Funzioni monotone

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Materia:Analisi matematica > Funzioni monotone

Avanzamento lezione: 75% al 26-11-2009.

Si dice che una funzione $f:A\to \mathbb{R}$ è monotona

crescente quando $f(x_1)\leq f(x_2),\ \forall x_1 \leq x_2 \in A$
strettamente crescente quando $f(x_1)< f(x_2),\ \forall x_1 < x_2 \in A$
decrescente quando $f(x_1)\geq f(x_2),\ \forall x_1 \leq x_2 \in A$
strettamente decrescente quando $f(x_1)> f(x_2),\ \forall x_1 > x_2 \in A$

nota

Per indicare una funzione monotona crescente o decrescente, a volte scriveremo $f \uparrow$ e $f \downarrow$ .

Indice

1 Esistenza del limite per le funzioni monotone
- 1.1 Dimostrazione
2 Esempi conclusivi
- 2.1 Esempio 1
  - 2.1.1 1
  - 2.1.2 2

[modifica] Esistenza del limite per le funzioni monotone

Sia $f:A\to \mathbb{R},\ f\uparrow$ . Allora:

$x_0 \in D(A)\cap ]x_0,+\infty[\ \exists \lim_{x \to x_0^+}f(x)$ e $\lim_{x \to x_0^+}f(x)=\inf_{A\cap ]x_0,+\infty[}f$
$x_0 \in D(A)\cap ]-\infty,x_0[\ \exists \lim_{x \to x_0^-}f(x)$ e $\lim_{x \to x_0^-}f(x)=\sup_{A\cap ]-\infty,x_0[}f$
$+\infty \in D(A)\ \exists \lim_{x \to +\infty}f(x)$ e $\lim_{x \to +\infty}f(x)=\sup_A f$
$-\infty \in D(A)\ \exists \lim_{x \to -\infty}f(x)$ e $\lim_{x \to -\infty}f(x)=\inf_A f$

In conclusione: ogni funzione monotone ha limite in ogni punto del suo dominio.

[modifica] Dimostrazione

Dimostriamo solo la prima come titolo di esempio.
Supponiamo dapprima $\inf_{A\cap ]x_0,+\infty[}f = \lambda \in \mathbb{R}$ .
Per definizione di estremo inferiore, se $λ$ è l'estremo inferiore, allora è il più grande dei minoranti (in $f$ , non dimentichiamolo) di $A\cap ]x_0,+\infty[$ . Dunque, se aggiungiamo qualcosa a $λ$ , non è più un minorante e dunque esiste in $A\cap ]x_0,+\infty[$ un qualche valore che chiamiamo $x'$ tale che $f (x')$ sia minore di $\lambda + \varepsilon$ , cioè

$\forall \varepsilon >0 \exists x' \in A\cap ]x_0,+\infty[\ :\ f(x')<\lambda +\varepsilon$ .

D'altra parte, per la monotonia (crescente) di $f$ ,

$f(x)\leq f(x'),\forall x \in A\cap ]x_0,+\infty[,x \leq x'$ ed in particolare se

x < x'

. Conseguentemente

$f(x)<\lambda + \varepsilon,\forall x \in A\cap ]x_0,+\infty[,x < x'$ e questo vale quindi, per ogni

x

tale che

x 0 < x < x'

.

D'altra parte, poiché $\lambda=\inf_{A\cap ]x_0,+\infty[}f$ , abbiamo che

$\lambda \leq f(x),\ \forall x \in A\cap ]x_0,+\infty[$ e conseguentemente

$\lambda - \varepsilon < f(x),\forall x \in A\cap ]x_0,+\infty[$ .

Dunque abbiamo visto che $f (x)$ è compresa tra $\lambda - \varepsilon$ e $\lambda + \varepsilon$ per degli opportuni $x$ e sentiamo già odore di definizione di limite!
Infatti

$\forall \varepsilon >0 \exists \delta >0\ :\ \lambda - \varepsilon < f(x) < \lambda + \varepsilon,\ \forall x \in A, x \in ]x_0,x'[$

Volendo trovare una definizione più simile a quella a cui siamo abituati, poniamo $δ = x' - x 0$ (che è maggiore di zero) si ha

$\forall \varepsilon >0 \exists \delta >0\ :\ \lambda - \varepsilon < f(x) < \lambda + \varepsilon,\ \forall x \in A, x \in ]x_0,x_0+\delta[$

che è la definizione di questo limite:

$\lim_{x \to x_0^+}f(x)=\lambda = \inf_{A\cap ]x_0,+\infty[}f$

Se invece $\inf_{A\cap ]x_0,+\infty[}f = - \infty$ , abbiamo che

$\forall y \in \mathbb{R} \exists x'A\cap ]x_0,+\infty[\ :\ f(x')< y \in$ .

Poiché $f$ è monotona crescente, si ha $f(x)\leq f(x'),\ \forall x <x'$ (e naturalmente $x \in A\cap ]x_0,+\infty[)$ . Dunque, ponendo anche qui $δ = x' - x 0$ , abbiamo:

$\forall y \in \mathbb{E}\exists \delta > 0\ :\ f(x)<y,\ \forall x \in A, x \in ]x_0,x_0+\delta[$

che è la definizione di questo limite:

$\lim_{x \to x_0^+}f(x)=-\infty = \inf_{A\cap ]x_0,+\infty[}f$

$\Box$

[modifica] Esempi conclusivi

[modifica] Esempio 1

[modifica] 1

$\lim_{x \to \infty}\ln x = + \infty$

La funzione logaritmo è monotona crescente strettamente in quanto se $x< x' \in A=\mathbb{R}^+$ , si ha che $y = ln x < y' = ln x'$ perché $e^y < e^{y'}, \forall y<y'$ .

Dunque, per il Teorema visto prima, dovremmo avere $\lim_{x \to \infty}\ln x$ esiste ed è uguale al $\sup_{\mathbb{R}^+}\ln$ .
d'altra parte, $\ln e^n = n,\forall n \in \mathbb{N}$ che diverge, dunque non ci può essere estremo superiore reale (visto che non converge) e $\sup_{R^+} \ln = +\infty$ . Dunque, per il precedente Teorema,

$\lim_{x \to \infty}\ln x = + \infty$

come si voleva dimostrare.

[modifica] 2

$\lim_{x \to 0^+}\ln x = - \infty$

Per quanto visto prima, la funzioen logaritmo è strettamente crescente, dunque ci aspettiamo che il limite che vogliamo dimostrare sia effettivamente $-\infty$ (sempre per il Teorema).
Per il Teorema precedente, dovremmo avere $\lim_{x \to 0^+}\ln x$ esiste ed è uguale al $\inf_{\mathbb{R}^+}\ln$ . Ora, come abbiamo fatto prima, notiamo che $\ln e^{-n} = \ln \frac{1}{e^n} = -n,\forall n \in \mathbb{N}$ e siccome $(a n) = - n$ è una successione divergente a $- \infty$ , allora certamente $\inf_{\mathbb{R}^+}\ln$ sarà anche lui $-\infty$ . Dunque, per il Teorema precedente, $\lim_{x \to 0^+}\ln x = - \infty$ .

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[modifica] Dimostrazione

[modifica] Esempi conclusivi

[modifica] Esempio 1

[modifica] 1

[modifica] 2

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