Integrale generalizzato

Da Wikiversità, l'università aperta.

Avanzamento lezione: 25% al 26-11-2009.

Materia:Analisi matematica > Integrale generalizzato

Siano $a,b \in \mathbb{R}\cup \{\pm \infty\},\ a<b$ e sia $f$ una funzione continua. Si dice che $f$ è integrabile in senso generalizzato su

$[a, b [$
$] a, b]$
$] a, b [$

se:

[modifica] $f \in \mathcal{C}([a,b[,\mathbb{R})$

Esiste finito

$\lim_{y\to b^-} \int_a^y f(x)dx$

[modifica] $f \in \mathcal{C}(]a,b],\mathbb{R})$

Esiste finito

$\lim_{y\to a^+} \int_y^b f(x)dx$

[modifica] $f \in \mathcal{C}(]a,b[,\mathbb{R})$

Per un $c \in ]a,b[$ $f$ è integrabile in senso generalizzato su $] a, c]$ e su $[c, b [$ . In tal caso

$\int_a^b f(x)dx = \int_a^c f(x)dx + \int_c^b f(x)dx$

Tenete ben presente che la scelta di $c$ non è affatto determinante.

Nota:
eventualmente fare la dimostrazione

In tutti questi casi, il limite finito (cioè l'integrale generalizzato) è per definizione uguale all'integrale $\int_a^b f(x)dx$ e si dice convergente.

[modifica] Teorema

Sia $f \in \mathcal{C}([a,b[,\mathbb{R})$ . $F$ è integrabile in senso generalizzato su $[a, b [$ se e solo se

$\forall \varepsilon > 0\ \exists \mathcal{W} \in \mathcal{U}_b\ :\ x,x' \in [a,b[ \cup \mathcal{W} \Rightarrow \left| \int_{x'}^x f(t)dt \right| < \varepsilon$

[modifica] Dimostrazione

Nota:
fare la dimostrazione

[modifica] Proposizione

$\int_a^b |f(x)|dx \in \mathbb{R} \Rightarrow \int_a^b f(x)dx \in \mathbb{R}$

[modifica] Dimostrazione

Nota:
fare la dimostrazione

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[modifica] $f \in \mathcal{C}([a,b[,\mathbb{R})$

[modifica] $f \in \mathcal{C}(]a,b],\mathbb{R})$

[modifica] $f \in \mathcal{C}(]a,b[,\mathbb{R})$

[modifica] Teorema

[modifica] Dimostrazione

[modifica] Proposizione

[modifica] Dimostrazione

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