Funzioni derivabili e derivata di una funzione

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Materia:Analisi matematica > Funzioni derivabili e derivata di una funzione

[modifica] Rapporto incrementale e definizione di derivata

Diamo prima la definizione di derivata di una funzione, poi discutiamone il significato.

Sia f:A\to\mathbb{R},A\subseteq \mathbb{R} e sia poi x_0 \in A\cap D(A). Definiamo il rapporto incrementale di f nel punto x0 la funzione

\dfrac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}.

Si dice poi che f è derivabile in x0 se esiste ed è reale

\lim_{x\to x_0}\dfrac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0} .

Tale limite si chiama derivata di f nel punto x0 e si denota equivalentemente con

f'(x0), \mathcal{D}f(x_0), \frac{df(x)}{dx}_{x=x_0}

Se il limite esiste ma non è reale (è dunque +\infty o -\infty, f si dice derivabile in senso esteso in x0


In termini intuitivi la derivata di una funzione è il coefficiente angolare della retta secante la funzione e passante per i punti x0 e x. Vediamone un esempio grafico intuitivo.

Il coefficiente angolare di una retta è uguale alla tangente. Essendo f(x) − f(x0) = sinx e x − x0 = cosx, la tangente \frac{\sin x}{\cos x}, cioè il coefficiente angolare della nostra retta è \frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0} che è proprio il rapporto incrementale!

[modifica] Osservazione

Sia f:A\to \mathbb{R} e sia x_0 \in A \cap D(A).

f derivabile in x_0 \Longrightarrow f continua.

[modifica] Dimostrazione

Supponiamo che f sia continua. Allora f(x) − f(x) tende a 0 per x che tende a x0. Allora

f(x)-f(x_0)=\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}(x-x_0)

il rapporto incrementale tende a f'(x0) e x − x0 tende a 0 per x\to x_0. Dunque:

\lim_{x\to x_0}\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}(x-x_0) = 0 anch'esso, come volevamo dimostrare.

\Box

È interessante notare esplicitamente che l'implicazione inversa non vale in generale. Facciamo un controesempio; f:\mathbb{R}\to\mathbb{R},f(x)=\mid x \mid. La funzione valore assoluto è certamente continua (addirittura è continua in ogni punto del suo dominio, dunque anche in x0, tuttavia f non è derivabile nel punto x0 = 0.

Infatti \lim_{x\to 0}\frac{|x|}{x}= \begin{cases}1 \text{ per }x\to 0^+ \\ -1 \text{ per } x\to 0^- \end{cases}. I due limiti sono diversi, dunque non esiste il limite del rapporto incrementale e la funzione non è derivabile .

[modifica] Esempi di funzioni derivabili

Vediamo ora alcuni esempi di funzioni notevoli derivabili e ne calcoliamo poi la derivata. Prima un appunto di notazione.

\lim_{x \to x_0}\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0} e scriviamo ora x − x0 = h . Allora x = x0 + h e x_0+h \to x_0 per h \to 0. Abbiamo ora che

\lim_{h \to 0} \frac{f(x_0+h)-f(x_0)}{h}

Useremo convenientemente i due modi di rappresentare il rapporto incrementale a seconda dei casi.


[modifica] 1 - derivata di una potenza

f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}, f(x)=x^n, n\in \mathbb{N}. Dimostriamo che f'(x) = nxn − 1. Infatti, tenendo a mente che a^n-b^n=(a-b)(a^{n-1}+a^{n-2}b+a^{n-3}b^2+\dots+ab^{n-2}+b^{n-1} abbiamo:

\lim_{h\to 0}\frac{f(x_0+h)-f(x_0)}{h} \Rightarrow \lim_{h\to 0}\frac{(x+h)^n-x^n}{h}= \lim_{h \to 0} \frac{\left( (x+h)-x\right)\left( (x+h)^{n-1}+(x+h)^{n-2}x+\dots+(x+h)x^{n-2}+x^{n-1}\right)}{h}

\lim_{h \to 0} \frac{h\left( (x+h)^{n-1}+(x+h)^{n-2}x+\dots+(x+h)x^{n-2}+x^{n-1}\right)}{h}= \lim_{h \to 0}\left( (x+h)^{n-1}+(x+h)^{n-2}x+\dots+(x+h)x^{n-2}+x^{n-1}\right)= =\sum_{i=1}^n x^{n-1} = nx^{n-1}

[modifica] 2 - derivata di ex

Dimostriamo che la derivata di f(x) = ex è uguale a ex. Infatti:

f'(x_0)= \lim_{h\to 0}\frac{f(x_0+h)-f(x_0)}{h} \Rightarrow \lim_{h\to 0}\frac{e^{x_0+h}-e^x_0}{h}=\lim_{h\to 0}e^x\frac{e^h-1}{h} .

ex tende a ex per h\to 0 e \frac{e^h-1}{h} tende a 1 per h\to 0 ( per la definizione di e). Dunque Dex = ex.

[modifica] 3 - derivata di logx

\lim_{x \to x_0} \frac{\log x - \log x_0}{x-x_0}. Scriviamo \log x = y \Leftrightarrow e^y=x e \log x_0 = y_0 \Leftrightarrow e^{y_0}=x_0.

\frac{y-y_0}{e^y-e^{y_0}}=\dfrac{1}{\frac{e^y-e^{y_0}}{y-y_0}}. Abbiamo che x\to x_0 \Rightarrow \log x \to \log x_0 \Rightarrow y\to y_0 e dunque il denominatore tende a De^{y_0}=e^y_0=x_0. Dunque D\log x = \frac{1}{x}.

[modifica] 4-Derivata delle funzioni circolari

Dimostriamo che D\sin x = \cos x,\forall x \in \mathbb{R} e D\cos x = -\sin x, \forall x \in \mathbb{R}.

Premettiamo però un limite che non dimostreremo adesso ma che si rivela molto utile: \lim_{h \to 0} \frac{\sin h}{h}=1.

Ora: \lim_{h \to 0} \frac{1-\cos h}{h^2} = \lim_{h \to 0} \frac{(1-\cos h)(1+\cos h)}{h^2(1+\cos h)}= \lim_{h \to 0} \frac{1-\cos^2 h}{h^2(1+\cos h)}= \lim_{h \to 0}\left(\frac{\sin h}{h}\right)^2 \frac{1}{1+\cos h}=\frac{1}{2}

Adesso procediamo con la dimostrazione della derivata di sinx.

\lim_{h \to 0}\frac{\sin (x+h)-\sin x}{h} = \lim_{h \to 0}\frac{\sin x \cos h + \sin h \cos x - \sin x}{h}= \lim_{h \to 0}\left( \sin x \frac{\cos h -1}{h}+\cos x\frac{\sin h}{h} \right).

\sin x \frac{\cos h -1}{h} tende a 0 mentre \cos x\frac{\sin h}{h} tende a \cos x \cdot 1=\cos x. Dunque ecco dimostrata la derivata notevole del seno.

Analoghe dimostrazioni provano la derivata delle altre funzioni circolari e sono lasciate per esercizio.



Vediamo ora un'ultima osservazione estremamente importante.

[modifica] Osservazione

Sia f:A\to \mathbb{R} e sia x_0 \in A \cap D(A) e supponiamo f derivabile in x0.

Allora \frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}-f'(x_0):= \omega (x), \lim_{x \to x_0} \omega (x) = 0. Dunque ω(x) è un infinitesimo.

Quindi f(x)-f(x_0)=\Big(f'(x_0)+\omega (x)\Big)(x-x_0) \Leftrightarrow f(x)=f(x_0)+f'(x_0)(x-x_0)+\omega (x)(x-x_0)

In altri termini, la funzione f differisce da un polinomio lineare solo di un infinitesimo. Da questo possiamo anche dedurre che f è derivabile in x0 se a0 = f(x) e a1 = f'(x0).


[modifica] Esempi

Nota:
scrivere alcuni esempi di funzioni che differiscono per un infinitesimo.



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