Gruppi ortogonali e spazi perpendicolari

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Avanzamento lezione: 100% al 28-08-2008.

Materia:Geometria > Gruppi ortogonali e spazi perpendicolari

Indice

[modifica] Gruppi ortogonali

Definiamo O_n(\mathbb{K})\left\{A\in M_n(\mathbb{K})\ : \ ^tA=A^{-1}\right\} il gruppo ortogonale di ordine n su \mathbb{K}. Questo gruppo è un sottogruppo di GL_n(\mathbb{K}). Infatti:

  • ^t I_n = I_n^{-1} \Rightarrow I_n \in O_n(\mathbb{K})
  • ..

Nota:
completare la dimostrazione. prop 156


[modifica] Osservazione

Osserviamo che se A \in O_n(\mathbb{K}), allora il suo determinante è \pm 1. Infatti A\ ^tA=I_n \Rightarrow 1 = \det (A) \det(\ ^tA)=(\det A)^2\Rightarrow \det A = \sqrt{1}=\pm 1

[modifica] Sottogruppo speciale

Definiamo ora un sottogruppo di O_n(\mathbb{K}) che denotiamo con SO_n(\mathbb{K})=\left\{A \in O_n(\mathbb{K})\ :\ \det A =1 \right\} . Questo sottogruppo è detto sottogruppo speciale ortogonale di ordine n su \mathbb{K}.

[modifica] Proposizione

Sia U una base ortonormale di (V, < , > ) e dimV = n.

Un'altra base B=(v_1,\dots,v_n) è ortonormale se e solo se è ortogonale la matrice del cambiamento di base MUB.

[modifica] Dimostrazione

\mathbf{v}_i=\sum_{j=1}^n x_{ij}\mathbf{u}_j con i=1,2,\dots,n. Se MUB è ortogonale,

^tM_{UB}M_{UB}=(c_{ik}),\ c_{ik}=\sum_{j=1}^n x_{ij}x_{jk}=\ <v_i,v_k> .

B è ortonormale se c_{ik}=\begin{cases}1,\ i=k \\ 0,\ i \neq k \end{cases} cioè se tMUBMUB = In e dunque se e solo se M_{UB} \in O_n(\mathbb{K})

\Box


[modifica] Sottospazi perpendicolari

Sia W un sottoinsieme non vuoto di (V, < , > ). Definiamo il sottospazio perpendicolare di W

{\rm perp}(W)=\left\{\mathbf{v} \in V\ :\ <\mathbf{v,w}>=0,\ \forall \mathbf{w}\in W \right\}

La dimostrazione che perp(W) è effettivamente un sottospazio è semplice e la omettiamo per non appesantire ancora di più questa lezione già di per se parecchio onerosa.

[modifica] Proposizione (relazioni di dimensione tra lo spazio e il sottospazio perpendicolare)

Sia W un sottospazio di (V, < , > ), dimV = n. Allora

V=W \oplus {\rm perp}(W)

[modifica] Dimostrazione

Se W = 0 la tesi è banale perchè perp(W) = V.

Sia allora W \neq 0 e e fissiamo una base ortonormale B=(\mathbf{w}_1,\dots,\mathbf{w}_m). Per ogni \mathbf{v} \in V

Nota:
completare la dimostrazione perchè non è molto chiara dagli appunti



[modifica] Proposizione

Siano U,W sottospazi di (V, < , > ). Allora

  1. perp(perp(U)) = U
  2. U \subseteq W \Leftrightarrow {\rm perp}(U)\supseteq {\rm perp}(W)

[modifica] Dimostrazione

Nota:
scrivere la dimostrazione. Prop. 162

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