Aiuto:Tour guidato/Risorse

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Le risorse possono essere di diversi tipi: lezioni, appunti, esercitazioni, quiz, guide alla lettura di altre risorse e chi più ne ha più ne metta. Nella pagina d'esempio sottostante puoi vedere una lezione di analisi matematica.

Creare una risorsa è facile ma scriverne una ben fatta non è per niente scontato e si impara piano piano con esperienza, i suggerimenti degli altri utenti e leggendo le altre guide di aiuto. Le risorse hanno un piccolo riquadro in alto a destra contenente un link che permette di risalire alla pagina della materia di cui fanno parte. Nel riquadro della lezione sottostante puoi vedere la scritta Analisi matematica in un rettangolo rosso; cliccaci sopra per visitare la materia e proseguire il tour.


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Numeri reali

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Analisi matematica > Numeri reali


Lezione precedente Materia Lezione successiva
Numeri razionali Analisi matematica Numeri reali (seconda parte)


appunti
Numeri reali
Tipo di risorsa Tipo: appunti
Materia di appartenenza Materia: Analisi matematica
Avanzamento Avanzamento: appunti completi al 100%.



CAT:Risorse non curate da nessun dipartimento


Relazione d'ordine

Sia una relazione. Si dice che è una relazione d'ordine se è

  • riflessiva
  • transitiva
  • antisimmetrica.

Se tale relazione è assegnata ad un insieme , allora si dice che è ordinato e si indica con .

Ad esempio, consideriamo la relazione così definita

È sufficiente verificare le tre proprietà per dimostrare che è una relazione d'ordine. E infatti, è l'usuale relazione d'ordine di .

Se oppure , allora la relazione si dice di ordine totale (o lineare).

Insiemi limitati

Sia un insieme ordinato e un sottoinsieme non vuoto. Allora si dice maggiorante di se

Analogamente si dice che è minorante di se

Se è maggiorante (minorante) ed è anche appartenete ad , allora si dice che è il massimo (minimo) di . Si indicano rispettivamente con

Non tutti gli insiemi hanno massimo e minimo, ma se li hanno, essi sono unici. Dimostriamolo solo nel caso del massimo. Consigliamo di provare come esercizio a dimostrare il caso del minimo.

Proposizione (unicità di massimo e minimo)

Sia e . Se ha massimo, allora è unico.

Dimostrazione

Sia . Supponiamo che esista un altro . Allora, per la definizione di massimo, si ha

(*) e
(**).

Siccome è un elemento di , per la (*) si ha . D'altra parte, siccome anche , per la (**) abbiamo .
Allora altro non può essere che

.

Estremo superiore e inferiore

Si dice estremo superiore il più piccolo dei maggioranti ed estremo inferiore il più grande dei minoranti. In altri termini:


Anche per l'estremo superiore e inferiore, se esistono sono unici. Non tutti gli insiemi però hanno tali estremi, perché non tutti gli insiemi hanno un insieme dei maggioranti o minoranti (e dunque non ha senso quanto scritto appena sopra).

Vediamo ora alcuni esempi di quello che abbiamo visto finora.

Esempi

1. Sia . Studiamo un po' questo insieme.

è l'insieme dei numeri razionali non negativi e più piccoli di 1. Innanzitutto notiamo che, da quello che abbiamo appena detto, tutti gli elementi dell'insieme sono più piccoli di 1 e quindi, equivalentemente, 1 è un maggiorante. Gli elementi di sono però tutti quei razionali strettamente più piccoli 1, dunque 1 è il minore tra i maggioranti perché se fosse un maggiorante e fosse minore di 1, allora si avrebbe che pur essende stesso un elemento di e questo non è possibile perché possiamo sempre trovare un altro numero razionale . Dunque un siffatto non è un maggiorante e dunque .
Osserviamo anche che gli elementi di sono tutti maggiori o uguali di 0 ma e questo equivale alla definizione di minimo. Dunque .

Stock post message.svg Nota:
vedere se scrivere il teorema 3.7




Se un insieme ordinato ha maggioranti, tale insieme si dice superiormente limitato. Analogamente si dice inferiormente limitato se esistono minoranti.

Completezza di un insieme

Un insieme ordinato si dice completo se ogni suo sottoinsieme superiormente limitato ha estremo superiore in .

Proposizione (esistenza dell'estremo inferiore in un insieme completo)

Sia completo e . Allora ha estremo inferiore in .

Dimostrazione

è inferiormente limitato per ipotesi, dunque certamente esiste in l'insieme dei minoranti di

.
Osserviamo anche l'inverso, cioè che ogni elemento di è maggiorante di , dunque ha estremo superiore in (perché, per ipotesi, è completo). Sia .
Ogni elemento di è più grande di ogni elemento di ma anche dato che è il più piccolo tra i maggioranti di .
Ma allora e dunque . Infine, essendo il massimo dei minoranti di , è per definizione l'estremo inferiore di .


Esercizio: L'insieme dei numeri razionali non è completo

Dimostriamo che non è completo, quindi che esistono sottoinsiemi superiormente limitati ma che non hanno estremo superiore. (d'ora in avanti indicheremo con l'insieme .

Per giungere al nostro scopo, dimostriamo che non è vero che è completo; dunque forniamo un controesempio.
Consideriamo

non è ovviamente vuoto ed ha dei maggioranti (ad esempio 2 è un maggiorante, visto che ). Proviamo ora che non esiste l'estremo superiore di questo insieme, cioè che non esiste un il minore di tutti i maggioranti di .

Ragioniamo per assurdo e supponiamo che esista.

  • Se , allora . Però esiste certamente tale che .
    Infatti è un insieme denso, dunque tra due razionali esiste sempre un altro razionale; in questo caso se , si ha e dunque .
Ma allora e e da qui si ottiene che in c'è un valore più grande di e questo contraddice l'ipotesi che .
  • Se , possiamo scrivere anche (con primi tra loro) e quindi . Da qui e il fatto che il secondo membro sia pari, ci dice che è pari e dunque lo è anche . Allora possiamo scrivere il tutto come (con ) ed equivalentemente . Per lo stesso ragionamento di prima, anche è pari e questa è una contraddizione perché avevamo supposto primi tra loro!
Questa è anche la prova classica che esistono numeri non razionali.
  • Infine, se , allora esiste certamente (per lo stesso criterio del punto 1) un tale che . Ma e siccome entrambi i membri sono positivi, e dunque è un maggiorante di e abbiamo finito, perché questo contraddice l'ipotesi che sia il più piccolo dei maggioranti e dimostra che non può essere nemmeno


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