Teorema del confronto, di Cauchy

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Materia:Analisi matematica > Teorema del confronto, di Cauchy

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Indice

[modifica] Alcuni importanti teoremi

[modifica] Teorema (del confronto per funzioni)

Sia A \subseteq \mathbb{R}, f,g,h:A\to \mathbb{R}, x_0 \in D(A),\ x_0 \in \overline{\mathbb{R}}.
Se esiste un intervallo H \in \mathcal{I}_{x_0} per cui f(x)\leq h(x) \leq g(x) per ogni x \in \left(A\setminus \{x_0\} \right) \cap H e se i limiti delle due funzioni estremi f(x) e g(x) è uguale, allora si ha che

\lim_{x \to x_0}f(x)=\lim_{x \to x_0}g(x)=\lim_{x \to x_0}g(x)


In altre parole, è come se le due funzioni f e g "intrappolassero" h.

[modifica] Dimostrazione

Poniamo \lim_{x \to x_0}f(x)=\lim_{x \to x_0}g(x)=\lambda.
Se \lambda = \pm \infty, abbiamo già visto prima cosa succede.
Se invece \lambda \in \mathbb{R}, utilizziamo il Lemma visto all'inizio per la dimostrazione. Sia allora (xn) una successione in A \setminus \{x_0\} convergente a x0. Allora

\lim_{n \to + \infty}f(x_n)=\lambda e
\lim_{n \to + \infty}g(x_n)=\lambda.

Poiché la successione converge a x0, x_n \in \left(A\setminus \{x_0\} \right)\cap H,\forall n > m \in \mathbb{N} (lo abbiamo visto prima, nella dimostrazione della prima implicazione del Lemma iniziale).
Allora, per come è definito il teorema, si ha

f(x_n)\leq h(x_n)\leq g(x_n),\ \forall n>m

Per il Teorema dei due carabinieri (riferito alle successioni) si ha che h(x_n)\to \lambda per n \to +\infty e per il Lemma iniziale e poiché (xn) è una arbitraria successione in A\setminus \{x_0\} convergente ad x0 abbiamo

\lim_{x \to x_0}h(x)=\lambda
\Box


[modifica] Teorema (di Cauchy)

Sia A \subseteq \mathbb{R}, x0 un punto di accumulazione di A reale o \pm \infty ed f: A \to \mathbb{R}. Allora

\exists \lambda \in \mathbb{R}\ :\ \lim_{x \to x_0}f(x)=\lambda \Longleftrightarrow\forall \varepsilon >0 \exists H \in \mathcal{I}_{x_0}\ :\ \left|f(x)-f(y)\right|<\varepsilon,\forall x,y \in \left(A\setminus \{x_0\} \right)\cap H

In parole povere, esiste il limite di una funzione se e solo se i suoi termini sono vicini quanto si voglia.

[modifica] Dimostrazione

\Rightarrow ) . Supponiamo per ipotesi che esista il limite di f(x) e che sia λ questo limite. Allora, utilizzando la definizione di limite e "truccandola" un po', abbiamo:

\forall \varepsilon >0\ \exists H \in \mathcal{I}_{x_0}\ :\ \left|f(x)-\lambda \right|<\frac{\varepsilon}{2},\ \forall x \in \left(A\setminus \{x_0\} \right)\cap H.

Ora, per ogni x,y \in \left(A\setminus \{x_0\} \right)\cap H si ha

\left|f(x)-f(y) \right| \leq \left|f(x)-\lambda \right|+\left|\lambda - f(y) \right| < \frac{\varepsilon}{2}+\frac{\varepsilon}{2} = \varepsilon

che è proprio la seconda affermazione.

\Leftarrow ) . Utilizziamo sempre il Lemma che abbiamo visto all'inizio e consideriamo dunque una successione in A \setminus \{x_0\} convergente a x0 che chiamiamo, con grande fantasia, (xn).
Per ipotesi si ha che

\forall \varepsilon >0 \exists H \in \mathcal{I}_{x_0}\ :\ \left|f(x)-f(y)\right|<\varepsilon,\forall x,y \in \left(A\setminus \{x_0\} \right)\cap H

Stock post message.svg Nota:
finire la dimostrazione... pag 115


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