Successioni divergenti

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Indice

1 Successioni divergenti
- 1.1 Teorema (divergenza delle sottosuccessioni)
  - 1.1.1 Dimostrazione
- 1.2 Algebra delle successioni divergenti
  - 1.2.1 Dimostrazione
  - 1.2.2 Teorema (del confronto per successioni divergenti)
    - 1.2.2.1 Dimostrazione
2 Criteri di esistenza del limite
- 2.1 Successioni monotone
  - 2.1.1 Teorema (esistenza del limite di una successione monotona)
    - 2.1.1.1 Dimostrazione
  - 2.1.2 Teorema (di Bolzano-Weiestrass)
    - 2.1.2.1 Dimostrazione

Materia:Analisi matematica > Successioni divergenti

[modifica] Successioni divergenti

La successione in $\mathbb{R}$ $(a n)$ si dice divergente se

$\lim_{n\to \infty}a_n = \pm \infty$

e dunque

$\forall k \in \mathbb{R} \exists m \in \mathbb{N}\ :\ a_n > k,\ \forall n\in \mathbb{N},n>m$
$\forall k \in \mathbb{R} \exists m \in \mathbb{N}\ :\ a_n < k,\ \forall n\in \mathbb{N},n>m$

Nel primo caso si dice che la successione diverge positivamente, mentre nel secondo caso diverge negativamente.

In termini intuitivi, una successione che diverge è una successione di numeri che non tende a nessun numero finito, ma cresce indefinitamente fino a "perdersi" all'infinito.

Inoltre, analogamente alle successioni convergenti, il limite in senso esteso (cioè quando è $\pm \infty$ , dunque non è un numero reale) è unico.

[modifica] Teorema (divergenza delle sottosuccessioni)

Se $(a n)$ è una successione divergente (positivamente o negativamente), allora ogni sottosuccessione $(a_{i_n})$ è anch'essa divergente positivamente (se lo è anche $(a n)$ ) o negativamente (se lo è anche $(a n)$ ).

[modifica] Dimostrazione

La dimostrazione è analoga a quella del Teorema di convergenza di una sottosuccessione.

Per fissare le idee, prendiamo il caso di $\lim_{n \to \infty}a_n=+\infty$ . Allora

$\forall k \in \mathbb{R} \ \exists m \in \mathbb{R}\ :\ a_n > k,\ \forall n>m, n\in \mathbb{N}$

Anche qui però, $i_n \geq n,\ \ \forall n\in \mathbb{N}$ , perché non può essere altrimenti visto che se così fosse $(a_{i_n})$ non sarebbe una sottosuccessione. Dunque, se $(a n)$ diverge positivamente per ogni $n > m$ , a maggior ragione diverge positivamente anche la sottosuccessione, visto che ogni suo $i_n \geq n$ .

$\Box$

[modifica] Algebra delle successioni divergenti

Siano $(a_n),\ (b_n)$ successioni. allora

(i) $a_n \to +\infty (-\infty),\ b_n \to +\infty (-\infty) \Longrightarrow a_n+b_n\to +\infty (-\infty)$
(ii) $a_n \to +\infty (-\infty),\ b_n \to +\infty (-\infty) \Longrightarrow a_n b_n\to +\infty (-\infty)$
(iii) $a_n \to +\infty,\ b_n \to -\infty \Longrightarrow a_n b_n\to -\infty$
(iv) $a_n \to +\infty (-\infty),\ b_n \to \mu \in \mathbb{R} \Longrightarrow a_n+b_n\to +\infty (-\infty)$
(v) $a_n \to +\infty (-\infty),\ b_n \to \mu \in \mathbb{R} \Longrightarrow a_nb_n\to \begin{cases}+\infty,\ \ \mu >0 \\-\infty,\ \ \mu < 0\end{cases}$
(vi) $a_n \to +\infty (-\infty), a_n \neq 0\forall n \in \mathbb{N} \Longrightarrow \frac{1}{a_n}\to 0$
(vii) $a_n \to 0, a_n > 0 (< 0)\forall n \in \mathbb{N} \Longrightarrow \frac{1}{a_n}\to +\infty (-\infty)$
(viii) $a_n \to \pm \infty, \Longrightarrow |a_n|\to +\infty$ .

[modifica] Dimostrazione

Nota:
fare le dimostrazioni

[modifica] Teorema (del confronto per successioni divergenti)

Siano $(a_n),\ (b_n)$ due successioni e $(a_n)\to +\infty,\ \forall n\in \mathbb{N}$ .
Se $a_n \leq b_n,\ \forall n\in \mathbb{N}$ si ha che anche $(b_n)\to +\infty$ cioè $(a n)$ , che va all'infinito ed è minore di $(b n)$ , "spinge" anche $(b n)$ all'infinito insieme ad essa.

Analgamente l'inverso, cioè se $a_n \leq b_n,\ \forall n\in \mathbb{N}$ e $(b n)$ diverge negativamente, spinge $(a n)$ a $-\infty$ .

[modifica] Dimostrazione

$\lim_{n\to \infty}a_n=+\infty \Leftrightarrow \forall k \in \mathbb{R} \exists m \in \mathbb{N}\ :\ a_n > k,\ \forall n \in \mathbb{N},n>m$ .
Se $b_n \geq a_n$ per tutti gli $n\in \mathbb{N}$ e $a n > k$ sempre per tutti gli $n$ , certamente anche ogni $b n$ è maggiore di $k$ e dunque anch'essa tende a $+ \infty$ .

In modo identico si prova la seconda affermazione.

$\Box$

[modifica] Criteri di esistenza del limite

[modifica] Successioni monotone

Sia $(a n)$ una successione reale tale che

$a_n \leq a_{n+1},\ \ \forall n \in \mathbb{N}$

Una successione siffatta si dice monotona crescente.
Se $a n < a n + 1$ si dice monotona strettamente crescente

Analogamente si definiscono gli altri tipi di successioni:

$a_n \geq a_{n+1}$ si dice monotona decrescente;
$a n > a n + 1$ si dice monotona strettamente decrescente;

Tali successioni useremo a volte denotarle con il simbolo $(a_n)\uparrow$ o $(a_n)\downarrow$ per indicare una successione monotona crescente e decrescente.

Vediamo ora un importante teorema.

[modifica] Teorema (esistenza del limite di una successione monotona)

Sia $(a n)$ una successione monotona. Allora $(a n)$ ammette limite e

(i) $a_n \uparrow \Rightarrow \lim_{n \to \infty} a_n = \sup_{n \in \mathbb{N}} a_n$

(ii) $a_n \downarrow \Rightarrow \lim_{n \to \infty} a_n = \inf_{n \in \mathbb{N}} a_n$

[modifica] Dimostrazione

(i) Consideriamo il caso in cui la successione sia limitata superiormente. Allora, per la completezza di $\mathbb{R}$ , sappiamo che esiste $\lambda \in \mathbb{R} = \sup_{n\in \mathbb{N}} a_n$ . Allora