Gruppi ortogonali e spazi perpendicolari

Da Wikiversità, l'università aperta.

Avanzamento lezione: 100% al 23-11-2009.

Materia:Geometria > Gruppi ortogonali e spazi perpendicolari

Indice

1 Definizione di matrice ortogonale e gruppo ortogonale
2 Proprietà delle matrici ortogonali
3 Sottospazi perpendicolari
- 3.1 Proposizione (relazioni di dimensione tra lo spazio e il sottospazio perpendicolare)
  - 3.1.1 Dimostrazione
- 3.2 Proposizione
  - 3.2.1 Dimostrazione

In questo corso verranno studiate alcune interessanti proprietà delle matrici su un campo $\mathbb{K}$ , che si riveleranno utili per trovare funzioni tali che l'immagine di una base ortonormale è ancora una base ortonormale. Inoltre, dato uno spazio vettoriale euclideo $< V, < , > >$ , verranno trattate alcuni sottospazi che sono definite tramite il prodotto scalare: il sottospazio perpendicolare.

L'insieme delle matrici quadrate di ordine $n$ su un campo $\mathbb{K}$ sarà denotato con $M_n(\mathbb{K})$ . L'insieme delle matrici invertibili su $\mathbb{K}$ sarà denotato con $GL_n(\mathbb{K})$ .

Sia $A \in M_n(\mathbb{K})$ . La matrice trasposta di $A$ (cioè la matrice tale che le sue righe corrispondono alle colonne di $A$ ) verrà denotato con $A t$ . La matrice identica verrà denotata con $I$ . L'inversa di $A$ , se esiste, verrà denotata con $A - 1$ .

[modifica] Definizione di matrice ortogonale e gruppo ortogonale

Una matrice $A \in GL_n(\mathbb{K})$ dice ortogonale se $A - 1 = A t$

Definiamo $O_n(\mathbb{K})=\left\{A\in GL_n(\mathbb{K})\ : \ A \mbox{ ortogonale} \right\}$ il gruppo ortogonale di ordine $n$ su $\mathbb{K}$ . Esso e' non vuoto perché $I \in O_n(\mathbb{K})$

È noto che $(GL_n(\mathbb{K}), \cdot)$ è un gruppo detto gruppo lineare di dimensione $n$ su $\mathbb{K}$ . Si può dimostrare che $(O_n(\mathbb{K}), \cdot)$ è un sottogruppo di $GL_n(\mathbb{K})$ o, equivalentemente, $A, B \in O_n(\mathbb{K}) \Rightarrow A^{-1}B \in O_n(\mathbb{K})$ (si vedano le proprietà di un sottogruppo).

Infatti $A, B \in O_n(\mathbb{K}) \Rightarrow (A^{-1}B)^{-1}=B^{-1}(A^{-1})^{-1}=B^t(A^{-1})^t=(A^{-1}B)^t \Rightarrow A^{-1}B \in O_n(\mathbb{K})$ .

$\Box$

[modifica] Proprietà delle matrici ortogonali

[modifica] Proposizione

$A \mbox{ è ortogonale }\iff A^tA^{-1}=I=A^{-1}A^t$

[modifica] Dimostrazione

Supponiamo $A$ ortogonale. Allora $A^{-1}=A^t \Rightarrow AA^{-1}=I=AA^t$ e $A - 1 A = I = A t A$

Viceversa se $A t A = I = A A t$ , allora $A t A = A A - 1 = A A t$ . Siamo in un gruppo, quindi la regola della cancellazione di $A$ prova che, in ogni caso, $A - 1 = A t$ .

$\Box$

[modifica] Osservazione

Osserviamo che se $A \in O_n(\mathbb{K})$ , allora il suo determinante è $\pm 1$ .

Infatti $1 = \det(I)=\det(AA^t)=\det(A) \det(A^t)=(\det A)^2\Rightarrow \det A = \pm\sqrt{1}=\pm 1$

Il viceversa non vale, perché, ad esempio, la matrice $\begin{pmatrix}1 & 1 \\ 0 & 1\end{pmatrix}$ ha determinante 1, ma $\begin{pmatrix}1 & 1 \\ 0 & 1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}1 & 0 \\ 1 & 1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}2 & 1 \\ 1 & 1\end{pmatrix}\neq\begin{pmatrix}1 & 0 \\ 0 & 1\end{pmatrix}$ .

$\Box$

[modifica] Sottogruppo speciale

Definiamo ora un sottogruppo di $O_n(\mathbb{K})$ che denotiamo con $SO_n(\mathbb{K})=\left\{A \in O_n(\mathbb{K})\ :\ \det A =1 \right\}$ . Questo sottogruppo è detto sottogruppo speciale ortogonale di ordine $n$ su $\mathbb{K}$ .

[modifica] Proposizione

Sia $(V, < , > )$ uno spazio vettoriale euclideo, con $dim(V) = n$ .

Sia $U=(\mathbf{u}_1,\dots,\mathbf{u}_n)$ una base ortonormale di $(V, < , > )$ . Un'altra base $B=(\mathbf{v}_1,\dots,\mathbf{v}_n)$ è ortonormale se e solo se è ortogonale la matrice del cambiamento di base $M U B$ .

[modifica] Dimostrazione

Sia $M U B = (a i j)$ la matrice del cambiamento di base, ossia tale che $\mathbf{v}_i=\sum_{k=1}^n a_{ik}\mathbf{u}_k$ con $i=1,\dots,n$ .

$U$ è una base ortonormale, quindi $\forall \mathbf{v},\mathbf{w} \in V, <\mathbf{v},\mathbf{w}>=\sum_{i=1}^n x_iy_i$ , con $x i$ e $y i$ le rispettive coordinate nella base $U$ .

Se $M U B$ è ortogonale, allora (ricordando che se $A = (a i j)$ , allora $A t = (a j i)$ ):

$M_{UB}M_{UB}^t=(c_{ij}),\ c_{ij}= \sum_{k=1}^n a_{ik}a_{jk}= < \mathbf{v}_i,\mathbf{v}_j >= \begin{cases}1,\ i=j \\ 0,\ i \neq j \end{cases}$ . E quindi B è ortonormale.

Viceversa, se $B$ è ortonormale, allora $< \mathbf{v}_i,\mathbf{v}_j >=\begin{cases}1,\ i=j \\ 0,\ i \neq j \end{cases}$ cioè se $M_{UB}^tM_{UB} = I$ e dunque $M_{UB} \in O_n(\mathbb{K})$

$\Box$

[modifica] Sottospazi perpendicolari

Sia $W$ un sottoinsieme non vuoto di $(V, < , > )$ . Definiamo il sottospazio perpendicolare di $W$

${\rm perp}(W)=\left\{\mathbf{v} \in V\ :\ <\mathbf{v,w}>=0,\ \forall \mathbf{w}\in W \right\}$

La dimostrazione che $perp(W)$ è effettivamente un sottospazio è semplice e la omettiamo per non appesantire ancora di più questa lezione già di per se parecchio onerosa.

[modifica] Proposizione (relazioni di dimensione tra lo spazio e il sottospazio perpendicolare)

Sia $W$ un sottospazio di $(V, < , > )$ , $dim V = n$ . Allora

$V=W \oplus {\rm perp}(W)$

[modifica] Dimostrazione

Se $W = 0$ la tesi è banale perché $perp(W) = V$ .

Sia allora $W \neq 0$ e e fissiamo una base ortonormale $B=(\mathbf{w}_1,\dots,\mathbf{w}_m)$ . Per ogni $\mathbf{v} \in V$

Nota:
completare la dimostrazione perché non è molto chiara dagli appunti

[modifica] Proposizione

Siano $U, W$ sottospazi di $(V, < , > )$ . Allora

$perp(perp(U)) = U$
$U \subseteq W \Leftrightarrow {\rm perp}(U)\supseteq {\rm perp}(W)$

[modifica] Dimostrazione

Nota:
scrivere la dimostrazione. Prop. 162

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[modifica] Definizione di matrice ortogonale e gruppo ortogonale

[modifica] Proprietà delle matrici ortogonali

[modifica] Proposizione

[modifica] Dimostrazione

[modifica] Osservazione

[modifica] Sottogruppo speciale

[modifica] Proposizione

[modifica] Dimostrazione

[modifica] Sottospazi perpendicolari

[modifica] Proposizione (relazioni di dimensione tra lo spazio e il sottospazio perpendicolare)

[modifica] Dimostrazione

[modifica] Proposizione

[modifica] Dimostrazione

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