Successioni di Cauchy e limiti superiori-inferiori

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Materia:Analisi matematica > Successioni di Cauchy e limiti superiori-inferiori


[modifica] Successioni di Cauchy

Sia (an) una successione reale. (an) si dice che è una successione di Cauchy se

\forall \varepsilon >0\ \exists p \in \mathbb{N}\ :\ |a_n-a_m|<\varepsilon,\ \forall n,m\in \mathbb{N},\ n,m>p

In altri termini, una successione si dice di Cauchy se i suoi termini sono vicini tra loro quanto tanto si vuole, purché gli indici siano abbastanza grandi.

[modifica] Proposizione

Una successione è convergente se e solo se è una successione di Cauchy.

[modifica] Dimostrazione

Sia (an) convergente a λ. Dunque, per la definizione di limite di una successione, si ha (anche per ripetere la definizione di limite fino a che non ce la ricordiamo più del nostro nome... :D )

\forall \varepsilon >0\ \exists p \in \mathbb{N}\ :\ |a_n - \lambda|<\varepsilon,\ \forall n\in \mathbb{N}, n>p (*)

Ora un trucchetto: se è vera la (*), allora varrà anche se al posto di \varepsilon prendo \frac{\varepsilon}{2}, tanto \varepsilon è un numero del tutto arbitrario. Allora consideriamo ora

\forall \varepsilon >0\ \exists p \in \mathbb{N}\ :\ |a_n - \lambda|<\frac{\varepsilon}{2},\ \forall n\in \mathbb{N}, n>p (**)

Dunque

|a_n-a_m|\leq |a_n - \lambda|+|\lambda -a_m| < \frac{\varepsilon}{2} + \frac{\varepsilon}{2} = \varepsilon

ed infine

|a_n-a_m| < \varepsilon

e questo prova la proposizione.

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[modifica] Teorema (completezza sequenziale di \mathbb{R})

Se (an) è una successione reale di Cauchy, allora è convergente.

[modifica] Dimostrazione

Dobbiamo provare che esiste \lim_{n \to \infty}a_n=\lambda \in \mathbb{R}. Consideriamo una successione di Cauchy (an). Abbiamo che \forall \varepsilon >0 \exists p \in \mathbb{N}\ :\ |a_n-a_m|< \frac{\varepsilon}{2},\ \forall n \in \mathbb{N},n>p.

Fissiamo ora un numero k \in \mathbb{R} e otteniamo |a_n-a_m|<k,\ \forall n,m\in \mathbb{N},\ n,m>p. Allora

|a_n| \leq |a_n-a_{p+1}|+|a_{p+1}|< k + |a_{p+1}|

e dunque, per ogni n si ha che

|a_n| \leq \max \{|a_1|,\dots,|a_p|,k+|a_{p+1}|\}

dunque (an) è limitata e per il Teorema di Bolzano-Weierstrass, esiste una sottosuccessione di (an) (a_{k_n}) convergente a \lambda \in \mathbb{R}. Dunque \forall \varepsilon >0 \exists p_1 \ :\ |a_{k_n}-\lambda|<\frac{\varepsilon}{2},\ \forall n\in \mathbb{N},n>p_1. Poniamo poi P = max{p,p1} e se n > P (e dunque kn > P perché k_n \geq P) abbiamo

|a_n-\lambda|\leq |a_n-a_{k_n}|+|a_{k_n}-\lambda|<\frac{\varepsilon}{2}+\frac{\varepsilon}{2} =\varepsilon

Dunque (an) converge a λ.

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[modifica] Limite superiore e limite inferiore

[modifica] Teorema (esistenza del limite di una successione)

[modifica] Dimostrazione
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