Esercitazione 3 (analisi matematica)

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Avanzamento lezione: 00% al 18-05-2013.

Esercitazione 3 (analisi matematica)
	Tipo: esercitazione
	Materia: Analisi matematica
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Studio del carattere delle serie

Verificare se le seguenti serie convergono, divergono, oppure se sono oscillanti.

Risoluzione delle serie

Verificare che le seguenti serie siano convergenti e trovare il valore a cui convergono.

Esercizi

$\sum_{n=4}^\infty \frac {3 - \sqrt{3}}{\sqrt{3^n}}$

Svolgimento

Cerchiamo di ricondurci a qualcosa di più semplice. Innanzitutto portiamo fuori la costante:

$\sum_{n=4}^\infty \frac {3 - \sqrt{3}}{\sqrt{3^n}} = \left(3 - \sqrt{3}\right) \sum_{n=4}^\infty \frac {1}{\sqrt{3^n}} = \left(3 - \sqrt{3}\right) \sum_{n=4}^\infty \left( \frac {\sqrt{3}}{3} \right)^n$

Ci siamo ricondotti ad una serie geometrica di ragione $\frac {\sqrt{3}}{3} < 1$ quindi convergente ad un valore.

Applichiamo la formula $\sum_{k=m}^n q^k = \frac {q^m - q^{n+1}}{1 - q}$

Quindi:

$\left(3 - \sqrt{3}\right) \sum_{n=4}^\infty \left( \frac {\sqrt{3}}{3} \right)^n = \left(3 - \sqrt{3}\right) \frac{\left(\frac{\sqrt{3}}{3} \right)^4}{1 - \frac{\sqrt{3}}{3}} = \left(3 - \sqrt{3}\right) \ \frac{3^2}{3^4} \ \frac{3}{3-\sqrt{3}} = \frac{1}{3}$