Test di monotonia, teorema Darboux, di De L'Hopital

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Indice

[modifica] Test di monotonia

Sia I un intervallo non banale di \mathbb{R} e sia f:I\to \mathbb{R} una funzione derivabile in ogni punto del dominio.

Allora, \forall x \in I, se:

i) f'(x)=0 \Leftrightarrow \ f è costante;
ii) f'(x)\geq 0 \Leftrightarrow \ f è monotona crescente su I;
iii) f'(x)\geq 0 \wedge F=\{x \in I : f'(x)=0\} \text{ non ha punti interni } \Leftrightarrow \ f è monotona strettamente crescente su I.

[modifica] Dimostrazione

i) Siano x_1,x_2 \in I con x1 < x2. Per provare che f è costante, dobbiamo far vedere che f(x1) = f(x2) e data l'arbitrarietà dei due punti, ne deduciamo che f è costante su tutto I. Prendiamo l'intervallo [x_1,x_2] \subseteq I, che essendo un sottoinsieme di un intervallo derivabile, è anch'esso derivabile e dunque f è continua su [x1,x2]. Possiamo dunque applicare il Teorema del valor medio, attraverso il quale sappiamo che esiste un punto x \in ]x_1,x_2[ tale che f(x2) − f(x1) = f'(x)(x2 − x1). Per ipotesi però f'(x) = 0 in ogni punto dell'intervallo, dunque f(x_2)-f(x_1)=0 \Leftrightarrow f(x_2)=f(x_1).

ii)

[modifica] Teorema di Darboux

Se la Funzione F è definita e continua nell' intervallo [a,b] chiuso e limitato , allora la funzione assumerà ,almeno una volta, tutti i valori compresi tra il massimo ed il minimo della funzione.

[modifica] Teoremi di de l'Hôpital

[modifica] Introduzione

I teoremi di de l'Hôpital costituiscono una condizione sufficiente ma non necessaria perché esista \lim_{x\to x_0}\frac{f(x)}{g(x)}=\lim_{x\to x_0}\frac{f'(x)}{g'(x)} (dove f'(x) e g'(x) sono le derivate di f(x) e g(x)) e permettono di risolvere alcune forme indeterminate (f.i.). Più precisamente il 1° Teorema di de l'Hôpital permette di risolvere la f.i. \frac{0}{0}, mentre il 2° risolve la f.i. \frac{\infty}{\infty}. In ogni caso è possibile utilizzarle anche per tutte le altre f.i., purché ricondotte alle f.i. \frac{\infty}{\infty} e \frac{0}{0}. Premesso ciò, si procede all'enunciazione dei teoremi.

[modifica] Primo Teorema di de l'Hôpital (f.i. \frac{0}{0})

Ipotesi Siano y = f(x) e y = g(x) continue nell'intervallo (a,b) ed entrambe derivabili in ]a,b[. Esista x_0 \in ]a,b[:f(x_0)=g(x_0)=0. Sia g'(x) \neq 0 in ]a,b[ − x0. Infine, esista \lim_{x\to x_0}\frac{f'(x)}{g'(x)}. Tesi: esiste \lim_{x\to x_0}\frac{f(x)}{g(x)}=\lim_{x\to x_0}\frac{f'(x)}{g'(x)}

N.B.: Questo teorema è applicabile anche se {x\to \infty}. In tal caso dovrà esistere un punto x_0 \in ]a,b[:\lim_{x\to \infty}f(x)=\lim_{x\to \infty}g(x)=0.

[modifica] Esempio di applicazione del 1° T. di de l'Hôpital

Si consideri \lim_{x\to 0}\frac{senx}{x+senx}. Esso rappresenta una f.i. \frac{0}{0}. Derivando numeratore e denominatore (ponendo attenzione nel derivarli separatamente, e non considerando tutto il termine come quoziente derivandolo, erroneamente, secondo la regola specifica per questo caso) allora esso sarà uguale a \lim_{x\to 0}\frac{cosx}{1+cosx}=\frac{1}{2}.

[modifica] Secondo Teorema di de l'Hôpital (f.i. \frac{\infty}{\infty})

Ipotesi Siano y = f(x) e y = g(x) in (a,b), al più escluso x0 ed entrambe derivabili in ]a,b[ − x0. Sia g'(x) \neq 0 in ]a,b[ − x0. Esista \lim_{x\to x_0}f(x)=\lim_{x\to x_0}g(x)=\infty. Infine, esista \lim_{x\to x_0}\frac{f'(x)}{g'(x)}. Tesi: esiste \lim_{x\to x_0}\frac{f(x)}{g(x)}=\lim_{x\to x_0}\frac{f'(x)}{g'(x)}

N.B.: Questo teorema è applicabile anche se {x\to \infty}.

[modifica] Esempio di applicazione del 2° T. di de l'Hôpital

Si consideri \lim_{x\to +\infty}\frac{e^x}{x}. Esso rappresenta una f.i. \frac{\infty}{\infty}. Derivando numeratore e denominatore (sempre separatamente) allora esso sarà uguale a \lim_{x\to +\infty}{e^x}=+\infty.

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