Punti di accumulazione e chiusura di un insieme

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Materia:Analisi matematica > Punti di accumulazione e chiusura di un insieme

Avanzamento lezione: 100% al 23-11-2009.

Indice

1 Intervalli e intorni
- 1.1 Punti di accumulazione
2 Chiusura di un insieme ed insiemi chiusi
- 2.1 Proposizione
  - 2.1.1 Dimostrazione

[modifica] Intervalli e intorni

Sia $x_0 \in \mathbb{R}$ e $\varepsilon >0$ . Si dice intorno di $x 0$ di raggio $\varepsilon$ l'intervallo

$]x_0-\varepsilon,x_0+\varepsilon[$

Rappresentiamo poi l'insieme degli intorni di $x 0$ con

$\mathcal{I}_{x_0}=\{]x_0-\varepsilon,x_0+\varepsilon[\ :\ \varepsilon \in \mathbb{R},\varepsilon >0\}$

[modifica] Punti di accumulazione

Sia $A \subseteq \mathbb{R}$ . Un punto $x 0$ si dice punto di accumulazione di $A$ se per ogni intorno di $x 0$ esistono punti di $A$ diversi da $x 0$ stesso. Formalmente:

x 0

punto di accumulazione di $A \ \Leftrightarrow (A\setminus \{x_0\}) \cap I \neq \emptyset,\ \ \forall I \in \mathcal{I}_{x_0}$

L'insieme di tutti i punti di accumulazione di $A$ si indica con $D (A)$ e si chiama derivato di $A$ e se un punto non appartiene al derivato di $A$ , tale punto si dice punto isolato di $A$ .

[modifica] Proposizione

Sia $A \subseteq \mathbb{R}$ finito. Allora $D(A)=\emptyset$ .

[modifica] Dimostrazione

Supponiamo $A\neq \emptyset$ (altrimenti l'affermazione è banale) e $A=\{x_1,\dots,x_n\}$ . Prendiamo poi un qualsiasi numero reale $y$ e poniamo

$\phi = \min \{|y-x_i|,\ i\in 1,\dots,n,\ x_i \neq y\}$

$φ$ in altri termini, è il raggio più piccolo dell'intervallo che possiamo avere in $A$ per ogni numero reale che scegliamo. Si ha

$x_i \neq y$ , $\phi >0,\ \forall y \in \mathbb{R},\forall x_i \in A$ .

Supponiamo, per assurdo, che $D(A)\neq \emptyset$ . Allora, esiste $x \in (A \setminus \{y\}) \cap ]y-\phi,y+\phi[$ e dunque $x = x i$ (per un opportuno $i \in \{1,\dots,n\}$ , $x \neq y$ e $| x - y | < φ$ (per la definizione di punto di accumulazione). Ma questo contraddice la definizione che abbiamo dato di $φ$ (infatti $φ$ è già il raggio minimo di un intervallo ottenibile in $A$ con il numero reale $y$ ) e prova l'asserto.

$\Box$

[modifica] Lemma

Sia $A \subseteq \mathbb{R}$ e $x_0 \in \mathbb{R}$ . Allora $x 0$ è un punto di accumulazione di $A$ se e solo se esiste una successione in $A\setminus \{x_0\}\ :\ \lim_{n\to +\infty}x_n=x_0$

[modifica] Dimostrazione del Lemma

$\Rightarrow\ )$ $x_0 \in D(A)$ implica ovviamente che $D(A)\neq \emptyset \Leftrightarrow (A\setminus \{x_0\}) \cap I \neq \emptyset,\ \forall I \in \mathcal{I}_{x_0}$ .

Allora questo varrà anche per l'intervallo di raggio $\frac{1}{n}$ , cioè

$(A\setminus \{x_0\}) \cap ]x_0-\frac{1}{n},x_0+\frac{1}{n}[\neq \emptyset,\ \forall n\in \mathbb{N}$

Per l'assioma della scelta, esiste una funzione che ad ogni naturale associa un elemento di $(A\setminus \{x_0\}) \cap ]x_0-\frac{1}{n},x_0+\frac{1}{n}[$ . Tale funzione è allora una successione ed è convergente in $x 0$ . Infatti $x_0-\frac{1}{n},x_0+\frac{1}{n}$ sono successioni convergenti a $x 0$ e

$x_0-\frac{1}{n}<x_0<x_0+\frac{1}{n}$ .

Dunque, per il teorema del confronto, la successione converge a $x 0$ .

$\Leftarrow\ )$ (completare la dimostrazione)

[modifica] Teorema (esistenza di punti di accumulazione per insiemi infiniti e limitati)

Sia $A$ un sottoinsieme di $\mathbb{R}$ infinito e limitato. Allora $A$ ha punti di accumulazione.

[modifica] Dimostrazione

Cerchiamo di ricondurci al caso del lemma precedente.
La prima ipotesi ci dice che $A$ è infinito, dunque esiste una successione in $A$ di valori distinti, cioè $a_n \neq a_m,\ \forall n,m \in \mathbb{N},n\neq m$ .
Inoltre, la seconda ipotesi ci dice che $A$ è limitato e dunque sarà limitata anche la nostra successione. Allora, per il Teorema di Bolzano-Weierstrass, si può estrarre una sottosuccessione convergente ad un qualche punto $x_0 \in \mathbb{R}$ .

Ora, se ogni termine della sottosuccessione è diverso da $x 0$ , per il lemma precedente $x 0$ è un punto di accumulazione di $A$ in quanto esiste una successione in $A\setminus \{x_0\}$ convergente a $x 0$ . Se invece esiste un termine della sottosuccessione $x_{k_r}=x_0,\ r \in \mathbb{N}$ , essendo $x_{k_q}\neq x_{k_r},\ \forall q,r \in \mathbb{N}$ (per definizione di sottosuccessione, la quale ha indici crescenti e dunque diversi tra loro), esiste però una successione $(x_{k_{q+r}})$ i cui termini sono tutti diversi da $x 0$ ed anch'essa però convergente ad $x 0$ stesso (sempre per il teorema di Bolzano-Weierstrass). Dunque tale successione è in $A\setminus \{x_0\}$ , convergente in $x 0$ e dunque, per il lemma precedente, $x_0 \in D(A)$ e dunque $D(A)\neq \emptyset$ .

$\Box$

[modifica] Chiusura di un insieme ed insiemi chiusi

Un punto $x_0 \in \mathbb{R}$ si dice è un punto aderente di un insieme $A \subseteq \mathbb{R}$ se

$A\cap I\neq \emptyset$

qualsiasi sia l'intervallo di $x 0$ .

L'insieme dei punti aderenti di $A$ si dice chiusura di $A$ e si denota con il simbolo

$\overline{A}$ .

In termini intuitivi, un punto aderente è un punto reale "vicino quanto si voglia" ad un sottoinsieme $A$ .

[modifica] Proposizione

Sia $A \subseteq \mathbb{R}$ . Allora

$\overline{A}=A\cup D(A)$ .

[modifica] Dimostrazione

Notiamo innanzitutto che $\overline{A}\supseteq A$ in quanto ogni punto di $A$ è ovviamente punto aderente di $A$ , ma ce ne potrebbero essere anche altri al di fuori di $A$ , dunque ${\rm card}\overline{A}\geq {\rm card}A$ .
Analogamente, anche $\overline{A}\supseteq D(A)$ perché facendo il confronto di definizioni abbiamo

$x_0 \in D(A) \Longleftrightarrow \left(A \setminus {x_0}\right) \cup I \neq \emptyset,\ \forall I \in \mathcal{I}_{x_0}$

mentre

x 0

è un punto aderente di

A

se e solo se $A \cup I \neq \emptyset,\ \forall I \in \mathcal{I}_{x_0}$

Anche qui, la maggiore (o al più uguale) cardinalità della chiusura di $A$ rispetto ad $A$ stesso è evidente.

Ora, proviamo che $x_0 \in A \cup D(A),\ \forall x_0 \in \overline{A}$ . Se $x_0 \in A$ (preventivamente abbiamo supposto che stia nella chiusura), allora