Esercitazione 1 (analisi matematica)

Da Wikiversità, l'università aperta.

Vai a: navigazione, ricerca

[modifica] Operazioni elementari con i numeri complessi

Esercizio 1 Dati i numeri $z_1,z_2\in\mathbb{C}$ : con $z_1=1+i,z_2= 5+3i\,\!$ valutare:

(i) $z_1+z_2\,\!$

(ii) $z_1 z_2\,\!$

(iii) $z_1\bar{z_2}$

Soluzione

(i)Ricordiamo ora la regola che ci permette di valutare la somma tra due numeri complessi:

$z_1=\Re{(z_1)}+i\Im{(z_1)}$ e $z_2=\Re{(z_2)}+i \Im{(z_2)}$

allora:

$z_1+z_2 = \Re{(z_1)}+\Re{(z_2)}+ i(\Im{(z_1)}+\Im{(z_2)})$

Nel nostro facile esempio abbiamo che:

$\Re{(z_1)}=1, \Im{(z_1)}=1$ mentre $\Re{(z_2)}=5, \Im{(z_2)}=3$

dunque:

$z_1+z_2= \Re{(z_1)}+\Re{(z_2)}+ i(\Im{(z_1)}+\Im{(z_2)})= 1+5+i(1+3)= 6+4i$

(ii)Ricordiamo che per valutare il prodotto di due numeri complessi si procede come segue.

Poniamo per semplicità notazionale:

$x_1=\Re{(z_1)}$ e $y_1=\Im{(z_1)}$ mentre $x_2=\Re{(z_2)}$ e $y_2=\Im{(z_2)}$

.

Quindi:

$z_1z_2= (x_1+y_1 i)(x_2+y_2 i)= x_1(x_2+y_2 i)+y_1 i(x_2+y_2 i)= x_1x_2+x_1y_2i+x_2y_1i+y_1y_2 i^2\,\!$

.

Ora $i 2 = - 1$ quindi l'espressione precedente diventa:

$x_1x_2+x_1y_2i+x_2y_1i+y_1y_2 i^2= x_1x_2-y_1y_2+ (x_1y_2+x_2y_1)i\,\!$

Passiamo ora al calcolo effettivo. Nel nostro caso specifico abbiamo che

$x_1= \Re{(z_1)}=1, y_1=\Im{(z_1)}$ mentre $x_2=\Re{(z_2)}=5, y_2=\Im{(z_2)}=3$

di conseguenza:

$z_1z_2=(1+i)(5+3i)=(5+3i)+i(5+3i)=5+3i+5i-3 = 2+8i\,\!$

(iii) In questo caso nel prodotto interviene il coniugato di $z 2$ , è quindi necessario valutarlo. Dato un numero $z=x+yi\in\mathbb{C}$ , si definisce numero complesso coniugato di $z$ , denotato con $\bar{z}$ :

$\bar{z}:=x-yi$

In pratica abbiamo semplicemente cambiato il segno alla parte immaginaria di $z$ .

Utilizziamo questa definizione per valutare il coniugato di $z 2$ :

$\bar{z_2}=5-3i$

pertanto:

$z_1\bar{z_2}=(1+i)(5-3i)=(5-3i)+i(5-3i)= 5-3i+5i+3=8+2i$

Esercizio 2

Determinare per quali valori reali $x,y\,\!$ si ha che

$4x+3xi+9y+4yi=13+7i\,\!$

Soluzione È necessario esprimere diversamente il primo membro in modo da evidenziare la parte reale e la parte immaginaria:

$4x+3xi+9y+4yi=(4x+9y)+(3x+4y)i= 13+7i\,\!$

. Osserviamo che due numeri complessi sono uguali se e solo se hanno sia la stessa parte reale che quella immaginaria. Ragionando in questo modo otteniamo un sistema in due equazioni e in due incognite:

$\left\{\begin{matrix}4x+9y=13\\ 3x+4y=7\end{matrix}\right.$