R4,$ è duplice; evita che l’amplificatore possa, a parità di livelli, saturare per segnali a frequenze elevate e rende il circuito più stabile.

La legge di variazione del guadagno, nel campo di frequenze nel quale $C1$ non è ancora influenzato sensibilmente da $R4$ è di un raddoppiamento del guadagno per ogni raddoppiamento della frequenza (variazione con pendenza di $+6\ dB/ottava$).

Il guadagno dell’amplificatore è dato dall’espressione:

$G=R3/{\sqrt {[1/(2\cdot \pi \cdot f\cdot C1)]^{2}+R4^{2}}}$

Esercizio per il dimensionamento dei diversi componenti del circuito di figura 1

Dati di base

Sia da dimensionare un amplificatore con un guadagno crescente con la frequenza secondo una pendenza di $+6\ dB/ottava$ nel campo di frequenze compreso tra $100\ e\ 4000\ Hz.$

Si voglia un valore di guadagno pari a $+42\ dB$ $(126\ volte)$ alla frequenza di $2000\ Hz$ ed una resistenza d’ingresso superiore a $35000\ \Omega .$

Calcolo della rete di controreazione

Il calcolo della rete di controreazione deve iniziare con la scelta del valore di $R3$ che, secondo le considerazioni già fatte nelle lezioni precedenti, può essere fissata, per non caricare l'uscita dell'integrato A2, in $100000\ \Omega .$

Per il calcolo di $C1$ , alla frequenza di $2000\ Hz$, si deve impiegare la formula semplificata del guadagno nella quale non compare $R4,$ cioè:

$G=R3\cdot (2\cdot \pi \cdot f\cdot C1)$

dalla quale, per il valore di $G=126$ , voluto alla frequenza di $2000\ Hz,$ si ricava il valore di $C1$:

$C1=G/(2\cdot \pi \cdot f\cdot R3)=126/(6.28\cdot 2000\ Hz\cdot 100000\ \Omega )=0.1\ \mu F$

Ora se vogliamo che la banda di lavoro dell’amplificatore sia entro i termini dei dati di base, il valore di $R4$ deve essere trascurabile rispetto alla reattanza di $Xc1$ calcolata alla frequenza più elevata della banda.

$Xc1=1/(6.28\cdot 4000\ Hz\cdot 0.1\ \mu F)=398\ \Omega$

Sviluppi teorici sul funzionamento del circuito suggeriscono, in tutti i casi, che, assumendo il valore di $R4$ pari ad $1/4$ del valore che $Xc1$ ha alla massima frequenza della banda, si ottiene un errore sul guadagno del tutto accettabile, quindi:

$R4=Xc1/4=398\ \Omega /4=99.5\ \Omega$

Alla frequenza $fo$ per la quale $Xc1$ è uguale a $99.5\ \Omega$ avremo una calo del guadagno di circa $3\ dB\ (0.7\ volte)$; il valore di $fo$ è dato da:

$fo=1/(6.28\cdot 99.5\ \Omega \cdot 0.1\ \mu F)=16003\ Hz$

Ci si può ora chiedere quale errore provochi la presenza di $R4$ sul guadagno voluto alla frequenza di $4000\ Hz,$ limite superiore della banda; il guadagno in questione è il doppio del guadagno a $2000\ Hz$ cioè $G=2\cdot 126=252$ volte.

La risposta al quesito, che è anche una verifica dell’andamento dei calcoli, si ha applicando la formula completa per il calcolo del guadagno:

$G=R3/{\sqrt {[1/(2\cdot \pi \cdot f\cdot C1)]^{2}+R4^{2}}}$

$G=100000\ \Omega /{\sqrt {[1/(2\cdot \pi \cdot 4000\ Hz\cdot 0.1\ \mu F)]^{2}+99.5\ \Omega ^{2}}}=243.7\ volte$

contro un guadagno voluto di $252$ volte; l’errore commesso, del solo $3\%,$ è da ritenersi praticamente irrilevante.

Determinazione di $R1\ e\ R2$

Per minimizzare il fuori zero di A2 è opportuno che $R2$ sia uguale ad $R3$ quindi $R2=100000\ \Omega .$

Il valore di $R1$ deve soddisfare le indicazioni di base relative alla resistenza d'ingresso del circuito, perciò $R1=47000\ \Omega$

Elenco dei componenti

E' riportato l'insieme dei componenti frutto del dimensionamento del circuito di figura 1:

A1 ; A2 = LM308
Resistenze da ¼ w
R1 = 47000 Ohm
R2 = R3 = 100000 Ohm
R4 = 99.5 Ohm ( arrotondabile a 100 Ohm)
C1 = 0.1 micro F

Tracciamento della curva di risposta del circuito di figura 1

Per il controllo sperimentale del circuito equalizzatore è utile il calcolo ed il tracciamento grafico della curva di risposta in funzione della frequenza; la curva in questione è il risultato della formula quotata con i valori dei componenti calcolati in precedenza:

$G=100000\ \Omega /{\sqrt {[1/(2\cdot \pi \cdot f\ Hz\cdot 0.1\ \mu F)]^{2}+99.5\ \Omega ^{2}}}$

il calcolo della variazione di $G$ in funzione di $f$ è riportato, in figura 2, in forma logaritmica , deciBel, con il simbolo $Gdb$:

$Gdb=20\cdot log\ G\ \$

figura 2

La curva è tracciata con ascisse in scala logaritmica per poter contenere l’ampia gamma di frequenze che interessano il progetto: da $100\ Hz\ a\ 4000\ Hz$

Le ordinate sono divise con intervalli da $2\ dB$ ciascuno.

Le due frecce verticali riportate sulle ascisse evidenziano rispettivamente:

La freccia a sinistra la frequenza $2000\ Hz$ alla quale corrisponde il guadagno voluto di $42\ dB$ indicato dalla freccia orizzontale superiore.

La freccia a destra la frequenza $4000\ Hz$ alla quale corrisponde un guadagno di $47.7\ dB$ (invece di $48\ dB$ voluto) indicato dalla freccia orizzontale inferiore.

Per la ripetizione di questo tipo di curve si veda al punto A6 dell'Appendice all'indirizo [[1]]

L’amplificatore a guadagno decrescente con l’aumento della frequenza

Questo amplificatore, detto anche equalizzatore a pendenza negativa viene proposto nello schema di figura 3 e di seguito descritto.

figura 3

Il circuito è formato da due sezioni, la prima formata dall’integrato A1 che ha la funzione di ripetitore del segnale d’ingresso verso la seconda sezione, costituita da A2, affinché questa possa lavorare con bassa impedenza del generatore d’ingresso, necessaria al suo funzionamento.

La rete di controreazione di A2 è formata dalle resistenze $R3\ ,\ R4$ e dal condensatore $C1;$ dalla combinazione di $R4\ e\ C1$ si ottiene il guadagno dell’amplificatore decrescente con il crescere della frequenza, guadagno che può decrescere fino al limite massimo determinato da $R3$, oltre il quale il guadagno non decresce più significativamente.

La funzione di $R3$ è duplice; evita che l’amplificatore possa, a parità di livelli, saturare per segnali a frequenze basse e consente la chiusura dell’anello di contro reazione in corrente continua di A2.

La legge di variazione del guadagno, nel campo di frequenze nel quale $C1$ non è ancora influenzato sensibilmente da $R3$, è di un dimezzamento del guadagno per ogni raddoppiamento della frequenza (variazione con pendenza di -$6\ dB/ottava$).

Il guadagno dell’amplificatore è dato dall’espressione:

$G=\{R3\cdot [1/(2\cdot \pi \cdot f\cdot C1)]\}/\{R4\cdot {\sqrt {[1/(2\cdot \pi \cdot f\cdot C1)]^{2}+R3^{2}}}\ \}$

una forma semplificata di questa, che non tiene conto della presenza di $R3,$ è data da :

$G=[1/(2\cdot \pi \cdot f\cdot C1)]/R4$

Esercizio per il dimensionamento dei diversi componenti del circuito di figura 3

Dati di base

Sia da dimensionare un amplificatore con un guadagno decrescente con l'aumento della frequenza, secondo una pendenza di ${-}6\ dB/ottava$ nel campo di frequenze compreso tra $400\ \ e\ 10000\ Hz.$.

Si voglia un valore di guadagno pari a +$20\ dB\ (10\ volte)$ alla frequenza di $800\ Hz$ ed una resistenza d’ingresso superiore a $90000\ \Omega$

Calcolo della rete di controreazione

Il lavoro deve iniziare con il calcolo di $C1$ alla frequenza di $800\ Hz$ per la quale si vuole un guadagno dell’amplificatore di $20\ dB\ (10\ volte)$ ; inizialmente si deve impiegare la formula semplificata del guadagno dalla quale si ricava il valore di $C1,$ cioè:

$C1=1/(2\cdot \pi \cdot f\cdot R4\cdot G)$

Nella formula dobbiamo inserire, sia il valore di $G=10$, voluto alla frequenza di $800\ Hz,$ sia il valore di $R4$ al momento incognito; questo valore si deve impostare con un compromesso tra le seguenti due esigenze:

• Dalla formula sopra riportata si evince che valori molto grandi di $R4$ portano a valori piccoli di $C1$ che potrebbero rendere difficile la realizzazione dell’amplificatore; le capacita disperse di alcune parti del circuito potrebbero rendere impossibile l’impiego, ad esempio, di un condensatore da $22\ pF$ con il quale non si avrebbe più la risposta in frequenza voluta dall’amplificatore).

• Valori troppo piccoli di $R4$ potrebbero rappresentare un carico eccessivo per A1.

Ponendo ad esempio $R4=10000\ \Omega$ è senz’altro salva la seconda esigenza, mentre il soddisfacimento della prima si verifica applicando la formula per il calcolo di $C1:$

$C1=1/(6.28\cdot 800\ Hz\cdot 10000\ \Omega \cdot 10)=1990\ pF$

il valore di $C1$ , calcolato per $R=10000\ \Omega$, è, come si vede, sufficientemente grande per soddisfare anche la prima esigenza.

Ora se vogliamo che la banda di lavoro dell’amplificatore sia entro i termini dei dati di base, il valore di $R3$ deve essere trascurabile rispetto alla reattanza di $Xc1$ calcolata alla frequenza più bassa della banda ($400\ Hz$).

$Xc1=1/(6.28\cdot 400\ Hz\cdot 1990\ pF)=200000\ \Omega$

Sviluppi teorici sul funzionamento del circuito suggeriscono, in tutti i casi, che, assumendo il valore di $R3$ pari a $4\ volte$ il valore che $Xc1$ ha alla minima frequenza della banda, si ottiene un errore sul guadagno del tutto accettabile, quindi:

$R3=4\cdot Xc1=4\cdot 200000\ \Omega =800000\ \Omega$

Alla frequenza $fo$ per la quale $Xc1$ è uguale a $800000\ \Omega$ avremo una calo del guadagno di circa $3\ dB\ (0.7\ volte)$; il valore di $fo$ è dato da:

$fo=1/(6.28\cdot 800000\Omega \cdot 1990\ pF)=100\ Hz$

Ci si può ora chiedere quale errore provochi la presenza di $R3$ sul guadagno voluto alla frequenza di $400\ Hz,$ limite inferiore della banda; il guadagno in questione è il doppio del guadagno a $800\ Hz$ cioè $2\cdot 10=20\ volte$.

La risposta al quesito, che è anche una verifica dell’andamento dei calcoli, si ha applicando la formula completa per il calcolo del guadagno:

$G=\{R3\cdot [1/(2\cdot \pi \cdot f\cdot C1)]\}/\{R4\cdot {\sqrt {[1/(2\cdot \pi \cdot f\cdot C1)]^{2}+R3^{2}}}\ \}$ , ovvero:

$G=\{80000\ \Omega \cdot [1/(6.28\cdot 400\ Hz\cdot 1990\ pF)]\}/\{10000\ \Omega \cdot {\sqrt {[1/(6.28\cdot 400\ Hz\cdot 1990\ pF)]^{2}+800000^{2}}}\ \}=19.4$

contro un guadagno voluto di $20\ volte;$ l’errore commesso, del solo $3\%,$ è da ritenersi praticamente irrilevante.

Determinazione di $R1\ ,\ R2\ ,\ C2$

Per minimizzare il fuori zero di A2 è opportuno che $R2$ sia uguale ad $R3$ quindi $R2=800000\ \Omega$ ( arrotondabili a $820000\ \Omega$ )

Il valore di $R1$ deve soddisfare le indicazioni di base perciò $R1=100000\ \Omega .$

Il condensatore $C2,$ la cui funzione è d’isolare l’anello di controreazione per le tensioni continue, deve avere una reattanza trascurabile rispetto ad $R4$ alla frequenza di $400\ Hz,$ limite inferiore della banda; ponendo pertanto:

$Xc2=R4/1000=10\ \Omega$

si ha:

$C2=1/(6.28\cdot 400Hz\cdot 10\ \Omega )=159\ \mu F$ ( arrotondabile a $220\ \mu F)$

Scelta dei circuiti integrati

Il guadagno massimo richiesto da A2, relativo alla frequenza di $400\ Hz,$ è di $20\ volte\ (26\ dB);$ un guadagno libero di circa $60\ dB$ è più che sufficiente per garantire questa prestazione , un integrato con queste caratteristiche è individuabile nel tipo LM 308 ( necessita del condensatore di compensazione da $3\ pF$).

Il circuito integrato A1 può essere dello stesso tipo ma con un condensatore di compensazione da $100\ pF.$

Elenco dei componenti

E' riportato l'insieme dei componenti frutto del dimensionamento del circuito di figura 3:

 A1 ; A2 = LM308
 Resistenze da ¼ w
 R1 = 100000 Ohm
 R2 = R3 = 820000 Ohm
 R4 = 10000 Ohm
 C1 = 1990 p F (arrotondabile a 2000 pF)
 C2 = 220 mF

Tracciamento della curva di risposta del circuito di figura 3

Per il controllo sperimentale del circuito equalizzatore è utile il calcolo ed il tracciamento grafico della curva di risposta in funzione della frequenza; la curva in questione è il risultato della formula quotata con i valori dei componenti calcolati in precedenza:

$G=\{80000\ \Omega \cdot [1/(6.28\cdot f\ Hz\cdot 1990\ pF)]\}/\{10000\ \Omega \cdot {\sqrt {[1/(6.28\cdot 400\ Hz\cdot 1990\ pF)]^{2}+800000^{2}}}\ \}$

il calcolo della variazione di $G$ in funzione di $f$ è riportato in forma logaritmica , deciBel, con il simbolo $Gdb$:

$Gdb=20\cdot log\ G$

figura 4

La curva è tracciata con ascisse in scala logaritmica per poter contenere l’ampia gamma di frequenze che interessano il progetto: da $400\ Hz\ a\ 10000\ Hz.$

Le ordinate sono divise con intervalli da $2\ dB$ciascuno.

Le due frecce verticali riportate sulle ascisse evidenziano:

La freccia a destra la frequenza $800\ Hz$ alla quale corrisponde il guadagno voluto di $20\ dB$ indicato dalla freccia orizzontale inferiore.

La freccia a sinistra la frequenza $400\ Hz$ alla quale corrisponde un guadagno di $25.7\ dB$ (invece di $26\ dB$ voluto) indicato dalla freccia orizzontale inferiore.

Per la ripetizione di questo tipo di curve si veda al punto A6 dell'Appendice all'indirizo [[2]]