La piastra ellittica

La piastra ellittica
	Tipo: lezione
	Materia: Scienza delle costruzioni
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Si consideri una piastra di forma ellittica con semiassi $a,b$ con $a<b$.

Piastra ellittica caricata uniformemente incastrata al contorno

Nota:
Inserire immagine della geometria del problema

Nel caso in cui si consideri che la piastra così definita sia sottoposta ad un carico uniformemente distribuito e sia incastrata al contorno è ancora possibile avere una soluzione analitica del genere trovato per la piastra circolare.

Per semplicità di trattazione, si fanno coincidere gli assi del riferimento $x,y$ con gli assi dell'ellisse $2a,2b$. L'equazione della superficie elastica, in questo caso, deve assumere la forma seguente:

$v_z=f\left(1-\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}\right)^2$

Questa forma, infatti, rispetta le equazioni al contorno, secondo cui deve essere $v_z=0$ e $dv_z/dy_i=0$.

Infatti il termine tra parentesi nell'equazione della superficie elastica è pari a zero in corrispondenza del contorno. Per comprendere ciò si consideri che $\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$ è l'equazione dell'ellisse, di conseguenza lungo il contorno si ha effettivamente $\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$, per cui $\left(1-\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}\right)=0$.

Derivando una volta l'equazione della superficie elastica rispetto ad esempio a $x$ si ottiene:

$\frac{dv_z}{dx}=-\frac{2x}{a^2}f\left(1-\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}\right)$

che si annulla ancora in corrispondenza del contorno perchè il termine tra parentesi è rimasto invariato.

Nelle equazioni precedenti $f$ rappresenta un fattore moltiplicativo, ma è dotato di un significato fisico ben preciso: considerando $x=0;y=0$, infatti, si ottiene $v_z=f$. Esso, cioè, rappresenta il valore dell'abbassamento in corrispondenza del centro della piastra, e cioè la freccia al centro.

È possibile a questo punto sostituire l'espressione di $v_z$ indicata all'interno dell'equazione della superficie elastica trovata in precedenza (badando di non confonderla con quella definita per la piastra circolare), e che si riporta per comodità:

$\frac{\delta^4v_z}{\delta x^4}+2\frac{\delta^4v_z}{\delta x^2\delta y^2}+\frac{\delta^4v_z}{\delta y^4}=\frac{p}{B}\to \mathcal{5}^4v_z=\frac{p}{B}$

Nota:
Inserire i passaggi matematici

Sostituendo e derivando opportunamente i termini si ottiene infine:

$f=\frac{p}{8B}\frac{a^2b^2}{3a^4+2a^2b^2+3b^4}$

Dal momento che si è definita completamente l'equazione della superficie elastica, è possibile calcolare tutto della piastra. I momenti cui è sottoposta sono pari a:

$\left\{ \begin{matrix} \begin{align} &M_x=4Bf\left[\left(\frac{1}{a^2}-\frac{3x^2}{a^4}-\frac{y^2}{a^2b^2}\right)+\nu\left(\frac{1}{b^2}-\frac{3y^2}{b^4}-\frac{x^2}{a^2b^2}\right)\right] \\ &M_y=4Bf\left[\left(\frac{1}{b^2}-\frac{3y^2}{b^4}-\frac{x^2}{a^2b^2}\right)+\nu\left(\frac{1}{a^2}-\frac{3x^2}{a^4}-\frac{y^2}{a^2b^2}\right)\right] \\ &M_{xy}=-(1-\nu)\frac{8Bf}{a^2b^2}xy \end{align}\end{matrix} \right .$

Si può dimostrare che i momenti flettenti massimi sono quelli agenti in corrispondenza dell'estremità del semiasse minore, e cioè per $x=a,y=0$, dove assume valore:

$M_x=-\frac{8Bf}{a^2}$