Funzioni continue reali di variabile reale

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Materia:Analisi matematica > Funzioni continue reali di variabile reale

Avanzamento lezione: 75% al 26-11-2009.

Sia $f:A\to \mathbb{R}$ , $A \subseteq \mathbb{R}$ e $x 0$ un punto di accumulazione di $A$ .
La funzione $f$ si dice continua in $x 0$ se

$\forall V \in \mathcal{I}_{f(x_0)}\ \exists H \in \mathcal{I}_{x_0}\ :\ f(x)\in V,\ \forall x \in A\cap H$

oppure

$\forall \varepsilon >0 \exists \delta >0\ :\ |f(x)-f(x_0)|<\varepsilon,\ \forall x \in A, x \in |x-x_0|<\delta$

La definizione esprime il seguente concetto: a piccole variazioni dei valori del domino corrispondono piccole variazione dei valore della funzione.

Se $f$ è continua in ogni punto del suo dominio, allora si dice che $f$ è continua su $A$ .

nota

Si indica con $C(A,\mathbb{R})$ l'insieme delle funzioni da

A

ad $\mathbb{R}$ continue in ogni punto di

A

.

Indice

1 Continuità
2 Criteri di continuità
- 2.1 Lemma (esistenza di una successione convergente)
  - 2.1.1 Dimostrazione
- 2.2 Proposizione (continuità di della funzione composta)
  - 2.2.1 Dimostrazione
3 Algebra delle funzioni continue

[modifica] Continuità

Se $x_0 \not\in D(A)$ e $x_0 \in A$ , esiste $H\in \mathcal{I}_{x_0}\ :\ A\cap H =\{x_0\}$ e dunque, per ogni intorno di $V\in\mathcal{I}_{f(x_0)}$ si ha che $f(x)\in V,\ \forall x \in A\cap H$ . Infatti, se $x \in A\cap H$ si ha per forza che $x = x 0$ e dunque certamente $f(x_0)\in ]f(x_0)-\delta,f(x_0)+\delta[$ .

Se invece $x_0 \in D(A)$ , $f$ è continua se e solo se $\lim_{x \to x_0}f(x)=f(x_0)$ . Infatti, se il limite di $f (x)$ è $f (x 0)$ , per la definizione di limite si ha:

Nota:
dimostrazione non chiara. rivedere

.

[modifica] Criteri di continuità

[modifica] Lemma (esistenza di una successione convergente)

Siano $A\subseteq \mathbb{R},\ x_0 \in A,\ f:A\to \mathbb{R}$ .

f

è continua in

x 0

$\Longleftrightarrow$ $\lim_{n\to +\infty}f(x_n)=f(x_0),\ \forall (x_n)\in A$ convergente a

x 0

[modifica] Dimostrazione

$\Rightarrow )$ . Supponiamo $f$ continua in $x 0$ e $(x n)$ convergente a $x 0$ . Se $f$ è continua in $x 0$ si ha

$\forall V \in \mathcal{I}_{f(x_0)} \exists H \in \mathcal{I}_{x_0}\ :\ f(x) \in V,\ \forall x \in A\cap H$ .

Inoltre, se $(x_n)\to x_0$ , si ha

$\forall L \in \mathcal{I}_{x_0} \exists m \in \mathbb{N}\ :\ x_n \in L,\ \forall n \in \mathbb{N},n>m$ .

Abbiamo che $x_n \in A,\ \forall n \in \mathbb{N}$ (essendo una successione in $A$ ) e $x_n \in A \cap H$ solo se $n > m$ .
Otteniamo dunque

$\forall V \in \mathcal{I}_{f(x_0)}\exists m \in \mathbb{N}\ :\ f(x_n)\in V,\ \forall n \in \mathbb{N},n>m$

che è la definizione del limite $\lim_{n \to +\infty}f(x_n)=f(x_0)$ .

$\Leftarrow )$ . Supponiamo $f(x_n)\to f(x_0)$ , qualunque sia la successione $(x_n) \in A$ convergente a $x 0$ . Per provare che $f$ è continua, ragioniamo per assurdo e supponiamo che non lo sia. Allora

$\exists V \in \mathcal{I}_{f(x_0)}: \forall H \in \mathcal{I}_{x_0}\ \exists x \in A\cap H\ :\ f(x)\not\in V$ .

In parole povere, c'è un qualche intervallo di $f (x 0)$ per cui, per ogni intervallo di $x 0$ , si ha che $f (x)$ non sta in quell'intervallo, per un qualche $x$ nell'intervallo di $x 0$ .
Ora, la successione $(x n)$ è convergente a $x 0$ , dunque per ogni intervallo di $x 0$ ci saranno dei termini di $(x n)$ . L'affermazione sopra dice che per ogni intervallo di $x 0$ , il valore della funzione di ogni punto di questi intervalli non sta in $V$ (cioè in quell'intervallo per cui non vale la continuità di $f$ ). Dunque, in particolare, possiamo prendere questo

$\forall n \in \mathbb{N}\exists x_n \in A\cap \left]x_0-\frac{1}{n},x_0+\frac{1}{n} \right[\ :\ f(x_n)\not\in V$ (*)

La successione è convergente in $x 0$ ma $f(x_n)\not\to f(x_0)$ perché (*) è addirittura la negazione della definizione di limite!
Questo contraddice l'ipotesi che $f(x_n)\to f(x_0)$ e prova il Lemma.

$\Box$

[modifica] Proposizione (continuità di della funzione composta)

Se $f:A\to B,g:B\to \mathbb{R}$ sono funzioni continue in tutto il loro dominio, allora la funzione composta

$g \circ f$

è continua su tutto $A$ (cioè su tutto il suo dominio).

[modifica] Dimostrazione

$g \circ f$ è continua in $A$ se è continua in $x 0$ , per ogni $x_0 \in A$ . Allora, per il Lemma precedente, prendiamo una successione in $A$ convergente a $x_0 \in A$ . Siccome, per ipotesi, $f$ è continua in $x 0$ (lo è addirittura in tutto il suo dominio) e dunque $f(x_n)\to f(x_0)$ . Per ipotesi, anche $g$ è continua in tutto il suo dominio ed in particolare anche in $f(x_0)=y_0 \in B$ .
Dunque, sempre per il Lemma,

$g(y_n)\to g(y_0) \Longleftrightarrow g(f(x_n))\to g(f(x_0)),\ \forall x_0 \in A$ .

$\Box$

[modifica] Algebra delle funzioni continue

Enunciamo qui le quattro proprietà delle funzioni continue. Dimostriamo solo la prima per ragioni di brevità, ma provare a dimostrarle è un utile esercizio che vi invitiamo a fare.

Siano $A \subseteq \mathbb{R}$ , $f, g$ funzioni continue su tutto $A$ .

[modifica] Somma di funzioni continue

$f+g \in C(A,\mathbb{R})$

Infatti:

$\lim_{x \to x_0} \left(f(x)+g(x) \right) = \lim_{x \to x_0}f(x)+\lim_{x \to x_0}g(x) = f(x_0)+g(x_0)$ .

[modifica] Prodotto di funzioni continue

$fg \in C(A,\mathbb{R})$

[modifica] Quoziente di funzioni continue

$\frac{f}{g} \in C(A,\mathbb{R})$

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[modifica] Continuità

[modifica] Criteri di continuità

[modifica] Lemma (esistenza di una successione convergente)

[modifica] Dimostrazione

[modifica] Proposizione (continuità di della funzione composta)

[modifica] Dimostrazione

[modifica] Algebra delle funzioni continue

[modifica] Somma di funzioni continue

[modifica] Prodotto di funzioni continue

[modifica] Quoziente di funzioni continue

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