Materia:Geometria

La geometria (dal greco antico γεωμετρία, composto da γεω, geo = "terra" e μετρία, metria = "misura", tradotto quindi letteralmente come misurazione della terra) è quella parte della scienza matematica che si occupa delle forme nel piano e nello spazio e delle loro mutue relazioni.

In questo corso affronteremo i seguenti argomenti:

• Geometria euclidea, cioè la geometria che si basa sui cinque postulati di Euclide e in particolar modo sul postulato delle parallele.
• Geometria affine, cioè la geometria che tratta essenzialmente quegli argomenti della geometria euclidea che possono essere sviluppati senza l'uso dei concetti di angolo e distanza.
• Geometria analitica, cioè la geometria che permette di rappresentare rette, piani, ecc.. mediante equazioni analitiche.

Si tratta di una materia di fondamentale importanza che trova spazio in innumerevole applicazioni.

Prerequisiti

Geometria è una di quelle materie in cui gli argomenti sono tutti in stretta relazione tra loro. Per comprendere al meglio gli argomenti di geometria analitica è consigliabile prima soffermarsi sull'algebra lineare, comprendere il significato geometrico degli omomorfismi ed in generale costruire una visione geometria di tutti i concetti.

Soprattutto per le applicazioni lineari, autovalori-autovettori ed in generale gli argomenti a cavallo tra il primo ed il secondo modulo, è fondamentale prendere confidenza con l'argomento cercando di risolvere quanti più esercizi si riesce.

Programma dettagliato

Modulo 1

• Strutture algebriche di base: dominio, codominio, funzione, iniettività, suriettività, campo e sue proprietà.
• Matrici: operazioni fra matrici (somma e prodotto), matrice nulla, matrice opposta, matrice identica, matrice inversa, matrice invertibile, matrice trasposta, matrice simmetrica, matrice diagonale, matrice scalare.
• Spazi vettoriali: sottoinsieme e sottospazio vettoriale, intersezione, unione, somma, somma diretta, Formula di Grassmann.
• Dipendenza lineare: generatori, famiglie linearmente indipendenti e dipendenti, base, dimensione.
• Applicazioni lineari: nucleo, immagine, antimmagine, teorema delle dimensioni.
• Sistemi lineari e forma canonica della matrice: Rango di una matrice, operazioni elementari su una matrice, metodo per calcolare la inversa di una matrice, teorema di Rouché-Capelli, sistemi di Cramer.
• Determinante: proprietà, regola di Sarrus, formula di Laplace, matrice inversa, sottomatrici, minori.
• Relazione fra applicazioni lineari e matrici: matrice associata, cambiamento di base.

Modulo 2

• Diagonalizzabilità: endomorfismi, autovettore e autovalore, autospazi, equazione e polinomio caratteristico, moltiplicità, diagonalizzazione di una matrice, similitudine.
• Spazi euclidei: forme bilineari, prodotto scalare, prodotto vettoriale, basi ortogonali e ortonormali, gruppo ortogonale, spazio perpendicolare, spazio metrico.
• Forme quadratiche: coniche a centro, matrice associata.
• Geometria analitica nel piano e nello spazio: rette, piani, fasci di rette e fasci di piani, rette complanari (parallele, coincidenti, incidenti), rette sghembe, distanza punto piano, distanza punto retta, distanza fra rette sghembe, area e volume, relazioni fra rette, relazioni tra retta e piano.

Modulo 3

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Modulo 1

1. Insiemi e relazioni
2. ...

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Modulo 2

1. Forme Bilineari
2. Gruppi ortogonali e spazi perpendicolari

È possibile, e fortemente consigliato, integrare le lezioni e valutare la propria preparazione attraverso queste esercitazioni. È possibile verificare la conoscenza di un argomento specifico o dell'intero programma.

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Esami del modulo 1

• Esame 240308

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