I moduli tecnici

I moduli tecnici
	Tipo: lezione
	Materia: Scienza delle costruzioni
	Programma: [[{{{programma1}}}]]
	Programma: [[{{{programma2}}}]]
	Programma: [[{{{programma3}}}]]
	Programma: [[{{{programma4}}}]]

I moduli tecnici precedentemente introdotti hanno un significato fisico ben preciso.

Per comprendere ciò si consideri uno stato di tensione monoassiale, in cui ad esempio agisca solo la tensione $\sigma_{11}$. In questa condizione si ha:

$\begin{cases} \epsilon_{11}=\frac{1}{E} \sigma_{11} \\ \epsilon_{22}=\epsilon_{33}=-\frac{1}{E} \nu \sigma_{11} \\ \gamma_{12}=\gamma_{13}=\gamma_{23}=0 \end{cases}$

Il modulo $E$, cioè, rappresenta un coefficiente di proporzionalità tra la tensione agente in una direzione e la dilatazione lineare che essa provoca nella sua stessa direzione. Rappresenta, cioè, la capacità che il corpo oppone al tentativo di deformazione offerto dalla tensione considerata, e all'aumentare del suo valore decresce la deformazione sotto una medesima tensione.

Il coefficiente $\nu$ rappresenta il rapporto esistente tra le deformazioni laterali $\epsilon_{22}=\epsilon_{33}$ e la deformazione nella direzione della tensione applicata. Esso rappresenta, in pratica, la capacità che il corpo ha di opporsi all'espansione o alla contrazione laterale. All'aumentare del suo valore si ha un aumento delle deformazioni laterali.

Si consideri ora uno stato tensionale in cui agisca solo una tensione $\tau_{12}$. In questo caso l'unica componente di deformazione presente è:

$\gamma_{12}=\frac{1}{G}\tau_{12}$

Il modulo $G$, cioè, rappresenta il corrispettivo per le tensioni tangenziali del modulo $E$, ed è dunque la capacità che il corpo ha di opporsi agli scorrimenti.

Correlazioni tra i moduli tecnici

I moduli tecnici, in realtà, non sono indipendenti tra loro: noti due di essi, è possibile derivare la conoscenza del terzo.

Per dimostrare questa asserzione si considerino le relazioni di elasticità trovate in precedenza riferite a due deformazioni lineari generiche, di normali $\mathbf{n};\mathbf{m}$ e supponendo ad esempio che l'altra normale coincida con la direzione $y_3$:

$\begin{cases} \epsilon_n=\frac{1}{E} \left[ \sigma_n - \nu (\sigma_m+\sigma_{33}) \right] \\ \epsilon_m=\frac{1}{E} \left[ \sigma_m - \nu (\sigma_n+\sigma_{33}) \right] \end{cases}$

Sottraendo i termini si ottiene:

$\epsilon_n-\epsilon_m=\frac{1}{E} \left[ \sigma_n - \nu (\sigma_m+\sigma_{33}) \right]-\frac{1}{E} \left[ \sigma_m - \nu (\sigma_n+\sigma_{33}) \right]$

Da cui:

$E (\epsilon_n-\epsilon_m)=\sigma_n - \nu (\sigma_m+\sigma_{33}) -\sigma_m + \nu (\sigma_n+\sigma_{33})\to$

$\to E (\epsilon_n-\epsilon_m)=(1+\nu)(\sigma_n-\sigma_m)$

Si supponga ora che le direzioni considerate coincidano con le bisettrici del piano $y_1,y_2$, per cui caratterizzate dai coseni direttori $n_1=\sqrt{2}/2;n_2=\sqrt{2}/2;n_3=0;m_1=-\sqrt{2}/2;m_2=\sqrt{2}/2;m_3=0$. Essendo $\epsilon_n=\sum_{i,k=1}^3 \epsilon_{ik}n_in_k$ si ottiene:

$\begin{matrix} \epsilon_n=\frac{\epsilon_1}{2}+\frac{\epsilon_2}{2}+\frac{\gamma_{12}}{2} \\ \epsilon_m=\frac{\epsilon_1}{2}+\frac{\epsilon_2}{2}-\frac{\gamma_{12}}{2} \end{matrix}$

Sottraendo membro a membro:

$\epsilon_n-\epsilon_m=\gamma_{12}$

Agendo in maniera analoga si può ottenere:

$\sigma_n-\sigma_m=\tau_{12}$

Si può, dunque, scrivere:

$E(\epsilon_n-\epsilon_m)=(1-\nu)(\sigma_n-\sigma_m) \to E\gamma_{12}=(1+\nu)\tau_{12} \to G=\frac{E}{2(1+\nu)}$

Di conseguenza, le costanti elastiche indipendenti nel caso di materiale iperelastico lineare omogeneo e isotropo si riducono a due.

Valori dei moduli tecnici

I moduli tecnici, tuttavia, non possono assumere valori qualsiasi. I limiti imposti ai loro valori si deducono direttamente dalla definizione di energia di deformazione, e dalla considerazione fatta della sua necessaria positività. Esprimendola in termini di tensioni principali si ottiene:

$\phi=\frac{1}{2E}(s_1^2+s_2^2+s_3^2)-\frac{\nu}{E}(s_1s_2+s_1s_3+s_2s_3)$

La positività di questa equazione può essere studiata attraverso la positività della matrice associata:

$\begin{bmatrix} \frac{1}{E} & -\frac{\nu}{E} & -\frac{\nu}{E} \\ -\frac{\nu}{E} & \frac{1}{E} & -\frac{\nu}{E} \\ -\frac{\nu}{E} & -\frac{\nu}{E} & \frac{1}{E} \end{bmatrix}$

Senza entrare nei dettagli matematici, la risoluzione del problema porta a definire i seguenti limiti teorici:

$\begin{cases} E>0 \\ G>0 \\ -1<\nu <\frac{1}{2} \end{cases}$

Si fa notare che un valore di $\nu$ negativo corrisponde ad una situazione in cui un corpo in trazione si espande lateralmente e viceversa un corpo in compressione. Questo fatto, per quanto teoricamente possibile, è controintuitivo e nelle applicazioni pratiche, da riscontri con i dati sperimentali, si preferisce fornire la limitazione che:

$0<\nu <\frac{1}{2}$

Nota:
continuare